倍角公式和半角公式

倍角公式和半角公式知识讲解倍角公式sin2d=2sinacosa；cos2a=cos2a一sin2a=1一2sin2a=2cos2a-1tan2a=2tana1—tan2a3tana-tan3asin3a=3sma-4sm3a;cos3a=4cos3a-3cosa;tan3a=1一3tan2a二、半角公式.a'1一cosasin=土2a:cos=土21+cosa1+1+cosasina1+cosaa /1一cosatan=土2一cosa sina三、万能公式sina=2tana2asina=2tana2a1一tan2—21+tan2a2tana.a1+tan2-22tan1-a1一tan2—2四、公式的推导sin2a=sin(a+a)=sinacosa+cosasina=2sinacosacos2a=cos(a+a)=cosa-cosa一sina-sina=cos2a一sin2a再利用sin2a+cos2a=1，可得：tana+tana 2tanacos2a=cos2a一sin2a=2cos2a-1tana+tana 2tanatan2a=tan(a+a)=“1一tana-tana 1一tan2a

a

tan=2a

sin2a

tan=2a

sin2a

cos—2I.asin2—2aCOS2—2=±1-cosa1+cosaaaasin2sinsina2 22 1-cosaTOC\o"1-5"\h\ztan= 2= 2 2 一sina\o"CurrentDocument"a a asinacos一2sin—cos一2 2 2aaasina〜sin— 2cos—sinsinaa 2 2 2tan= 2= 2 —=2 a a a1+cosacos—2cos—cos—2 2 2aacos—=sin—=0【说明】这里没有考虑 2 2 ，实际处理题目的时候需要把等于0的情况分出来单独讨论一下．五、综合运用1.倍角、半角、和差化积、积化和差等公式的运用1）并项功能：1±sin2a=sin2a+cos2a±2sinacosa=(sina±cosa)22）升次功能：cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a3）降次功能：1+cos2a 1—cos2acos2a= ,sin2a=222.三角变换中常用的数学思想方法技巧有：1）角的变换：和、差、倍、半、互余、互补的相对性，有效沟通条件与结论中角的差异，30°比如：15°=45°-30°=60°-45°= ,2a=(a-p)+p=(a+p)-p=2巴22a=(a+B)+(a-B)=(a+B)-©—a)=(—a)—(—a)442a—B-(a—B)+a-2a— =a—(B—a)I2丿厂3n厂3n——aI4厂2n——aI3厂5n——aI6(n \（n(n（n(nna+——a=—+a+——a=—+a+——a=—<2丿14丿14丿13丿16丿2

函数名称的变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数，在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名；有时可以使用万能公式将所有函数名化为正切；常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如：1=例如：1=sin2a+cos2a=sec2a.nn-tan2a=sin =tan—24幂的变换：降幂是三角变换时常用的方法常用的降幕公式有：cos2a=1+罗加,sin2a=1-c<?s2a但降幕并非绝对，有时也需要对某些式子进行升幕处理，比如1+cos2a=2cos2a,1-cos2a=2sin2a；1土sin2a=(sina土cosa)2；公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用，例如：tana土tanp=tan(a±p)-(1mtana-tanp)；辅助角公式的运用：在求值问题中，要注意辅助角公式9所在的象限由a,—的符号y=asina+bcosa=\a2+b2sin（a+申）9所在的象限由a,—的符号a确定．

典型例题一，选择题（共8小题）1.（2018•绵阳模拟）若，则tan2a=（ ）A.■3B.3C. D.tana11,可求tana=-3,可求tana=-3,【解答】解：，tan2a=故选：D.2•（2018・海淀区校级三模）已知角a的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边落到直线y=-2x上，则cos2a=（ ）A.- B.C. D.-【解答】解：•・•角a的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边落到直

线y=-2x上，.'.tana=-2,则cos2a=故选：A•）-1是（）•（2018•中山市一模）函数y=2sin2）-1是（）A•最小正周期为n的偶函数B•最小正周期为n的奇函数71 71C.最小正周期为2的偶函数D•最小正周期为2的奇函数【解答】解：函数y=2sin2（x+化简可得y=-cos(2x+3n)=cos2x•・•・・•・函数y是最小正周期T==n的偶函数.故选：A•的结•（2018春•福州期末）化简果为（ ）的结A•-A•-2B•【C•-1D•1解 答=-2门0=-1故选：c•a（2017春•江西月考）已知a是第二象限角/且3sina+4cosa=0/则tan2=（ ）C•-2D•-

【解答】解：°・°3sina+4cosa=0,aa3tana+4=0，可得：tana=- =，整理可得：2tan22_3tan2-2=0,a・・・解得：tan亍=2,或-•・•a是第二象限角，7iaji...kn+斗V》Vkn+2，kGZ，a a・tan2>0，故tan2=2.a)/则cos2a)/则cos2.（2017春•简阳市期末）已知cosa=,aG（等于（ ）B.-C. D.-【解答】解：T已知cosa= ,aG（),・••亍G(V0V0V4n，那么14cosa2an),贝Ucos2=-故选：B••（2017春•西华县校级期中）如果|cos0|=0cos亍的值等于（ ）A•B•- C•D•-【解答】解：|cos0|=V0V4n,cos0= ,06(1177 0 11779，得cos2=0 ?99，得cos2=••cos2>0，由cos0=2_-1=故选：C•

