弹性力学第二章习题课

例题2例题3例题4例题7例题5例题6第二章习题课例题1例1试列出图中的边界条件。MFyxlh/2h/2q(a)第二章习题课解:

(a)在主要边界应精确满足下列边界条件：第二章习题课在小边界x=0应用圣维南原理，列出三个积分的近似边界条件，当板厚时，第二章习题课在小边界x=l，当平衡微分方程和其它各边界条件都已满足的条件下，三个积分的边界条件必然满足，可以不必校核。第二章习题课(b)在主要边界x=0,b，应精确满足下列边界条件：FOxyqh(b)

b/2

b/2第二章习题课在小边界y=0，列出三个积分的边界条件，当板厚时，第二章习题课注意在列力矩的条件时两边均是对原点o

的力矩来计算的。对于y=h的小边界可以不必校核。第二章习题课例2厚度的悬臂梁，受一端的集中力F的作用。已求得其位移的解答是试检查此组位移是否是图示问题的解答。第二章习题课h/2h/2AxylFO第二章习题课解：

此组位移解答若为图示问题的解答，则应满足下列条件:(1)区域内用位移表示的平衡微分方程(书中式2－18）;第二章习题课（2）应力边界条件（书中式2－19），在所有受面力的边界上。其中在小边界上可以应用圣维南原理，用三个积分的边界条件来代替。（3）位移边界条件（书中式2－14）。本题在x=l的小边界上，已考虑利用圣维南原理，使三个积分的应力边界条件已经满足。第二章习题课因此，只需校核下列三个刚体的约束条件：A点（x=l及y=0），读者可校核这组位移是否满足上述条件，如满足，则是该问题之解。第二章习题课例3试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在第二章习题课解：应变分量存在的必要条件是满足形变相容条件，即（a）相容；（b）须满足B=0,2A=C；（c）不相容。只有C=0，则第二章习题课例4在无体力情况下，试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在：第二章习题课解：弹性体中的应力，在单连体中必须满足：（1）平衡微分方程；（2）相容方程；（3）应力边界条件（当）。第二章习题课（a）此组应力满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F,D=-E

此外，还应满足应力边界条件。（b）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0。为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此此组应力分量不可能存在。第二章习题课例5若是平面调和函数，即满足拉普拉斯方程

试证明函数都满足重调和方程，因而都可以作为应力函数使用。第二章习题课解：上述函数作为应力函数，均能满足相容方程（重调和方程），第二章习题课例6图中的梁，受到如图所示的荷载的作用，试用下列应力表达式求解其应力，(a)第二章习题课xyloqql

h/2

h/2第二章习题课解：本题是按应力求解的，在应力法中，应力分量在单连体中必须满足（1）平衡微分方程；（2）相容方程;（3）应力边界条件（在上）。将应力分量（a）代入平衡微分方程和相容方程，两者都能满足。第二章习题课再校核边界条件，在主要边界上，第二章习题课第二章习题课再将式（b）表达式代入次要边界条件，第二章习题课第二章习题课由此可见，在次要边界上的积分边界条件均能满足。因此，式（b）是图示问题之解。第二章习题课

q(x)xylo

h/2

h/2例7在材料力学中，当矩形截面梁（度）受任意的横向荷载q(x)作用而弯曲时，弯曲应力公式为第二章习题课（a）试由平衡微分方程（不计体力）导出切应力和挤压应力的公式。（提示：注意关系式积分后得出的任意函数，可由梁的上下边界条件来确定。）第二章习题课（b）当q为常数时，试检验应力分量是否满足相容方程，试在中加上一项对平衡没有影响的函数f(y)，再由相容方程确定f(y),并校核梁的左右边界条件。第二章习题课解：本题引用材料力学的弯应力的解，作为初步的应力的假设，再按应力法求解。应力分量必须满足（1）平衡微分方程；（2）相容方程；（3）应力边界条件（在上）。第二章习题课（a）不计体力，将代入平衡微分方程第一式，

得:两边对y积分，得第二章习题课再由上下的边界条件将代入平衡微分方程的第二式,第二章习题课对y积分，得得由上下的边界条件，第二章习题课由此得上述解答及式(c),(d)已经满足平衡微分方程及的边界条件；但一般不满足相容方程，且尚未校核左右端的小边界条件。第二章习题课（b）若q为常数，则，得

代入相容方程，为了满足相容方程，第二章习题课此式和式（c）、（d）的一组应力分量仍然满足平衡微分方程；再代入相容方程，得积分得第二章习题课由次要边界条件由此得第二章习题课