第二章射线衍射方向

1Chapter2X射线衍射方向

TheDiffractedDirectionofX-Ray2本章主要内容掌握劳埃方程、布拉格方程和产生衍射的条件。掌握倒易点阵的定义、倒易矢量的定义、性质及在衍射中的应用。掌握布拉格方程的厄瓦尔德反射球图解法。掌握常用三种衍射方法：劳埃法、转晶法、粉末法的工作原理及倒易点阵的解释。学习重点32.0引言X射线学是以X射线在晶体中的衍射现象为基础的。衍射可归结为两方面的问题：

衍射方向劳厄方程、布拉格方程——基本理论倒易点阵和爱瓦尔德图解——工具

衍射强度4*S衍射屏观察屏a☆1912年之前，物理学家对可见光的衍射现象已经有了确切的解释：回顾bafd光栅常数d(=a+b)只要与一个点光源发出的光的波长为同一数量级的话就可以产生衍射。5☆晶体学的假设☆X射线的发现及对其本质的探讨原子点阵各共振体间距：1～10Å6☆劳埃的突出贡献☆布拉格父子俩的工作“物理学最美的实验”爱因斯坦衍射仪72.1晶体学基础原子排列的作用原子排列固态物质的内部结构是了解掌握材料性能的基础，才能从内部找到改善和发展新材料的途径。组织性能物质：气态，液态，固态固态物质：晶体，非晶体晶体：原子在空间呈有规则地长程有序排列；非晶体：原子排列没有长程序。晶体是晶体吗？晶体(crystalline)

是内部原子在三维空间呈周期性重复排列的固体，即存在长程有序。而晶体的规则几何外形，只是晶体内部规则构造的外在表现。非晶体(amorphous)：短程有序，长程无序

晶体非晶体周期点阵：空间点阵和晶胞阵点空间点阵为了便于分析研究晶体中质点的排列规律性，可先将实际晶体结构看成完整无缺的理想晶体并简化，将其中每个质点抽象为规则排列于空间的几何点，称之为阵点。这些阵点在空间呈周期性规则排列并具有完全相同的周围环境，这种由它们在三维空间规则排列的阵列称为空间点阵，简称点阵。具有代表性的基本单元（最小平行六面体）作为点阵的组成单元，称为晶胞。将晶胞作三维的重复堆砌就构成了空间点阵。晶胞晶体结构和空间点阵的区别空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以描述和分析晶体结构的周期性和对称性，由于各阵点的周围环境相同，它只能有14种类型晶体结构则是晶体中实际质点（原子、离子或分子）的具体排列情况，它们能组成各种类型的排列，因此，实际存在的晶体结构是无限的。晶胞选取的原则同一空间点阵可因选取方式不同而得到不相同的晶胞晶胞选取的原则选取的平行六面体应反映出点阵的最高对称性；平行六面体内的棱和角相等的数目应最多；当平行六面体的棱边夹角存在直角时，直角数目应最多；当满足上述条件的情况下，晶胞应具有最小的体积。19

晶系：根据晶胞参数不同，将晶体分为七种晶系。

晶格常数：晶胞各边的尺寸a、b、c。各棱间的夹角用、、表示。立方六方四方菱方正交单斜三斜14种布拉菲点阵按照每个阵点的周围环境相同的要求，布拉菲（BravaisA．）用数学方法推导出能够反映空间点阵全部特征的单位平行六面体只有14种，这14种空间点阵也称布拉菲点阵。三斜：简单三斜单斜：简单单斜

底心单斜正交简单正交底心正交体心正交面心正交菱方：简单菱方六方：简单六方四方：简单四方

体心四方立方：简单立方体心立方面心立方26立方晶系晶向、晶面表示方法各方向上的原子列称晶向晶体中各方位上的原子面称晶面Miller（密勒）指数统一标定晶向指数和晶面指数晶向指数晶向指数：[uvw]任意阵点P的位置可以用矢量或者坐标来表示。OP=ua

+vb

+wc晶向指数的例子立方晶系一些重要晶向的晶向指数因对称关系而等同的晶向=晶向族，<uvw>[100][010][001][111][112]晶面指数标定步骤：1)在点阵中设定参考坐标系，设置方法与确定晶向指数时相同；

