第4章 立体投影及其表面交线

第4章立体及表面交线4.1平面立体4.2曲面立体4.3平面与立体相交4.4两曲面立体相交下一页返回目录基本体

按照一定规则形成的简单立体称为基本体，基本体分为平面立体和曲面立体两类。上一页下一页返回目录4.1平面立体4.1.1棱柱4.1.2棱锥

表面均为平面构成的立体称为平面立体，平面立体上相邻两表面的交线称为棱线。常见的平面立体有棱柱、棱锥和棱台等。上一页下一页返回目录4.1.1棱柱

由两个底面和若干棱面组成。棱面与棱面的交线叫棱线，棱线相互平行。上一页下一页返回目录5（1）棱柱的投影上一页下一页返回目录(1)棱柱的投影上一页下一页返回目录7aa（a）(2)棱柱表面上取点(b）bb上一页下一页返回目录4.1.2.棱锥

由一个底面和几个棱面组成。棱线交于有限远的一点——锥顶。上一页下一页返回目录(1)棱锥的投影上一页下一页返回目录sBasacbcsbCASb”(c”)a”(1)棱锥的投影上一页下一页返回目录ssaacbb(c)csba111rr(2)棱锥表面上取点上一页下一页返回目录sb(c)saacbcsba222(2)棱锥表面上取点上一页下一页返回目录3ssaacbb(c）csba(3)3(2)棱锥表面上取点上一页下一页返回目录4.2曲面立体

表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立体，常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球和圆环等。

曲面可看作由一条母线按一定的规律运动所形成，运动的线称为母线，而曲面上任一位置的母线称为素线。母线绕轴线旋转，则形成回转面。上一页下一页返回目录4.2.1圆柱

圆柱由圆柱面、顶面、底面所围成。圆柱面可看作直线绕与它相平行的轴线旋转而成。

上一页下一页返回目录(1)圆柱的投影上一页下一页返回目录(2)圆柱表面上取点()()A(D)CBc上一页下一页返回目录4.2.2圆锥

圆锥由圆锥面、底面所围成。圆锥面可看作直线绕与它相交的轴线旋转而成。上一页下一页返回目录(1)圆锥的投影上一页下一页返回目录(2)圆锥表面上取点(2’)22上一页下一页返回目录4.2.3圆球

圆球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径为轴线旋转而成。

上一页下一页返回目录(1)圆球的投影上一页下一页返回目录(2)圆球表面上取点上一页下一页返回目录4.2.4圆环

圆环是由圆环面围成的。圆环面可看作圆绕不通过圆心但在同一平面上的轴线旋转而成。

上一页下一页返回目录(1)圆环的投影上一页下一页返回目录(2)圆环表面上取点上一页下一页返回目录4.3平面与立体相交4.3.2平面与平面立体相交4.3.3平面与曲面立体相交4.3.1截交线的性质上一页下一页返回目录4.3.1截交线的性质

平面与立体相交在立体表面产生交线称为截交线，该平面称为截平面。截交线是截平面和立体表面的共有线，截交线上的点是截平面与立体表面上的共有点，它既在截平面上又在立体表面上。由于任何立体都有一定的空间范围，所以截交线一定是封闭的线条，通常是一条平面曲线或者是由曲线和直线组成的平面图形或多边形。截平面截交线上一页下一页返回目录4.3.2平面与平面立体相交

由于平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平面多边形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交线。求截交线的问题可以简化为求平面与平面的交线问题，进而简化为求直线与平面交点的问题。上一页下一页返回目录例求四棱柱斜切后的截交线。y【例】

完成被截切六棱柱的俯视图和左视图。4123561′4′1″2″3″4″5″6″3(5)2(6)作图步骤：2.作出被正垂面截切后的截交线投影。可先求出六个顶点的投影，然后相邻两点连接。3.作出下面两个切口处俯视图及左视图的投影。1.分析各截交线的形状。ⅠⅡⅢⅣⅤⅥy【例】