,cos2x=a,则sinx=( ).（,cos2x=a,则sinx=( )1IaJ2A. B.【解答】解：Tcos2x=a,・°・1-2sin2x=a,可得sin2x=,可得sinxV0,・・sinx=-故选：B.二，填空题（共8小题）JT-7,0),则sin2e=-（2018春•浦东新区期末）若JT-7,0),则sin2e=-【解答】解：Tsin0=-

Tt，且e€(-2,o),・・°・sin20=2sin0cos0=故答案为:•3，则sin2a的值为•（2018春•南京期末）已知3，则sin2a的值为_1【解答】解：Ta锐角，且,・sin•・sin2a=2sinacosa=2X故答案为：•(2018春•扬州期末)求值：sin75°・cos75°=【解答】解：sin75°・cos75°=故答案为：.（2018・道里区校级三模）已知tana=-2,则tan2a=_ _【解答】解：T tana= - 2tan2a=故答案为：a.（2017•普陀区二模）若亍VaVn,sina= ，则tan亍=3Isi^a【解答】解：若WVaVn,sina= ，则cosa=-1Icosasinaa・*.tan2=故答案为：3.tanCt14.（2017春•邗江区校级期中）已知］_'，则tana的值为-2X2【解答】解：tana==1I彳=-故答案为-.（2016秋•浦东新区校级期中）已知0是第三象限角，若sin8=-，则0tan2的值为-3 .【解答】解：V0是第三象限角，若sin0=-・cos0=-1ICOS0sinS0・*.tan2=故答案是：-3.CTTOC\o"1-5"\h\z.（2015•闵行区二模）若cosa= ，且aG（0,n）,则tan2=_ _.【解答】解：Tcosa= ，且aG（0，n）,・・sina= ，asma贝ytang=1+CO5「『= = ，故答案为：三，解答题（共8小题）. （ 2014春•瓜州县校级期中）（1 ）化简

sin2x14-sinxcosx(2)—个扇形的面积为1,周长为4，则中心角的弧度数为？【解答】 解 ： ( 1Si?l2X14-SiTLYCOSX=2sinx；(2)设扇形的圆心角的弧度数为a，圆的半径为解得：a=2.,△ABC.(2013春•江西校级期末)已知函数f(x)=2sinxcosx-COS2X+三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c且f(A),△ABC(I)求角A的大小；(II)若a=7,b=5,求c的值.【解答】解：(I)因为f(x)=\dinxcosx-COS2X+7T=sin(2x-£)...(6分)兀又f(A)=sin(2A-W)=1,A€(0,n),...(7分)所以 ,1.A=—7T・•・ 占...(9分)(II)由余弦疋理a2=b2+C2-2bccosA得到，所以C2-5c-24=0…（11分）解得c=-3（舍）或c=8...(13分)所以c=8.（2013・亭湖区校级二模）已知A,B,C是三角形△ABC三内角，向量，且

(1 )求角A_(1 )求角A_1tanB——2的值.(I1R可)I[cosj4l5rnj4)=1【解答】解(i)v ・•・sin(月if)=寸•・・OVAVn・・・71A=—・•・2 ) 由71•（2013秋•缙云县校级期中）已知：sina= ,aG（亍，n）,求sin2a和cos2a的值.【解答】解：sina= ,aw（亍，n）,TOC\o"1-5"\h\z故有cosa=- =故sin2a=2sinacosa=- ；cos2a=1-2sin2a= ..求证：（1）

14-sijixcosx1IcosxsinxX(2)tan〒=【解答】(1 )J等式的右边1+sinxcosx=左边，1^sinxcosx成立.( 2 ) 等 式 的1ICOSXsinxx==tan2=左边，1ICOSX

sinxx成立.•:等式tan2=成立.Ptan2的值.P,tanPtan2的值.P,tan的值都是正值.•已知cosB=- ,(0<P<n)/求：sin2,cos2,P PP【解答】解：°・°0<B<n,^2€(0,2)，sin,cos2

：・cosB=-=2cos22-1,(0<P<n),Aco^=sinp戶cos0.•・tan2= =2323•已知sina=Tt a，且a=(2,n),求cos2a,sin2a及sin2的值.【解答】解：Vsina=71，且a=(2,n),12cosa=-=-13,5o119 12o・：cos2a=1-2sin2a=1-1&9=1&9,sin2a=2sinacosa=-1 ,71 CT7T7T由aW(2,n)知，2G(斗,)/25=|1icosa25=a••sin2=a a a24•已知cosa=,a的终边在第四象限，求sin2,cos2,tan2的值.

【解答】解：a的终边在第四象限，且cosa=・°・2kn