2)求得待定晶面在三个晶轴上的截距，若该晶面与某轴平行，则在此轴上截距为无穷大；若该晶面与某轴负方向相截，则在此轴上截距为一负值；

3)取各截距的倒数；

4)将三倒数化为互质的整数比，并加上圆括号，即表示该晶面的指数，记为(hkl)。晶面指数XZYXZYXZYXZYXZYXZY晶面指数的例子正交点阵中一些晶面的面指数（010）（100）（120）（102）（111）（321）晶面指数的意义在晶体内凡晶面间距和晶面上原子的分布完全相同，只是空间位向不同的晶面可以归并为同一晶面族，以{hkl}表示，它代表由对称性相联系的若干组等效晶面的总和。晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着一组相互平行的晶面。

立方晶系中，相同指数的晶向和晶面垂直；

立方晶系中，晶面族{111}表示正八面体的面；

立方晶系中，晶面族{110}表示正十二面体的面；XZYXZY晶面法线晶面指数确定了晶面的法线和间距。对立方晶系晶面的位向是用晶面法线的位向来表示的；空间任意直线的位向可以用它的方向余弦来表示。晶面间距由晶面指数求面间距dhkl通常，低指数的面间距较大，而高指数的晶面间距则较小晶面间距愈大，该晶面上的原子排列愈密集；晶面间距愈小，该晶面上的原子排列愈稀疏。35

简单点阵的晶面间距公式ZXYNABCcos=ON/OA=d/OAcos=d/(ma)=d/(a/h)cos=d/(nb)=d/(b/k)cos=d/(pc)=d/(c/l)cos2+cos2+cos2=1Oγαβ(hkl)XANOdhkl36正交晶系晶面间距公式四方晶系晶面间距公式37立方晶系晶面间距公式六方晶系晶面间距公式38☆晶带和晶带定律在晶体结构和空间点阵中同时平行于某一轴向[uvw]的所有晶面构成一个晶带，这些晶面叫晶带面，而这个轴向[uvw]称为这一晶带的晶带轴。[001]凡属于[uvw]晶带的晶面，它的晶面指数(hkl)都必然符合关系式：

hu+kv+lw=0这个关系式就称为晶带定律。39☆若已知某晶带中任意两个晶面的面指数(h1k1l1)和(h2k2l2)时，可以根据晶带定律计算出晶带轴的指数[uvw]：h1u+k1v+l1w=0h2u+k2v+l2w=0h1

k1

l1

h1

k1

l1h2

k2

l2

h2

k2

l2uvw40

2.2

劳埃方程((α0α0ααaABCDλ入射线衍射线a（cos–cos0）=HΔ＝AC-BD＝acos-

acos0一维衍射（原子列）衍射线加强条件：相邻原子在该方向上散射线的波程差为波长的整数倍。0，±1，±2，±3...41衍射圆锥42二维衍射（原子网）a(cos-cos0)=Hb(cos-cos0)=K在X方向和Y方向同时都满足衍射条件原子网的衍射图像Next43入射线OabCH=0K=0H=1H=2K=1K=2入射X射线完全在原子网平面内部时衍射线((20))2044OO’((XYH=0K=0AK=1CDB入射X射线离开二维原子面而与此原子面成一定角度入射时45返回入射线H=0K=0衍射线OABCDH=hK=kEFGM46总结二维原子面发生衍射的必要条件有三个特点：1.X射线可以以任意入射角入射，总有一条或二条零级干涉线；2.进一步增加入射角时还会有一条或两条干涉线，分布在原子面上下方；3.在此原子面内任意原子均向许多方向散射X射线，但，只有沿上述几个特殊方向的散射线才是相长干涉线，沿其他的方向散射的线为相消干涉而消失了。47对于三维情形，就可以得到晶体光栅的衍射条件：a(cos-cos0)=Hb(cos-cos0)=Kc(cos-cos0)=L该方程组即为Laue方程。H，K，L称为衍射指数。,,,0,0,0分别为散射光和入射光与三个点阵轴矢的夹角。cos2

+cos2

+cos2

=1对于直角坐标系：衍射斑48劳埃方程式从本质上解决了X射线在晶体中的衍射方向问题，但三维的衍射圆锥，难以表示和想像，三个劳埃方程使用上亦欠方便，从实用角度来说，理论有简化的必要。晶体既可看成由平行的原子面所组成，晶体的衍射线，亦当是原子面的衍射线叠加而得。晶体对X射线的衍射，可视为晶体中某些原子面对X射线的“反射”。49

