山西省阳泉市盂县秀水镇第二中学2022年高一数学理模拟试题含解析

山西省阳泉市盂县秀水镇第二中学2022年高一数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=2sin（2x+）的图象为M，则下列结论中正确的是（）A．图象M关于直线x=﹣对称B．由y=2sin2x的图象向左平移得到MC．图象M关于点（﹣，0）对称D．f（x）在区间（﹣，）上递增参考答案：C【考点】正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（2x+）的图象为M，令x=﹣，可得f（x）=0，可得图象M关于点（﹣，0）对称，故图象M不关于直线x=﹣对称，故C正确且A不正确；把y=2sin2x的图象向左平移得到函数y=2sin2（x+）=2sin（2x+）的图象，故B不正确；在区间（﹣，）上，2x+∈（0，π），函数f（x）=2sin（2x+）在区间（﹣，）上没有单调性，故D错误，故选：C．2.在△ABC中，若点D满足，则＝(

).

参考答案：A3.已知函数（其中），若的图像如右图所示，则函数的图像是（▲）

A.

B.

C.

D.参考答案：A由二次函数图像可知，所以为减函数，且将指数函数向下平移各单位.

4.下列语句：（1）两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；（2）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；

（3）向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上；（4）有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中说法错误的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】91：向量的物理背景与概念．【分析】根据题意，结合向量的定义依次分析四个命题，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，分析四个命题：对于①、相等向量是大小相等，方向相同的向量，故两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，正确；对于②、共线向量是指方向相同或相反的向量，两个有共同终点的向量，其方向可能既不相同又不相反，故②错误；对于③、共线向量是指方向相同或相反的向量，向量与向量是共线向量，线段AB和CD平行或共线，故③错误；对于④、有向线段就是向量的表示形式，不能等同于向量，故④错误；四个命题中有3个错误，故选：C．【点评】本题考查向量的基本定义，关键是理解向量的定义．5.若（其中），则函数的图象

（

）

A．关于直线y=x对称

B．关于x轴对称

C．关于y轴对称

D．关于原点对称参考答案：C6.某扇形的面积为1，它的周长为4，那么该扇形圆心角的度数为

（）

A．2°

B．2

C．4°

D．4参考答案：B7.下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上是减函数（）A．y= B．y=x2 C．y=（）x D．y=参考答案：D【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，依次分析选项可得：对于A、y=是奇函数，不符合题意；对于B、y=x2在区间（0，+∞）上是增函数，不符合题意；对于C、y=（）x不具有奇偶性，不符合题意；对于D、y=是幂函数，符合题意；即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、y=是奇函数，不符合题意；对于B、y=x2是偶函数，但在区间（0，+∞）上是增函数，不符合题意；对于C、y=（）x是指数函数，不具有奇偶性，不符合题意；对于D、y=是幂函数，是偶函数且在区间（0，+∞）上是减函数，符合题意；故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，注意要掌握常见函数的奇偶性与单调性．8.集合的子集的个数有（

）A．2个

B．3个

C．4个

D．5个参考答案：C略9.已知在△ABC中，P为线段AB上一点，且，若，则（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】首先，由已知条件可知，再有，这样可用表示出．【详解】∵，∴，，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查平面向量基本定理，解题时用向量加减法表示出，然后用基底表示即可．10.已知数列的通项公式为，则下面哪一个数是这个数列的一项（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.△ABC满足，，设是△内的一点(不在边界上)，定义，其中分别表示△,△,△的面积，若，则的最大值为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C12.己知矩阵，若矩阵C满足，则矩阵C的所有特征值之和为____.参考答案：5【分析】本题根据矩阵乘法运算解出矩阵C，再依据特征多项式求出特征值，即可得到所有特征值之和．【详解】解：由题意，可设C＝，则有?＝．即，解得．∴C＝．∵f（λ）＝＝（λ﹣1）（λ﹣4）+2＝λ2﹣5λ+6＝（λ﹣2）（λ﹣3）＝0，∴特征值λ1＝2，λ2＝3．∴λ1+λ2＝2+3＝5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查矩阵乘法运算及依据特征多项式求出特征值，本题不难，但有一定综合性．本题属基础题．13.已知三棱柱ABC－A1B1C1，底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的体积为，则该三棱柱的体积为________．参考答案：14.＝

