讲稿积分变换

第一章叶变傅立叶级f(x)[−ll]1f(x) 2

l

+ lf(x)的傅立叶级数。只要f0x[—l,上分段连续，则级数一致收敛于f(x)f(x)

1Z Z

f

dx}f

dξ(ξ)

Z

f

dx(ξ 叶逆变换记 1Z+∞ f(x)= f(ξ)] f

dξ1求矩形脉冲函?f(t)

|t|≤ |t|> (a> 叶变换解:由叶变换的定()

Ze−iξtdt=

1e−iξt| |

例2求f(x)=1叶变换例3求f(x)=cosax叶变换4求单边指数衰减函数(ef(t)

t≥ t<(β>0为常数)的叶变换叶积分公式证明:Z+∞βcosωt+ωsin

,且利用t>t>tt0π

+

dω20解:由叶变换的定(ξ)

Z dt0

Z01=β+

0

β−iξβ2+[(ξ)]

1Z β−β2+

eiξtZ1=+∞(β−iξ)(cosξt+isinZ1=2π

β2+1Z2π

β2+ξ2

dξ

1Z+∞β(cos β2+1Z

−iξ(icos

dξ=2π β2+21Z+∞βcosξt+ξsin 2 β2+

1[f(t−0)+f(t+dξ对ˆ(ξ)作叶变(x)[(ξ)]Z

Z()e−ξx=2π[

f 5求矩形脉冲函?

dξ]=2πff(t)

|t|≤ |t|> (a>的叶变换 且利用叶积分证Z+∞

|t|<2π2ωsinaωcosωtdω |t|=ω |t|>其(a>并利用对称公式求g(t)=换

的叶解:由叶变换的定()

Ze−iξtdt=

1e−iξt| |

−1[(ξ)]

Z+∞

eiξtdξ(由于f(x

−1[(ξ)]

1Z

)et

dξZ+∞1sinaωcosωtdωZ

?f |t|6=21(t−0)+f(t+0)]2[(ξ)]

Z+∞

eiξtdξ1Z=

sinaξ(cosξt+isinξt)dξ2π 再由奇函数的积分性质可1Z2π

sinaξ(isinξt)dξ=ξ再由偶函数的积分性质可 |t|< +∞ ξsinaωcosξtdξ

|t|= |t|> (a>如果t0a1,另一方

Z+∞

πdξ2ˆ(g(ξ)故

(ξˆ(ξ)

1(ξ)=f(−ξ)=f(ξ)单位脉冲函(δ函数在工程和物理现象中，从集中分布的量集中质量，集中点电荷，点热源，单位脉冲,冲击力的瞬时作用等的研究中会遇到在原点等于∞，在其他地方为0Dirac函数.这种函数不是高等数学中的普通函数，而是广义函数.这种函数在工程和物理中有重要意义.δ函数的定义δ函数是定义在(−∞)内满足如下条件的函数:(δ(x−x0)

x= x6=0Z0δ(x−x0)dx=δ(xx0)ε的普通函δ?(x−x0)的（弱）极限.例如取

x) x0<x<x0+ −

o x6=δ?(xx0)有如下的两个性质

δ?(x−x0)

x= x6=

Z

δ?(x−x0)dx=定理(筛选性质)对在ax0b的邻域内连续的任意函数ϕ(x)有Zδ(x−x0)ϕ(x)dx=a(ab)=(−∞+∞)时，Zδ(x−x0)ϕ(x)dx=引1f(x是广义函数(ab)内的任意连续函数有Zf(x

f(x)ϕ(x)dx=a1δ(x)是偶函数证明对任意连续函数 作变换t=−x，Zδ(−x− δ(t−+∞Z=ϕ(−0)

δ(x−性质2设 在点x0的邻域内连续,α(x)δ(x−x0) α(x0)δ(x−特别地，α(x0)=0α(x0)δ(xx0)=连续函数ϕ(x)应用筛选性质,ZZ

α(x)δ(x−x0∞ δ(x− Z −∞δ(x−x0Z证毕

α(x0)δ(x−x03H=其H(x)

x> x<证明对任意连续函数ϕ(x),limx→0+ϕ(x)=0,有ZH0∞=

H0Z|=H(x)ϕ(x) |

ϕ0x=ϕ(0)Z

Z∞H0−H−δ(x)=证毕性质 δ(x−x0)的叶变换与逆变F[δ(x−x0)]