2.3

布拉格方程方程的导出Δ＝ML+LN

＝d

sin+d

sin

同一原子面(A)上：Δ＝PR-KQ=0不同原子面(A、B)：2dsin=n将衍射当成反射，是导出布拉格方程的基础。50AOBD(I0()cddEab()abL1L2)=L1-L2=d/sin-L1cos2=d/sin(1-cos2)=2dsin51小知识：“衍射”与“反射”我们虽然习惯把X射线的衍射称之为X射线的反射，但，衍射和反射至少在以下几个方面是有本质区别的：被晶体衍射的X射线是由入射线在晶体中所经过路程上的所有原子散射波干涉的结果，而可见光的反射是在极表层上产生的，可见光反射仅发生在两种介质的界面上；52小知识：“衍射”与“反射”我们虽然习惯把X射线的衍射称之为X射线的反射，但，衍射和反射至少在以下几个方面是有本质区别的：单色X射线的衍射只在满足布拉格定律的若干个特殊角度上产生（选择衍射），而可见光的反射可以在任意角度产生；53小知识：“衍射”与“反射”我们虽然习惯把X射线的衍射称之为X射线的反射，但，衍射和反射至少在以下几个方面是有本质区别的：可见光在良好的镜面上反射，其效率可以接近100%，而X射线衍射线的强度比起入射线强度来说却是微乎其微的。54布拉格方程的讨论布拉格方程只是获得衍射的必要条件而非充分条件。

反射级数入射线反射线d100d200(100)(200)()2d100sin=22d200sin=2(d100/2)sin=(hkl)的n级反射看作(nhnknl)的一级反射55

干涉面指数晶面(hkl)的n级反射面(nhnknl)，用符号(HKL)表示，称为反射面或干涉面。其中H=nh，K=nk，L=nl。(hkl)是晶体中实际存在的晶面，(HKL)只是为了使问题简化而引入的虚拟晶面。干涉面的面指数称为干涉指数。对立方晶系，干涉面的间距与干涉指数的关系为：在X射线衍射分析中，如无特别声明，所用的面间距一般是指干涉面间距。◆◆◆56

掠射角掠射角θ是入射线（或反射线）与晶面的夹角，可表征衍射的方向。sin

由布拉格方程：2dsin=sin

=/(2d)一定时d相同的晶面，必然在θ相同的情况下才能获得反射间距小的晶面，其掠射角必须是较大的57

衍射极限条件掠射角的极限范围是：0°~90°|sin|≤1反射级数n≤2d/干涉面间距d≥/

258

应用2dsin=结构分析（衍射分析）X射线光谱学，dd，59

衍射方向布拉格方程晶面间距公式该晶系的衍射方向表达式立方晶系晶格常数为a的{hkl}晶面对波长为的X射线的衍射方向公式60

劳埃方程与布拉格方程的一致性入射线衍射线XYZTSRabc2)波长为的单色X射线照射到晶体之上，当晶体处于合适的方位时，即可产生指数为H，K，L的衍射线。衍射线的方向由三个劳埃方程决定：a(cos-cos0)=Hb(cos-cos0)=Kc(cos-cos0)=LO方程组表示在重复周期为a、b、c的结点列上，相邻原子散射线在衍射方向上的程差分别为H，K，L。61我们在X方向上寻找一原子R，令OR＝(K×L)a，于是O与R原子散射线在特定方向上的程差即为(K×L)×(H)=(H×K×L)。同样可在Y方向和Z方向分别找到原子S和T，令OS=(H×L)b，OT=(H×K)c。于是R、S、T点与O点的程差均为(H×K×L)，即从R、S、T点发出的散射线，在衍射方向上是同光程的。◆这就说明，过R、S、T三个结点的晶面，正好处于入射线和衍射线的镜面反射位置，而这个晶面是结点晶面，是实际存在的。这样我们就证明了当晶体能产生H、K、L的衍射线时，就必然有一个实际存在的晶面RST，使得入射线与衍射线正处在该平面的反射位置上。◆◆62下面以立方晶系为例，从劳埃方程推导布拉格方程：a2(cos2-2coscos0+cos20)=H22b2(cos2-2coscos0+cos20)=K22c2(cos2-2coscos0+cos20)=L22将三个劳埃方程平方：a=b=c，故a2[(cos2+cos2+cos2)+(cos20+cos20+cos20)-2(coscos0+coscos0+coscos0)]=2(H2+K2+L2)根据直角坐标系中直线方向余弦的性质：a2(1+1

