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山西省阳泉市荫营中学2022-2023学年高一数学理联考试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B=()A.{1,4} B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2}参考答案:A【考点】交集及其运算.【分析】由集合A中的元素分别平方求出x的值,确定出集合B,找出两集合的公共元素,即可求出交集.【解答】解:根据题意得:x=1,4,9,16,即B={1,4,9,16},∵A={1,2,3,4},∴A∩B={1,4}.故选A.2.有20位同学,编号从1至20,现在从中抽取4人作问卷调查,用系统抽样方法所确定的编号有可能是()A.3,8,13,18B.2,6,10,14C.2,4,6,8D.5,8,11,14参考答案:A略3.已知定义在上的函数和,其图象如下图所示:给出下列四个命题:①方程有且仅有6个根
②方程有且仅有3个根③方程有且仅有5个根
④方程有且仅有4个根来源:学#科#网其中正确命题的序号是(
)[A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①③④
参考答案:D略4.若且θ的终边不落在坐标轴上,则tanθ的值为(
)A. B.或0
C.0 D.参考答案:A略5.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积()与时间(月)的关系:,有以下叙述:
①这个指数函数的底数是2;②第5个月时,浮萍的面积就会超过③浮萍从蔓延到需要经过1.5个月;④浮萍每个月增加的面积都相等;⑤若浮萍蔓延到、、所经过的时间分别为、、,则.其中正确的是(
)
A.①②
B.①②③④
C.②③④⑤
D.①②⑤参考答案:D略6.经过点M(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线是()A.x+y=2
B.x+y=1C.x=1或y=1
D.x+y=2或x=y参考答案:D7.若
A
2
B
4
C
8
D
16参考答案:D8.如图,在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=1,AA1=2,点P是平面A1B1C1D1内的一个动点,则三棱锥P﹣ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为()A.1 B.2 C. D.参考答案:B【考点】简单空间图形的三视图.【分析】由题意确定棱锥P﹣ABC的正视图的面积,三棱锥P﹣ABC的俯视图的面积的最小值,即可求出三棱锥P﹣ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值.【解答】解:由题意可知,P在正视图中的射影是在C1D1上,AB在正视图中,在平面CDD1C1上的射影是CD,P的射影到CD的距离是AA1=2,所以三棱锥P﹣ABC的正视图的面积为=1;三棱锥P﹣ABC的俯视图的面积的最小值为=,所以三棱锥P﹣ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为=2,故选:B.9.已知等差数列{an}的前n项和为,则A.140 B.70 C.154 D.77参考答案:D【分析】利用等差数列的前n项和公式,及等差数列的性质,即可求出结果.【详解】等差数列{an}的前n项和为,.故选D.【点睛】本题考查等差数列的前n项和的求法和等差数列的性质,属于基础题.10.下列四个结论:
⑴两条不同的直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行。
⑵两条不同的直线没有公共点,则这两条直线平行。
⑶两条不同直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行。
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行。其中正确的个数为()
A.
B.
C.
D.参考答案:A
略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知幂函数f(x)=xα,的图象关于原点对称,且当x∈(0,+∞)时单调递增,则α=
.参考答案:3【考点】函数的图象.【分析】根据幂函数的图象与性质,即可求出α的值.【解答】解:因为f(x)为幂函数且在[0,+∞)上为增函数,所以α>0,又函数f(x)的图象关于原点对称,所以f(x)为奇函数,所以α=3,故答案为3.【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题,也考查了转化思想的应用问题,是基础题.12.在△ABC中,,则cosC=______.参考答案:【分析】由已知求得,进一步求得,即可求出.【详解】由,得,即,,则,,,则.【点睛】本题主要考查应用两角和的正切公式作三角函数的恒等变换与化简求值。13.(4分)已知函数f(x)=是实数集R上的增函数,则实数a的取值范围为
.参考答案:(1,3]考点: 函数单调性的性质.专题: 函数的性质及应用.分析: 根据已知条件,x<1时,函数(3a﹣1)x﹣5是增函数,x≥1时,ax是增函数,所以便有,解该不等式组即得a的取值范围.解答: f(x)为R上的增函数;∴;∴解得1<a≤3;∴实数a的取值范围为(1,3].故答案为:(1,3].点评: 考查分段函数在定义域上单调时需满足的条件,以及一次函数、指数函数的单调性.14.的值是
.参考答案:
略15.已知向量,,若与垂直,则_______________.参考答案:16.给出以下五个命题:①集合与都表示空集;②是从A=[0,4]到B=[0,3]的一个映射;③函数是偶函数;④是定义在R上的奇函数,则;⑤是减函数.
以上命题正确的序号为:
参考答案:②④略17.已知函数f(x)=x3+ax+3,f(﹣m)=1,则f(m)=
.参考答案:5【考点】函数奇偶性的性质.【分析】结合函数的奇偶性,利用整体代换求出f(m)的值.【解答】解:由已知f(m)=﹣m3﹣am+3=1,所以m3+am=2.所以f(m)=m3+am+3=2+3=5.故答案为5.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知||=2,||=3,||与||的夹角为120°,求(1)(2)﹣(3)(2)()(4)||参考答案:【考点】9R:平面向量数量积的运算.【分析】(1)直接由已知结合数量积公式得答案;(2)由运算得答案;(3)展开多项式乘以多项式,代入数量积得答案;(4)求出,开方后得答案.【解答】解:∵||=2,||=3,||与||的夹角为120°,∴(1)=;(2)﹣=22﹣32=﹣5;(3)(2)()==2×22+5×(﹣3)﹣3×32=﹣34;(4)||==.19.已知函数对任意实数均有,且在区间上有表达式.
(1)求,的值;(2)写出在上的表达式,设(),随着的变化讨论函数在区间上零点的个数(3)体会(2)中解析式的求法,试求出在上的解析式,给出函数的单调区间;并求出为何值时,有最大值参考答案:解:(1)--------------------------------------------2分(2)设,则,所以时,,时,,综上,在上的表达式为-------------------------------------------------------6分由得,方法一:数形结合(略)方法二:由在上的表达式可得,的单调性情况如下在上为增函数;在上为减函数;在上为增函数且,所以当或时,函数与直线无交点,即函数无零点;当或时,函数与直线有2交点,即函数2个零点;当时,函数与直线有3交点,即函数3个零点;---------------9分
略20.已知圆,直线,.(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点;(2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.参考答案:(1)见解析;(2)2x-y-5=0【详解】由(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,得(2x+y-7)m+x+y-4=0.则解得∴直线l恒过定点A(3,1).因为,所以点A在圆的内部,所以直线与圆恒交于两点(2)当直线l被圆C截得的弦长最小时,有l⊥AC,由,得l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y-5=0.21.已知函数f(x)=sinωx-cosωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程;(2)讨论函数f(x)在上的单调性.参考答案:(1);(2)单调增区间为;单调减区间为.【分析】(1)先化简得函数f(x)=sin,解不等式2x-=kπ+(k∈Z)即得函数y=f(x)图象的对称轴方程.(2)先求函数的单调递增区间为(k∈Z),再给k取值,得到函数f(x)在上的单调性.【详解】(1)∵f(x)=sinωx-cosωx=sin,且T=π,∴ω=2.于是,f(x)=sin.令2x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),故函数f(x)的对称轴方程为x=+(k∈Z).(2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).注意到x∈,令k=0,得函数f(x)在上的单调递增区间为;其单调递减区间为.【点睛】(1)本题主要考查三角函
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