Z

δ(x−x0)e−iξxdx=特别地,x00时ˆ(ξ Z 1 [δ(ξ−a)]

iξxdξ

特别地a0时1F−1[δ(ξ)]

ei∗0∗ξ

1,F

]=即1=F[1]= Fa)]

1F[ eiξa]=

—π所1F[cosax]同样可

F[ax+−x=2

—a)+δ(ξ+a)F[sinax]=iπ[δ(ξ+a)−δ(ξ−a)例证明单位阶跃函数 的叶变1证则

F[H(x)]F[(x)]

+1+f(x)=

−1(ξ)]

+∞[Z ZZ

1Z=

δ(ξ)eiξxdξ

+∞

1

ξ1+

|x|> =— |x|<— Z+∞注

dξ

Z+∞

dt2例求符( t>sgnt

t<的叶变sgnt=2H(t1,有所以F[sgnt]=2F[H[1]2

性质 设方程 有 个重t1t2tm,则δ[ϕ(t)]

δ(t−0k特别地t10为一个根时,δ(at ,a6=0a为t1−at2a,为两个根时,δ(t−a)+δ(t+ a2)—

,a=0a为常数叶变换的性质线性性质(ξˆ(α 是常数;F[αf(x)+βg(x)]=α(ξ)+βˆ(ξ).F−1[α(ξ)+βˆ(ξ)]=αf(x)+

ˆ(ξ)=F[a, 均为常数;[ˆ(ξF−1(ξ−a)]=eiax(x).F变换定义,xx0=τF[(x−Z f(x−ZZ 类似地也可证明第二式成立.证毕相似性数,则

fˆξ)=F[(x)]a6=0为F[(ax)]=1fˆ( 特别地，a−1,则可得F[(−x)]=(−ξ证明a0时,t=ax,ZF[(ax)]ZZ

f(ax)eξ f a0时,令Ztax,F[(ax)]=

f(x)e−ixdx=−1 1

(a)4. 微分性|x|→∞时,f(x)→ˆ(ξ)[F[0(x)]=iξ(ξ)dF[−ixf(x)]=公式称为象函数的导数公式

ˆ(Fourier变换的定义,利用分部积分,ZFf0(x)] f|=f(x)e−iξx +|

Z

f=iξ(ξ)通过积分号下求导，可d(ξ = Z∞

∞=证毕

[−ixf(x)]e−iξxdx=F[−ixf推论1. 若lim|x|→∞f(x)= 01...,F[(n)(x)]=(iξ)n(ξ象函数的高阶导数dξnˆ(ξ)=(−i)nFxn积分性g(x)=

Rf(τ

Z则ZxF f(τ)dτ]

ˆ(ξ证明由于g0=f 根据微分性质,F[(x)]=F[g0(x)]=iξFZ由此可得Zx

ˆ(ξ证毕

F f(τ)dτ] 注 若极限limx→+∞ Rf(x)dτ

fˆ(0)6=0,则对

用微分性质，从而上式不成立.此时，性质要修改Z 1 F f(τ)dτ]

f(ξ)+πf证毕略.卷积与卷积定定义1设f(x)和 −∞, 内义若积分f(x)>g(x)

Zf(τ)g(x−τ存在，则称它为f 和 的卷积,记f(x)>f(x)>g(x)=g(x)>f(f(x)>g(x))>h(x)=f(x)>(g(x))f(x)>(g(x)+h(x)=f(x)>(g(x)f(x)>证明1.由卷积定义，令x−τ= −dτ=则f(x)>g(x)Z∞

Zf(τ)g(x−τ f(x−t)g(t)dt=g(x)>f卷积定ˆ( F[有

ˆ( F[g(x)],(ξ)ˆ(ξF[(x)g(x)]

(ξ)ˆ(证明 由卷积及F变换的定义，F[(x)>Z∞Z f(τ)g(x−τ)dτZ Z f(τ)e−iξτ∞

g(x−τ ∞ f(τ)e−iξτdτ =(ξ)(ξ)1求函数f(t)= 和g(t)=

1,|t|≤(0,|t|>的卷积,H(t)是单位跳跃函数解:由卷积定义及交f(t)>g(t)Z∞

Zf(τ)g(t−τ f(t−τ)g(τ当t<−1,f(t−τ)g(τ)=0⇒f(t)>g(t)=当−1≤t≤1,τ∈[−1,t]⇒f(t−τ)g(τ)6=从f(t)>g(t)

