广东省东莞市东坑中学2023年高二数学理测试题含解析

广东省东莞市东坑中学2023年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数（其中＞0，＜的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度参考答案：C2.下表是某小卖部统计出的五天中卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：

气温x(℃)18131040杯数y2434395162

若卖出热茶的杯数y与气温x近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C过点(9,42),选C

3.如右图，定圆半径为，圆心为，则直线与直线的交点在（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D略4.已知二面角α-l-β为

，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为

（

）A、2

B、2

C、

D、4

参考答案：C略5.设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|-2x-3≤0},则A∩（CRB）=（

）A．(1,4)

B．(3,4)

C．(1,3)

D．(1,2)∪（3,4）参考答案：B6.运行以下程序框图，若输入的，则输出的y的范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，0] C．[0，1] D．（0，1]参考答案：C【考点】程序框图．【分析】根据x的范围，分别求出对于的y=cosx和y=sinx的范围，取补集即可．【解答】解：x∈[﹣，0]时，y=cosx，故y=cosx∈[0，1]，x∈（0，]，y=sinx，故y=sinx∈（0，1]，故选：C．7.已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）参考答案：D【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】根据题意结合图象求出f′（x）＞0的解集与f′（x）＜0的解集，因此对原不等式进行化简与转化，进而得到原不等式的答案．【解答】解：由图象可得：当f′（x）＞0时，函数f（x）是增函数，所以f′（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），当f′（x）＜0时，函数f（x）是减函数，所以f′（x）＜0的解集为（﹣1，1）．所以不等式f′（x）＜0即与不等式（x﹣1）（x+1）＜0的解集相等．由题意可得：不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0等价于不等式（x﹣3）（x+1）（x+1）（x﹣1）＞0，所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞），故选D．8.若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A．3

B．2

C．3

D．4参考答案：A9.将最小正周期为3π的函数f（x）=cos（ωx+φ）﹣sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位，得到偶函数图象，则满足题意的φ的一个可能值为（）A． B．﹣ C．﹣ D．参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期求得ω，可得函数f（x）的解析式，再根据函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由于函数f（x）=cos（ωx+φ）﹣sin（ωx+φ）=cos（ωx+φ+）的最小正周期为3π=，求得ω=，∴函数f（x）=cos（x+φ+）．再把f（x）的图象向左平移个单位，得到偶函数y=cos[（x+）+φ+]=cos（x++φ）图象，则满足题意的φ的一个可能值为﹣，故选：B．10.若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是()A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若实数满足，则的最小值为__________________.参考答案：-6略12.消去未知数“”，化（为已知常数）为只有“”的一元二次方程为

．参考答案：13.下面的图是求实数x的绝对值的算法程序框图，则判断框①中可填

参考答案：略14.（5分）已知cosx﹣sinx=，则sin2x的值为．参考答案：∵cosx﹣sinx=，∴两边平方，可得1﹣sin2x=∴sin2x=故答案为15.命题“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc.”的逆命题是

．参考答案：当时，若，则

13.若函数，则=

参考答案：略17.在△ABC中，∠A=60°，点M为边AC的中点，BM=，则AB+AC的最大值为．参考答案：【考点】HQ：正弦定理的应用．【分析】依题意，利用正弦定理可求得△ABM的外接圆直径，从而可用角表示出AB，AC，利用三角函数间的关系式即可求得AB+AC的最大值．【解答】解：∵在△ABC中，∠A=60°，点M为边AC的中点，BM=，∴在△ABM中，设∠AMB=θ，则∠ABM=120°﹣θ，0＜θ＜120°，由正弦定理得：====4，∴|AB|=4sinθ，|AM|=4sin（120°﹣θ），又点M为边AC的中点，∴|AC|=2|AM|=8sin（120°﹣θ），∴|AB|+|AC|=4sinθ+8sin（120°﹣θ）=4sinθ+8×cosθ﹣8×（﹣）sinθ=8sinθ+4cosθ=4sin（θ+φ），（其中tanφ=）．∴当sin（θ+φ）=1时，|AB|+|AC|取得最大值．∴|AB|+|AC|的最大值为4．故答案为：4．【点评】本题考查正弦定理的应用，考查三角函数间的关系式及辅助角公式的应用，能用三角关系式表示出AB+AC是关键，也是难点，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在中，若（1）求角的大小（2）若，，求的面积