三棱锥被一正垂面截切，求截交线的投影。s’a’b’c’asbcsa(c)bBAⅠⅡⅢ1231yy23123上一页下一页返回目录【例】求立体截切后的投影23541116654326ⅠⅤⅣⅢⅡⅥ4（5）2（3）第三节平面与平面立体相交【例】完成平面截切三棱锥的水平和侧面投影上一页下一页返回目录例4求带切口三棱锥的投影。s'ss"b'c'c"b"a"a'bca1"yyyy14"44'233'2'1'3"2"解题步骤1分析截交线的正面投影已知，水平投影和侧面投影未知；2求出截交线上的折点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；4整理轮廓线。87111"2"10"5"6"9"4"3"961（3）2（4）1057"11"8"1112910431'（2'）8'（7'）3'（4'）10'（5'）9'（6'）11'【例】求六棱柱截切后的投影4.3.3平面与曲面立体相交

曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和直线所围成的平面图形或多边形。上一页下一页返回目录平面与曲面立体相交一、截交线的性质：二、求截交线的方法：1．利用积聚性求截交线。2．利用辅助平面求截交线。

曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和直线所围成的平面图形或多边形。三、求截交线的步骤：1．判别原形体的形状。

2．判别截平面的性质。

3．判别所得截交线的形状。

1）线段——找端点

2）圆或圆弧——找半径和圆心

3）

曲线——求特殊点（全）；求一般点（够）

a)轮廓线上的点。b)极限位置点。c)截交线本身的特殊点。4．连线，判别可见性。5．擦除切掉的轮廓线，加粗剩余的轮廓线。1.平面与圆柱相交圆垂直轴线两平行直线平行轴线椭圆倾斜轴线例求斜切圆柱的截交线。解题步骤1分析截交线的水平投影为圆，侧面投影为椭圆；2求出截交线上的特殊点A、B、C、D；3求出若干个一般点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、

Ⅳ；4并且判别可见性，光滑且顺次地连接各点，作出截交线；5整理轮廓线。特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。极限位置点曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。转向轮廓点曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区分曲线可见与不可见部分的分界点。特征点曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。结合点截交线由几部分不同线段组成时结合处的点aa"a'bb'b"cdc"d"BADC12341'(2')3'(4')1"2"3"4"c'(d')圆柱截交线椭圆的趋势椭圆的长、短轴随截平面与圆柱轴线夹角的改变而改变。45°什么情况下投影为圆呢?截平面与轴线成45°夹角时例求切口圆柱的侧面投影。【例】

求截切圆柱的侧面投影。4″3″2″1″ⅠⅡⅢⅣ解题步骤1.分析截交线的水平投影为圆的一部分，侧面投影为矩形2.求出截交线上的特殊点

Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ3.顺次地连接各点，作出截交线并判别可见性4.整理轮廓线【例】求带槽圆柱筒的侧面投影。e'

(f'

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(c'

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(g'

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(b'

)f(g)a(d)b(c)e(h)c"

(g")b"

(f")a"

(e")d"

(h")【例】求圆柱切割体的水平投影和侧面投影。ⅥⅤⅣⅢⅠ圆柱切割体(b)投影图(a)直观图7'(8')7"8"7(5)8(6)【例】求截切圆柱的侧面投影。3'31'1(2)2'4'455'3"2"5"1"4"圆柱截交线(1)通孔直线圆曲线2″1″1(2)2′1′通孔圆柱截交线(2)圆柱截交线(3)圆柱截交线(4)2.平面与圆锥相交θ=90°θ＝ααθ＞＞90°0°≤θ＜α过锥顶两相交直线圆椭圆抛物线双曲线ααθαθαθ解题步骤例9已知圆锥与正垂面P相交，求截交线的投影。1分析截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；2求出截交线上的特殊点；3求出一般点；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。例10求正平面与圆锥的截交线。解题步骤1分析截交线的水平投影和侧面投影已知，正面投影为双曲线并反映实形；2求出截交线上的特殊点Ⅰ、ⅡⅢ；3求出一般点ⅣⅤ；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。11'1"2"(3")4"(5")4'5'2'3'2453例11求带缺口圆锥的水平投影和侧面投影。11’1”2’(3’)2”3”235’(6’)5”6”654’44”例求圆锥被截后的投影。a3.平面与圆球相交平面与圆球相交,截交线为圆上一页下一页返回目录例12已知正垂面所截切球的正面投影,求其余两面投影。上一页下一页返回目录例补全带凹槽半球的水平投影和侧面投影。上一页下一页返回目录分析并想象出圆球穿孔后的投影。上一页下一页返回目录4.平面与组合回转体相交