Ze−(t−τ)dτ=1−当t>1,τ∈[−1,1]⇒f(t−τ)g(τ)6=从f(t)>g(t)

Ze−(t−τ)dτ=(e−e−1所以f(t)>g(t)

0,t<1−e−(t+1),−1≤t≤−e−1)e−t,t>例2证明卷积公式δ(t−a)∗f(t)=f(t−证明 由卷积定义及筛选性质知式成立δt∗(t)3证明

Zδ(τ−a)f(t−τ)dτ=fδ(t−a)∗δ(t−b)=δ(t−a−证明:应用卷积定理及δ函数的叶变换，易得出F[δ(t−a)∗δ(t−b)]=F[δ(t−a)]F[δ(t−= =e−iω(a+b)=F[δ(t−a−两边F逆变换,可得出F−1F[δ(t−a)∗δ(t−b)]=F−1F[δ(t−a−证毕求下列两个函数的卷积fa(t)

sin

sin,fb(t)= 其a0,b解已知ϕa(t)F变换为

(,|t|≤0,|t|>F

a(t)]

=cmin(ab)，显然有ϕa(t)ϕb(t)=ϕc(t)

|t|≤ |t|>利用卷积定理F[(x)g(x)]

1(ξ)ˆ(ξ(ξ)即

ˆ(ξ)=2πFfϕa(t)>ϕb(t)=2πF4πsin=2πF[ϕc(ω)]ω上式中的ω换成t,两边乘以1 换后,可fa(t)>fb(t)

sin例4设f(t)=e−βtH(t)cost, F[解:由于1F[e−βtH(t)]= β+F[cosax]

F[ax+−x=2

—a)+δ(ξ+a)利用卷积定理式及关于 函数的卷积公δ(t−a)∗f(t)=f(t−有Ff(t)]

2πβ+

>[δ(ξ−a)+δ(ξ+a) 2β+j(ω+ 2β+j(ω−5f(t)=F[解:由于F[H(t)]

—bcost 1+1F[H(t−b)]=1

+πδ(ω)] e−jbω+πδ(ω)F[cosax]=π[δ(ξ−a)+δ(ξ+a)]利用卷积定理式及关δ函数的卷积公式及δ(t−a)∗δ(t−b)=δ(t−a−b)有F[(t)]

e−jbω2π

—a)+δ(ξ+a)1 1 =2[j(ω+

[δ(ξ−a)+δ(ξ+a)j(ω− 5求解微分积分方程Zf0(t)−a

tf(τ)dτ= (a>(0)

Zf(τ)dτ=解 应用微分性质与积分性质，对方程两边F a2 jωf(ω) f(ω)

ω2+(ω) =1 (ω2+ 2dωω2+=jF jte−a|t|] f(t)

te−a|t|2 一维热传导方程的初值问题证明函数叶逆变换为

fˆξ)e−a2ξ2t(t0的f(x)=F−1[(ξ)]

√

)证明利用分部积分及微分性质，f(x)

1Z

e−a2ξ2teiξx e−a2ξ2teiξx—

=

ξ2teiξx2a2tdf= F−1[iξ(ξ)x

所f(x)(x)+ f(x)=0, 1Zf(0)

e−a2ξ2t1=

Z

e−η2证毕

√(令η= f(x)

Z f 可Z 1re−a2ξ2eixξ

) 注意奇、偶函数的积分性质，上式也就Z

2

1r cosxξdξ= ) 求解一维热传导方程的初值(u−a2uxx=f(x,t)(−∞<x<+∞,t>u(x,0)=记ˆ(ξ,t)为函数u(xt)关于xF变换fˆξtF[(xtˆ(ξ)=F[ϕ(x)]，F变换的微分性质，F[uxx]=ξ2对问题F变换可

−ξ2ˆt+ˆ(ξuˆ(ξ,0)=ˆ(ξ)这是含参ξ的一阶常微分方程的初值题非齐次微分方程=齐次微分方程通+非齐次微分方程的特解令ˆt+a2ξ2ˆ=dˆ(ξ,−a2ξ2ˆ(ξ,dˆ(ξ,ˆ(ξ,