参考答案：解：（1）由余弦定理得化简得：∴∴B＝120°…6分（2）∴∴ac＝3∴…………………6分

19.已知A，B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴交于点P．（Ⅰ）若直线AB经过抛物线y2=4x的焦点，求A，B两点的纵坐标之积；（Ⅱ）若点P的坐标为（4，0），弦AB的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求出抛物线的焦点，设直线AB方程为y=k（x﹣1），联立抛物线方程，消去x，可得y的方程，运用韦达定理，即可求得A，B两点的纵坐标之积；（Ⅱ）设AB：y=kx+b（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线和抛物线方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，以及弦长公式，化简整理，再由二次函数的最值，即可求得弦长的最大值．【解答】解：（Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），依题意，设直线AB方程为y=k（x﹣1），其中k≠0．将代入直线方程，得，整理得ky2﹣4y﹣4k=0，所以yAyB=﹣4，即A，B两点的纵坐标之积为﹣4．（Ⅱ）设AB：y=kx+b（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．由得k2x2+（2kb﹣4）x+b2=0．由△=4k2b2+16﹣16kb﹣4k2b2=16﹣16kb＞0，得kb＜1．所以，．设AB中点坐标为（x0，y0），则，，所以弦AB的垂直平分线方程为，令y=0，得．由已知，即2k2=2﹣kb．====，当，即时，|AB|的最大值为6．当时，；当时，．均符合题意．所以弦AB的长度存在最大值，其最大值为6．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，考查直线和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式，结合二次函数的最值求法，属于中档题．20.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，E为PD的中点，AP=1，AD=．（I）证明：PB∥平面AEC；（II）求二面角P﹣CD﹣B的大小；（Ⅲ）设三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）连接AC、BD相交于G，连接EG．由三角形中位线定理可得EG∥PB，再由线面平行的判定得PB∥平面AEC；（II）由PA⊥面ABCD，可得平面PAD⊥平面ABCD，结合CD⊥AD，得CD⊥面PAD，则∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，求解直角三角形得答案；（Ⅲ）由已知求得AB，再由等积法求得A到平面PBC的距离．【解答】（I）证明：连接AC、BD相交于G，连接EG．∵E为PD的中点，∴EG∥PB，又EG?平面AEC，PB?平面AEC，∴PB∥平面AEC；（II）解：∵PA⊥面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又CD⊥AD，∴CD⊥面PAD，则∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，在Rt△PAD中，∵AP=1，AD=，∴tan∠PDA=，则∠PDA=30°；（Ⅲ）解：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BC，则PA是三棱锥P﹣ABD的高，设AB=x，A到平面PBC的距离为h，∵，∴．由VP﹣ABC=VA﹣PBC，得，解得h=．21.已知集合，（I），求实数的取值范围；（II）且，求实数的取值范围.参考答案：略22.已知函数f（x）=ex﹣ax，（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意实数x恒有f（x）≥0，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a得到范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）由f（x）=ex﹣ax﹣a，f'（x）=ex﹣a，从而化恒成立问题为最值问题，讨论求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=ex﹣ax，f′（x）=ex﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增；当a＞0时，令f′（x）=ex﹣a=0，得x=lna，则在（﹣∞，lna]上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增；（Ⅱ）由f（x）=ex﹣ax，f'（x）=ex﹣a，若a＜0，则f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x趋近于负无穷大时，f（x）趋近于负无穷大；当x趋近于正无穷大时，f（x）趋近于正无穷大，故a＜0不满足条件．若a=0，