首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成的以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。上一页下一页返回目录4.4两曲面立体相交4.4.1相贯线的性质4.4.2相贯线的作图方法4.4.3相贯线的特殊情况4.4.4组合相贯线上一页下一页返回目录4.4.1相贯线的性质两曲面立体相交称作相贯。其表面产生的交线称为相贯线。

上一页下一页返回目录一、相贯线的性质：二、求相贯线的方法：相贯线在一般情况下是封闭的空间曲线（一条或两条），特殊情况下是平面曲线或线段。相贯线是两立体的共有线，也是两立体表面的分界线，相贯线上的点是两曲面立体的共有点。1.利用形体投影的积聚性求相贯线。2.利用辅助平面求相贯线（三面共点）。3.利用辅助球面求相贯线（不做要求）。相贯体相贯线相贯线性质图例上一页下一页返回目录4.4.2相贯线的作图方法1.表面取点法

当相贯的两立体表面的某一投影具有积聚性时，相贯线的一个投影必积聚在这个投影上，相贯线的其余投影可按着曲面立体表面取点的方法求出,这种求作相贯线的方法称为表面取点法。上一页下一页返回目录

（1）分析首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和相对位置，然后分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况分析两曲面立体对投影面的相对位置，两曲面立体的投影是否有积聚性。分析相贯线哪个投影已知的，哪个投影是要求作的。

（2）求特殊点

相贯线上的特殊点包括极限位置点、轮廓转向点、曲线特征点和结合点四种。

（3）求一般点根据需要求出若干个一般点。

（4）判别可见性

当相贯线上的点同时处于两立体表面的可见部分时这些点才可见，否则不可见。

（5）完成相贯线

顺次光滑连接各点，作出相贯线。补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓线。上一页下一页返回目录表面取点法求作相贯线的一般步骤例1已知两圆柱的三面投影,求作其相贯线的投影。yyyyded'e'a'c'b'a"b"c"d"e"bac分析求特殊点求一般点判别可见性完成相贯线上一页下一页返回目录例2:两正交圆柱体相贯，求相贯线的投影。(a)直观图(b)投影图上一页下一页返回目录圆柱表面交线的三种情况

两外表面相交外表面与内表面相交两内表面相交上一页下一页返回目录例3:圆柱上钻孔，求相贯线。上一页下一页返回目录例4:圆柱筒上钻孔，求相贯线。上一页下一页返回目录两正交圆柱相贯线的变化趋势（一）上一页下一页返回目录两正交圆柱相贯线的变化趋势（二）上一页下一页返回目录例5求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影。

a“(b“)a'b'c“c'abcdd"d'e“(f“)efe'f'ghyyg“(h“)g'h'上一页下一页返回目录2.辅助平面法

假想用一个平面在相贯两立体的相贯区域内去截切相贯的两立体，分别在两立体表面上产生截交线，两截交线交点就是两立体表面与辅助平面三者的共有点，即相贯线上的点。这个假想的平面是辅助平面。作出一系列的辅助平面，求出相贯线上一系列点的投影，依次光滑连接，即得相贯线的投影。

上一页下一页返回目录(1)所选辅助平面与两曲面立体表面的辅助截交线的投影应是简单易画的直线或圆。常选用特殊位置平面作为辅助面。

(2)辅助平面应位于两曲面立体的共有区域内，否则得不到共有点。选择辅助平面的原则：上一页下一页返回目录yyPW2PV24"yy4'PV1PW13"PV3PW35"11'1"2'2"2453'35'例6求圆柱与圆锥正交时相贯线的投影。上一页下一页返回目录例7求水平圆柱与半球的相贯线的投影。a’a”ab’b”QVQWcPVPWefe’(f’)RVRWgg’(h’)bhd上一页下一页返回目录例8求铅垂圆台与半球的相