拉普拉斯变换LAPLACE TRANSFORM

LAPLACETRANSFORM1历史的回顾——小结线性电路分析一、电阻电路的直流分析：二、低阶动态电路的时域分析：拉普拉斯变换法是分析线性电路的最有效工具。列、解微分方程：较难。1、列；2、解：定动态元件的初态状态[uC(0+)、iL(0+)]和定积分常数。三、正弦稳态分析：四、非正弦周期函数的谐波分析：五、非周期函数电路的傅立叶积分：

T→∞时的“周期函数”，广泛用于信号处理：谐波分析，频率响应，失真，带宽等计算。但，1、有时傅立叶积分不收敛；2、初始条件的处理；频域分析：相量法。优点：物理概念明确。2§13-1拉普拉斯变换的定义一、定义：又称复频率。f(t)与F(s)

相对应定义在[0，∞]区间的函数f(t)，其对应的拉氏变换式为：为复数，F(s)是f(t)的象函数f(t)是F(s)的原函数时域复频域3二、拉氏变换存在定理：三、拉氏反变换：时域复频域1、在t≥0的任一有限区间均分段连续；2、存在正的有限值常数M、c，使得则总可以找到合适的s值，使符号：约定：的积分收敛。4例13-1求象函数：

（1）单位阶跃函数：（2）单位冲激函数：（3）指数函数：=15§13-2拉普拉斯变换的基本性质一、线性性质：证明：略。例13-2若（1）（2）上述函数的定义域为[0，∞]，求其象函数。解：（1）（2）6二、微分性质：若则证：令积分分部积分法7例13-3

求象函数：（1）（2）二、微分性质：解：8三、积分性质：证明：分部积分法对前半式：上式证毕。若则令分子分子9例13-4

利用积分性质求f(t)=t

象函数。解：四、延迟性质：证毕。若则其中t＜t0时，证明：令10

∴

t

＞s时，t(t-s)将随t

单调增长，即t→∞，et(t-s)→∞,例13-5

求矩形脉冲的象函数。解：由线性和延迟性τA0tf(t)例求：的象函数。对于任意大的s，∵值固定，上式无意义，∴积分不存在。不存在象函数。11练习13-1(1、3、5、7)。12§13-3拉普拉斯反变换一、查表法：二、部分分式展开法：若象函数F(s)为有理式，则可以写成式中为实数，为正整数，且电路分析中,m≤n。上式我们用部分分式展开法展开真分式，这时，需求出D(s)=0的根，其根有多种形式：131、单根：N个单根为p1、p2………pn

。②同理可得：Ki为待定之系数。二、部分分式展开法：①将上式两边乘以(s-p1)，令s=p1，代入上式，先约分，后代数。14例13-6

求的原函数。解：有根15③我们重新研究下式：必有不定式0/0，这就可用罗必达法则。再做例13-6结果同上。1、单根：N个单根为p1、p2………pn

。16∵F(s)是实系数多项式之比，故K1，K2共轭。而对应于f(t)则有两项为在F(s)的展开式中，包含设2、共轭复根：，则K2必为二、部分分式展开法：17例13-7

求的原函数。思考：K1、K2不分先后，θ角如何确定呢？D(s)=0的根p1、2=-1±j2；解：一般由虚部为正的根来确定。四要素：K1的模和幅角，根的实部和虚部。183、重根：设有三重根，两边均乘以(s-p1)3。①K11：②K12：将上式对s求导。③K13：二、部分分式展开法：19解：显而易见，有三重根-1，两重根0，故求K2：求K1：的原函数。例13-8

求得乘乘s2得三、卷积法：四、留数法：20练习13-2(1、3)、13-3(1、3)、13-4。21练13-3（4）解：求原函数。22拉普拉斯法又称运算法，将电路中时域电流电压变换成其对应的复频域拉氏变换的形式称为运算电路。对任一回路，KVL的运算形式:∑U(s)=0对任一结点，KCL的运算形式:∑I(s)=0由拉氏变换的线性性质，易得：对任一回路，时域∑u(t)=0，对任一结点，时域∑i(t)=0，1、拓扑约束：一、运算形式的两种电路约束：§13-4运算电路23时域2、元件约束：又可以改写为：（2）电感：sL：运算感抗，Li(0-)：附加电压源。：运算感纳，+

U(s)

-I(s)R+u(t)

-iR（1）电阻：取拉氏变换i(t)+-Lu(t)

微分性质:为附加电流源。+_+-sLI(s)U(s)I(s)+_U(s)24（3）电容：对偶。注意各种符号的含义：一般用容抗形式，+

u

-iCsCCuC(0-)I(s)U(s)+_+_容纳U(s)+_I

(s)+_1sCuC(0-)s25a、附加电源极性由i1，

i2决定；（4）互感：b、受控源极性由同名端决定。i2u111'i1+u2－2'2L2**M+－L111'2'2+－sL1sL2+++++－－－－－－++－注意：26（5）受控源：CCVS:UK(s)=rIG(s)VCCS:IE(s)=gUF(s)VCVS:UA(s)=μUB(s)CCCS:IM(s)=βIN(s)27在零状态下，则，二、运算电路：为欧姆定律的运算形式。即运算电路易得+_+_RLCS+_+_RsL+_

sC1时域电路283、求反变换得时域解。§13-5用运算法分析线性电路运算法三步曲：1、由时域电路列出对应的运算电路；2、求解运算电路，得I(s),U(s)；29例13-9