-2cos2)=2(H2+K2+L2)63而1

-cos2＝2sin2所以：立方晶系中有面间距公式：故，有：2dsin=n64

2.4X射线衍射方法（透射及背反射劳埃法）

劳埃法实验条件：连续X射线照射、单晶样品功能：测定晶体的对称性、确定晶体的取向和单晶的定向切割65

周转晶体法摄照时让晶体绕选定的晶向旋转，转轴与圆筒状底片的中心轴重合。◆特点是入射线的波长不变，而依靠旋转单晶体以连续改变各个晶面与入射线的角来满足布拉格方程的条件。◆实验条件：单色X射线、转轴单晶样品66功能：通过周转晶体法可确定晶体在旋转轴方向上的点阵周期，通过多个方向上点阵周期的测定，即可确定晶体的结构。67

粉末法利用晶粒的不同取向来改变，以满足布拉格方程。◆主要特点在于试样获得容易、衍射花样反映晶体的信息全面，可以进行物相分析、点阵参数测定、应力测定、织构、晶粒度测定等。◆68描述晶体点阵的周期性函数经过傅立叶变换（对应于衍射过程），构成傅立叶空间中的周期点阵。又称波矢空间或倒易空间。一个给定的晶体点阵，其倒易点阵是一定的，晶体点阵是真实空间中的点阵，量纲为[L]；倒易点阵是傅立叶空间中的点阵,量纲为[L-1]。倒易点阵倒易点阵的定义

倒易点阵中基本矢量的定义设正点阵的原点为O，基矢为a、b、c，倒易点阵的原点为O*，基矢为a*、b*、c*，则令：不同文字倒易矢量与正矢量的数量积为零a·b*=a*·b=b·c*=b*·c=c·a*=c*·a=0a·a*=b·b*=c·c*=1

同文字倒易矢量与正矢量的数量积为1acOa*c*b*ba*⊥b和c，即⊥(100)面a*=1/d100b*⊥c和a，即⊥(010)面b*=1/d010c*⊥a和b，即⊥(001)面c*=1/d001倒易点阵的性质NOXYZ(HKL)r*PHKL性质一证明OABCabc同理可证：r性质二证明性质一成立，OM垂直于ABC面，OM方向上的单位矢量为OABCabcnMa晶面与倒易矢量（倒易点）的对应关系d100d200(100)(200)000100200G100=1/d100G200=1/d200晶面倒易结点abcO*a*b*c*100010001111011021O倒易点阵与正点阵的关系

1、简单正交点阵b*a*000100010110r*110220注意：具有公因子指数的简单型正点阵的倒易阵点，如（220）等，不对应于真正的晶面。d110r*110ba底心正交点阵对于C底心型，指数h,k和为偶数的晶面才出现；

r*110020d110bab*a*000200110r*110a*=r*200=1/d200=2/ab*=r*020=1/d020=2/bc*=r*001=1/d001=1/c倒易点阵与正点阵的关系

体心点阵对于体心型，指数和为偶数的晶面才出现；

(110)倒易点阵与正点阵的关系

对于面心型，指数同为偶数或奇数的晶面才出现；

(200)(111)(220)81☆晶带和晶带定律在晶体结构和空间点阵中同时平行于某一轴向[uvw]的所有晶面构成一个晶带，这些晶面叫晶带面，而这个轴向[uvw]称为这一晶带的晶带轴。[001]晶带轴矢量=ua+vb+wcHhkl=ha*+kb*+lc*82uh+vk+lc=0这个关系式称为晶带方程如果这两个矢量相互垂直，则数量积必为零（ua+vb+wc）（ha*+kb*+lc*

）=0凡属于[uvw]晶带的晶面它的晶面指数(hkl)都必然符合关系式：83若已知某晶带中任意两个晶面的面指数(h1k1l1)和(h2k2l2)时，可以根据晶带定律计算出晶带轴的指数[uvw]：h1u+k1v+l1w=0h2u+k2v+l2w=0h1

k1

l1

h1

k1

l1h2

k2

l2

h2

k2

l2uvw84

衍射条件通过倒易点阵概念导出衍射矢量方程(((mnOASS0S-S0Hhkltt入射线衍射线衍射矢量方程的推导a