拉普拉斯变换2.1

2.1拉普拉斯变换的概念

由上章可知，需进行傅氏变换的函数应满足傅氏积分存在定理的两个条件，即(1)在任一有限区间上满足狄利克雷条件；(2)在无限区间上绝对可积．而傅氏变换存在两个缺点．缺点1：条件(2)过强．在实际应用中，许多函数不能满足条件(2)．

[案例]单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数等，虽满足狄利克雷条件，但非绝对可积．因此，对这些函数就不能进行古典意义下的傅氏变换．尽管在上一节里，通过引入δ函数，在广义下对非绝对可积函数进行了傅氏变换，但δ函数使用很不方便.2.1.1拉普拉斯积分1.拉普拉斯积分

缺点2：进行傅氏变换的函数须在上有定义．

[案例]在物理、无线电技术、机械工程等实际应用中，许多以时间t为自变量的函数在t＜0时是无意义的或者是无需考虑的.因此，对这些函数也不能进行傅氏变换．

由此可见，傅氏变换的应用范围受到了极大的限制，必须对傅里叶变换进行改造．

基本想法使得函数在t<

0的部分补零(或者充零)；使得函数在t>

0的部分尽快地衰减下来。(1)将函数乘以一个单位阶跃函数

，(2)将函数再乘上一个衰减指数函数

，这样，就有希望使得函数满足

Fourier变换的条件，从而对它进行

Fourier

变换。如何对

Fourier

变换进行改造？

将上式中的记为

s，就得到了一种新的积分：实施结果拉普拉斯积分复频函数复频率

可以预见，上述积分是收敛的。例2.1求单位阶跃函数的拉普拉斯积分解积分在b→+∞时，当且仅当Re(s)>0才有极限，因此例2.2

求的拉普拉斯积分根据定义解（其中α为任意复数）例2.3

求正弦函数

的复频函数

解

定理2.1

若函数f(t)满足:2.拉普拉斯积分存在定理1,在t0的任一有限区间上分段连续2,当t时,

f(t)的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数M>0及c0,使得

|f(t)|Mect,0t<则f(t)的拉普拉斯积分在半平面Re(s)>c上一定存在,右端的积分在Re(s)c1>c上绝对收敛而且一致收敛,并且在Re(s)>c的半平面内,

F(s)为解析函数.2.拉普拉斯积分存在定理则象函数在半平面上一定存在且解析。(1)在任何有限区间上分段连续；(2)具有有限的增长性，即存在常数

c

及，使得，设函数当时，满足：定理(其中，c

称为函数的“增长”指数)。证明(略)

两点说明(1)像函数的存在域一般是一个右半平面

,即只要复数s的实部足够大就可以了。只有在非常必要时才特别注明。因此在进行Laplace变换时，常常略去存在域，即函数等价于函数(2)在

Laplace

变换中的函数一般均约定在t<0时为零，比如定义2.1

设函数当时有定义，且广义积分数为s的函数在s的某一区域内收敛，则由此积分确定的参

(2-3)叫做函数的拉普拉斯变换，记作

函数

叫做变换的像原函数．2.1.2拉普拉斯变换函数F(s)也可叫做的像函数．例2.4求函数的拉普拉斯积分解

例2.5

求函数的拉普拉斯变换因为

解（其中k为任意复数）所以

采用同样的方法我们可得由前面的例题，我们可得拉普拉斯变换公式：(G函数简介)

例2.6

求狄立克雷函数

的拉氏变换。

在具体求解运算之前，先把拉普拉斯变换中积分下限的问题加以澄清。

若函数f(t)满足拉普拉斯积分存在定理，在t=0处有界，此时积分中的下限取0+或0-不会影响其结果，但当f(t)在t=0处为δ函数，或包含了δ函数时，拉氏积分的下限就必须明确指出是0+还是0-，因为称为0+系统，在电路上0+表示换路后的初始时刻；解称为0-系统，在电路上0-表示换路后的初始时刻；可以证明，当f(t)在t=0附近有界时，则即当f(t)在t=0处包含一个δ函数时即

为此，将进行拉氏变换的函数f(t)，当t≥0时的定义扩大到当t>0及t=0的任意一个领域。这样拉氏变换的定义应为为书写方便，该定义仍写为原来的形式。即同理

解

先对作拉氏变换的拉氏变换为用罗必达法则计算此极限，得所以

方法2：同理

例2.7

求函数的拉普拉斯变换解δ函数的筛选性质G-

函数

(

gamma函数)

简介附：G-

函数定义为定义性质证明特别地，当m

为正整数时，有(返回)关于含冲激函数的

Laplace

变换问题附：

当函数在附近有界时，的取值将不会影响其

Laplace

变换的结果。对积分下限分别取和可得到下面两种形式的

L