=lnˆ=−a2ξ2t+lncˆ=ce−a2ξ2t利用常数变易法，令ˆ=c(ξ,为非齐次微分方程的特解

dc(ξ,=

e

—a

c(ξ,a2ξ2ˆˆt+a2ξ2ˆ

(ξ,有dc(ξ,

(ξ,

ea2ξ2t(ξ,c(ξ,t)

Z(ξ,0

dτ+Zˆ(ξ (ξ,0ˆ(

dτ+C]Zˆ(ξ,ˆ(ξ)0

(ξ,上ξF逆变换，应用卷积性质,得−1[ˆ(ξ,

e−=ϕ(x)∗

Z

—

(−τ f(x,τ)0

p π(t−τ Z — Z Z +∞f(ξ,τ — e4a2(t−τ)dξdτ t−半扩散问– =0(x>0,t>– t)=n(n为实数u=v(xtnv(xt)vt−a2vxx=0(x>0,t>0)=−n(x>v(0,t)=0将初始条件作奇延拓，v(x,0)=ϕ(x)

−n,x> x<从而构成域上的热传导问(−a2vxx=0(−∞<x<+∞,t>v(x,0)=由前例可

Z

Z —

—u(x,t)=

x−上式右端第一个积分令zξ−

√;而在2 2二个积分中z

√，可 √ Z Z u(x,t)=n

√

dz

√

√ Z 2nZ 0=n− π

x

dz=n−πx其中

=n−n·erf √)=n √) 2Zerf(x)=√

e−z2是误差函数，erfc(x)=函数半平面的稳定问

erf(x)是误差余求解半平面的雷问题uxx+uyy=0(−∞<x<+∞,y>u(x,0)=fu(x,y)=0,r2=x2+ˆ(ξ对x的叶变换.对问题式作F变换，uˆyy−

= (y>ˆ(由u→0(r→∞)y+∞时ˆ(ξ,

Z

u(x,

dx→0方yyξ2ˆ=0的通解ˆ(由式ˆ(ξ,y) 0.(当y→+∞)

R

u(x,y)e−iξx 可C20再由边界条件C1从

(ξ)ˆ(ξ,由Z

(ξ)e−|ξ|yF−1[e−|ξ|y]=

e−|ξ|yeiξx 1

dξ

Z0

1

) 2πy+ y− π(x2+应用卷积定F逆变换可u(x,y)=F−1[ˆ(ξ,y)]=f(x)

π(x2+yZy=

f(x−ξ)2+

dξ这就是半平面的泊松公式求解调和方程的第二边值问题+uyy=0(−∞<x<+∞,y>uy(x,0)=cosax (a>0)limy→+∞u(x,y)=0,记ˆ(ξ,y)=F[u(x,y)]为对x的叶变换.F变换，有−ξ2ˆ= (y>uˆy(ξ,0)=π[δ(ξ−a)+δ(ξ+a)]ˆ(ξ,y)=0,方yy2ˆ0的通解ˆ(由式ˆ(ξ,y) 0.(当y→+∞)C2=0π

R

u(x,y)e−iξx C1= [δ(ξ−a)+δ(ξ+从ˆ(ξ,y)=

[δ(ξ−a)+δ(ξ+a)F逆变换可u(x,y)=F−1[ˆ(ξ, Z =

[δ(ξ−a)+δ(ξ+a)]e−|ξ|ye−jξx =

1—

+这就是半平面的泊松公式注1:利用上式容易得出二维调和方程的诺依曼( ann)问题(uxx+uyy=0(−∞<x<+∞,y>uy(x,0)=的解 事实上，令v(x,y)=uy(x,y)，有(v+vyy=(uxx+uyy)y=v(x,0)=这是函数 的雷问题，其解v(x,y)

yZ −∞(x−ξ)2+

dξ从u(x,y)

ZZ

v(x,y)dη+Z= y

(x−ξ)2+η2dξdη+π −∞= Z

(x−ξ)2+η2dηdξ+=

g(ξ)

(x−ξ)2+0(x−ξ)2+0

dξ+c其中y00c为任意常数 三维拉斯方程的基本基本E(xyz)满足方∆E

Exx+Eyy+Ezz=δ(x,y,z)

<x,y,z作三重叶变ˆ(ξ,η,ζ)=F[E]注意 δ(x,y,

=

E(x,y,z)e−i(xξ+yη+ζz) F[δ(x,