山西省阳泉市郊区荫营第二中学2021年高二数学理期末试题含解析

山西省阳泉市郊区荫营第二中学2021年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知椭圆的方程为，则该椭圆的长半轴长为（

）A．3

B.2

C．6

D.4参考答案：A略2.已知向量，，若∥，则的值为（

）（A）7

（B）6

（C）5

（D）4参考答案：B略3.已知P(-1,2)为圆

内一定点，过点P且被圆所截得的弦最短的直线方程为

(

）A.2x-y+5=0

B.x+2y-5=0

C.x-2y+5=0

D.x-2y-5=0参考答案：A4.把函数y=cos(x+)的图象向右平移φ个单位，所得的图象正好关于y轴对称，则φ的最小正值为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：解析:y=cos(x+)的图象向右平移φ个单位后的解析式y=cos(x+－φ),其图象关于y轴对称，将选择支代入后解析式为y=±cosx即可.

答案:B5.若点A的坐标为(－1,2),且点C(4,0)分所成的比为,则点B的坐标为(

)

A.(14,－4)

B.(7,－2)

C.(2,)

D.(－2,4)参考答案：A6.曲线和直线在轴右侧的交点横坐标按从小到大依次记为，则（

）A.nπ

B.(n-1)π

C.2nπ

D.2(n-1)π参考答案：B7.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为(

)A.直角三角形

B.等腰直角三角形C.等边三角形

D.等腰三角参考答案：A8.两圆x2+y2=4与（x+1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（）A．内含 B．相交 C．相切 D．相离参考答案：B【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】直线与圆．【分析】根据两圆的圆心距大于半径之差，而小于半径之和，可得两圆相交．【解答】解：两圆x2+y2=4与（x+1）2+（y﹣1）2=1的圆心距为，它大于半径之差2﹣1，而小于半径之和2+1，故两圆相交，故选：B．【点评】本题主要考查圆和圆的位置关系的判定，属于基础题．9.（x3+）10的展开式中的常数项是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略10.已知f（x）=，定义f1（x）=f′（x），f2（x）=[f1（x）]′，…，fn+1（x）=[fn（x）]′，n∈N．经计算f1（x）=，f2（x）=，f3（x）=，…，照此规律，则f2015（0）=（）A．﹣2015 B．2015 C． D．﹣参考答案：B【考点】归纳推理；导数的运算．【分析】根据归纳推理进行求解即可．【解答】解：∵f1（x）=，f2（x）=，f3（x）=，…，照此规律，f2015（x）=，则f2015（x）==2015，故选：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某个线性方程组的增广矩阵是，此方程组的解记为（a，b），则行列式的值是

．参考答案：-2【考点】三阶矩阵．【分析】先求得方程组的解，再计算行列式的值即可．【解答】解：∵线性方程组的增广矩阵是，方程组的解记为（a，b），∴∴==2×（﹣3）﹣（﹣4）=﹣2故答案为：﹣212.将5名志愿者分成4组，其中一组为2人，其余各组各1人，到4个路口协助交警执勤，则不同的分配方法有

种.(用数字作答)参考答案：24013.如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．此人到达当日空气质量优良的概率．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案．【解答】解：由图看出，1日至13日13天的时间内，空气质量优良的是1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天．由古典概型概率计算公式得，此人到达当日空气质量优良的概率P=；故答案为：．14.若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，c=2a，则cosB的值为

．参考答案：【考点】余弦定理．【专题】计算题．【分析】由a，b，c，且a，b，c成等比数列且c=2a可得，b=，c=2a，结合余弦定理可求【解答】解：∵a，b，c，且a，b，c成等比数列且c=2ab2=ac=2a2，b=，c=2a=故答案为：【点评】本题主要考查了等比中项的定义的应用，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题15.不等式的解集是______.参考答案：【分析】将原不等式右边变为0，然后通分后利用分式不等式的解法求解即可。【详解】，，通分得：，即，，解得：或故答案为【点睛】本题考查分式不等式的解法，考查学生转化的思想，属于基础题16.已知某一段公路限速60公里/小时，现抽取200辆通过这一段公路的汽车的时速，其频率分布直方图如图所示，则这200辆汽车中在该路段没有超速的有

辆．参考答案：80【分析】根据频率分布直方图，得在该路段没有超速的汽车数量的频率，即可求出这200辆汽车中在该路段没有超速的数量．【解答】解：根据频率分布直方图，得在该路段没有超速的汽车数量的频率为（0.01+0.03）×10=0.4，∴这200辆汽车中在该路段没有超速的数量为200×0.4=80．故答案为：80．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应会识图，用图，是基础题．17.已知平面向量，（其中），定义：。若，则＝____________；若，且，则a＝__________，b＝__________（写出一组满足此条件的a和b即可）。参考答案：(1)(0,5)(2)，等三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（k∈R）的最大值为h（k）．（1）若k≠1，试比较h（k）与的大小；（2）是否存在非零实数a，使得对k∈R恒成立，若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）通过求导，利用导数研究函数的单调性，可得其极值与最值，对k分类讨论，即可比较出大小关系．（2）由（1）知，可得．设，求导令g'（k）=0，解得k．对a分类讨论即可得出g（k）的极小值最小值．【解答】解：（1）．令f'（x）＞0，得0＜x＜ek+1，令f'（x）＜0，得x＞ek+1，故函数f（x）在（0，ek+1）上单调递增，在（ek+1，+∞）上单调递减，故．当k＞1时，2k＞k+1，∴，∴；当k＜1时，2k＜k+1，∴，∴．（2）由（1）知，∴．设，∴，令g'（k）=0，解得k=﹣1．当a＞0时，令g'（k）＞0，得k＞﹣1；令g'（x）＜0，得k＜﹣1，∴，∴．故当a＞0时，不满足对k∈R恒成立；当a＜0时，同理可得，解得．故存在非零实数a，且a的取值范围为．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.已知函数．(1)求的值；(2)若，求．参考答案：解：(1)（2）∵，，∴

略20.P、Q是抛物线上两动点，直线分别是C在点P、点Q处的切线，求证：点M的纵坐标为定值，且直线PQ经过一定点；参考答案：解：（1）设，王又 则 即

① 方程为

②王 由①②解得

由王 即 所以， PQ方程为 即即王由此得直线PQ一定经过点

（2）令，则由（1）知点M坐标直线PQ方程为略21.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝λ，b＝λ(λ>0)，A＝45°，则满足此条件的三角形个数是()A．0

B．1

C．2

D．无数个参考答案：A22.(本小题12分)把一根长度为7的铁丝截成3段．（1）如果三段的长度均为整数，求能构成三角形的概率；（2）如果把铁丝截成2，2，3的三段放入一个盒子中，然后有放回地摸4次，设摸到长度为2的次数为，求与；（3）如果截成任意长度的三段，求能构成三角形的概率．参考答案：（Ⅰ）设构成三角形的事件为基本事件数有4种情况：“1，1，5”；“1，2，4”；“1，3，3”；“2，2，3”

其中能构成三角形的情况有2种情况：“1，3，3”；“2，2，3”

则所求的概率是

（Ⅱ）根据题意知随机变量

∴

（Ⅲ）