．参考答案：

略15.数列中，，，则的通项公式为

；参考答案：16.已知函数f（x）=sin（ωx）（ω＞0）的图象关于点（，0）对称，且在区间（0，）上单调递增，则ω的最大值为

．参考答案：6【考点】正弦函数的单调性．【分析】根据题意得出，求出ω的最大值即可．【解答】解：函数f（x）=sinωx的图象关于点（，0）对称，且在（0，）上单调递增，∴，解得；ω的最大值为6．故答案为：6．17.在等差数列{an}中，Sn=5n2+3n，求an=．参考答案：10n﹣2【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由题意易得a1和a2，可得公差d，可得通项公式．【解答】解：∵在等差数列{an}中Sn=5n2+3n，∴a1=S1=8，a2=S2﹣S1=18，故公差d=18﹣8=10，∴an=8+10（n﹣1）=10n﹣2故答案为：10n﹣2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表组别PM2.5浓度（微克/立方米）频数（天）频率第一组（0，25]30.15第二组（25，50]120.6第三组（50，75]30.15第四组（75，100]20.1（1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（2）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．参考答案：【考点】B8：频率分布直方图．【分析】（1）设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的三天记为A1，A2，A3，PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B1，B2，求出基本事件总数，符合条件的基本事件总数，即可求得概率；（2）①由第四组的频率为：0.1得：25a=0.1，解得a值；②利用组中值×频数，可得去年该居民区PM2.5年平均浓度，进而可判断该居民区的环境是否需要改进．【解答】解：（1）设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的三天记为A1，A2，A3，PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B1，B2．所以5天任取2天的情况有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共10种．…其中符合条件的有：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共6种．…所以所求的概率P==．…（2）①由第四组的频率为：0.1得：25a=0.1，解得：a=0.004②去年该居民区PM2.5年平均浓度为：12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5（微克/立方米）．…因为42.5＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．…19.已知圆C1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆C2的圆心坐标为(2,1)．(1)若圆C1与圆C2相交于A，B两点，且|AB|＝，求点C1到直线AB距离；(2)若圆C1与圆C2相内切，求圆C2的方程．参考答案：(1)．(2)(x－2)2＋(y－1)2＝12＋8．【分析】(1)知直线C1C2垂直平分公共弦AB．设直线AB与C1C2的交点为P，再解直角三角形得到点C1到直线AB的距离.(2)由两圆相内切得|C1C2|＝|r1－r2|求出r2＝2＋2，即得圆C2的方程．【详解】(1)由题设，易知直线C1C2垂直平分公共弦AB．设直线AB与C1C2的交点为P，则在Rt△APC1中，∵|AC1|＝2，|AP|＝|AB|＝，∴点C1到直线AB的距离为|C1P|＝.(2)由题设得，圆C1的圆心为C1(0，－1)，半径为r1＝2．设圆C2的半径为r2，则由两圆相内切得|C1C2|＝|r1－r2|?＝|2－r2|，解得r2＝2＋2或r2＝2－2(舍去)．故所求圆C2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12＋8．【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查圆和圆的位置关系，考查圆的方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.20.若图，在正方体中，分别是的中点.（1）求证：平面平面；（2）在棱上是存在一点，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由.参考答案：（1）证明：连接，则，又分别是的中点，所以，所以，因为是正方体，所以平面，因为平面，所以，因为，所以平面。(2)设与的交点是，连接，因为平面平面，平面平面，所以。21.已知等差数列{an}的公差，数列{bn}满足，集合.（1）若，，求集合S；（2）若，求d使得集合S恰有两个元素；（3）若集合S恰有三个元素，，T是不超过5的正整数，求T的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列{an}的通项公式及集合S.参考答案：（1）；（2）或；（3）或4，时，，；时，，【分析】（1）根据等差数列的通项公式写出，进而求出，再根据周期性求解；（2）由集合的元素个数，分析数列的周期，进而可求得答案；（3）分别令，2，3，4，5进行验证，判断的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列的通项公式及集合【详解】（1）等差数列的公差，，数列满足，集合．当，所以集合，0，．（2），数列满足，集合恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列的终边落在轴的正负半轴上时，集合恰好有两个元素，此时，②终边落在上，要使得集合恰好有两个元素，可以使，的终边关于轴对称，如图，，此时，综上，或者．（3）①当时，，集合，，，符合题意．与之相应的一个等差数列的通项公式为，此时.②当时，，，，或者，等差数列的公差，，故，，又，2当时满足条件，此时，1，．与之相应的一个等差数列的通项公式为，此时【点睛】本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，是一道综合题．22.（本小题满分12分）设a为实数，函数．（1）若，求a的取值范围；（2）讨论f(x)的单调性；（3）当时，讨论在区间(0,+∞)内的零点个数．参考答案：解：（1），因为，所以，当时，，显然成立；……………1分当，则有，所以.所以.……………………2分综上所述，的取值范围是.………………………3分（2）…………………4分对于，其对称轴为，开口向上，所以在上单调递增；……………………5分对于，其对称轴为，开口向