原电路处于稳态，t=0时开关S闭合，求i1(t)。②解：单个独立结点，用弥尔曼定理。①作运算电路图：+_1V1ΩCi1(t)St=01H1Ω1F解：+_1I1(s)s1+_sC1suC(0-)s1s1s1A30故共轭复根：即有单根：③求反变换：31

练13-6

已知iL(0-)=0A,求t

＞0时的uL(t)。②求UL(s)：解：+_+_10e-tV4Ω4Ω_+u12u11H+_uL(t)St=0+_+_44_+U1(s)s+_s+1102U1(s)UL(s)①作运算图：先用弥尔曼公式求U1(s)

，后UL(s)=3U1(s)

，移项，③时域：32例13-10RC并联电路中激励为iS(t)，②弥尔曼公式求U(s):（1）①作运算电路图:（这两种响应分别为阶跃和冲激响应，故为零状态响应）。求响应u(t)。

iS(t)CR+_u(t)解：③求反变换：

IS(s)R+_U(s)sC1s133（2）

①作运算电路图:解：②求U(s):③求反变换：

IS(s)R+_U(s)sC11例13-10RC并联电路中激励为iS(t)，求响应u(t)。34对于动态元件一定要注意附加电源。请注意分母中（2s+5）的s的系数2。例13-11

电路原处于稳态，求t≥0时uL(t)。本题：iL(0-)=1A①作运算电路图：用弥尔曼公式+_+_5Ω5Ω1H_+uL(t)iL(t)S5Vt=02e-2tV解：+_+_55s_+UL(s)s+22s5_+L.iL(0-)1②求UL(s):35方法一：分母求导法。③求反变换：方法二：约分法。Why?36在例13-3中，分母D(s)=0的求根是将D(s)分解因式，而每一因式为(s-pi)，s前无系数;如有系数，则应和分子约去。∴结果同前：于是，③求反变换：方法二：约分法。37练习13-7、13-10、13-11、13-16。38例13-12

求t=0时开关闭合后的i1(t),i2(t)。又互感可以用受控源法处理，得∴均无附加电源。∵动态元件均无初始储能，①作运算电路图：+_0.1H0.1H1Ω1Ω0.05H﹡﹡S1Vt=0i1(t)i2(t)解：_+0.1s110.05sI2(s)s10.1s++__0.05sI1(s)I1(s)I2(s)②求I1(s)，I2(s)：用回路电流法{{{39解：②求I1(s),I2(s)：{行列式：③求反变换：40③求反变换：41例13-13

电路图示，求打开S后电路中的电流iL(t)和两个电感上的电压。②求I(s),UL1(s),UL2(s)

：标电流I(s)和电压UL1(s),UL2(s)

。+_10V2Ωi(t)St=00.3H3Ω0.1H+_+_L1L2+_UL1+_2I(s)0.3s30.1s+_

s101.5①作运算电路图：解：+_UL242②求I(s),UL1(s),UL2(s)

：解：+_2ΩI(s)0.3s3Ω0.1s+_+_UL1UL2+_

s101.5③求反变换：43

S打开后，iL1,iL2强制为同一个i(0+)，∴

它们均产生了突变（这与一般情况下，电感电流不突变相矛盾），均突变至3.75A。③求反变换：④分析：0ti0ti223.753.7555+_10V2Ωi(t)St=00.3H3Ω0.1H+_+_L1L244∴iL(t)的突变，使得uL1(t)，uL2(t)出现了冲激函数。（2）不必确定积分常数。（1）由于拉氏变换下限取0-，故自动地将冲激函数、阶跃函数考虑进去了，而无须先求t=0+时的跃变值；由此题看出运算法：但两部分冲激电压相互抵消，以保证整个回路满足KVL。t=0+时，t=0-时，i(0+)也可由磁链守恒求得：⑤讨论：45①作运算电路图：

错！S合上之前，电路为稳态，电路中各元件，包括电容均有电流电压，称为正弦稳态。有人推断：要求uC(0-)

，就要知道唯一的电流源在t=0-的情况，现iS=2sin1000tA

，故iS

(0-)

=0，既然iS

都为零了，C上电压也必为零，此题为零状态响应。只有一个动态元件：电容，练13-15

iS=2sin1000tA，R1=R2=20Ω,C=1000μF,用运算法求t≥0的uC(t)。解：注意：因有相位关系，iS

最大，uC

不一定最大；iS

为零，uC

也不一定为零！S合上时，iS

(0-)

=0，

uC(0-)

却不一定为零。现求出uC(0-)

：方法——相量法。

iSuCR1R2S+_C46得运算电路图:①作运算电路图：解：+_-jΩ20Ω20Ω-1.9994s20Ω_+_+UC(s)sC11000s2×1000s2+10002练13-15

iS=2sin1000tA，R1=R2=20Ω,C=1000μF,用运算法求t≥0的uC(t)。

iSuCR1R2S+_C先求47③反变换：②求UC(s)：-1.9994s20Ω_+_+UC(s)sC11000s2×1000s2+10002①作运算电路图：解：练13-15

iS=2sin1000tA，R1=R2=20Ω,C=1000μF,用运算法求t≥0的uC(t)。48解：③反变换：练13-15

iS=2sin1000tA，R1=R2=20Ω,C=1000μF,用运算法求t≥0的uC(t)。49练13-17（b）

用运算法求i(t),uC(t