山西省阳泉市中学第一中学2023年高三数学理期末试卷含解析

山西省阳泉市中学第一中学2023年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知为不相等的正实数，则三个数的大小顺序是

参考答案：A略2.已知函数f（x）=Atan（ωx+?）（ω＞0，|?|＜），y=f（x）的部分图象如图所示，则=（）A．3 B． C．1 D．参考答案：A【考点】HC：正切函数的图象．【分析】由图可知，于是可求得ω，再由图象过，可求得Φ，最后由图象过（0，1），可求得A，于是可得答案．【解答】解：由题知，∴，∴，又∵图象过，∴，∴，∵，∴，又∵图象过（0，1），∴，∴，∴，∴，故选：A．3.已知，，，则的大小为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C4.设,则“”是“”的（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：B5.直线与曲线相切，则b的值为（

）A．-2

B．1

C．

D．-1参考答案：D由得，把x=1代入曲线方程得，所以切点坐标为，代入直线方程得。【答案】【解析】略6.设集合能A={1，2，3，5，7}，B=，全集U=AB，则等于A．{1，4，6，7）

B．{2，3，7）

C．（1，7）

D．{1）

参考答案：C7.“非空集合M不是P的子集”的充要条件是（

）A．

B．

C．又

D．参考答案：D8.（5分）已知集合A={x||x|＜1}，B={x|2x＞1}，则A∩B=（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，1）C．（0，）D．（0，1）参考答案：D【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：利用绝对值不等式性质求出集合A，利用指数函数的性质求出集合B，再由交集定义能求出A∩B．解：∵集合A={x||x|＜1}={x|﹣1＜x＜1}，B={x|2x＞1}={x|x＞0}，∴A∩B={x|0＜x＜1}=（0，1）．故选：D．【点评】：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意绝对值不等式性质、指数函数的性质的合理运用．【题文】（5分）复数（i是虚数单位）的虚部是（）A．1B．iC．D．i【答案】C【解析】【考点】：复数代数形式的乘除运算．【分析】：直接利用复数代数形式的乘除运算化简后得答案．解：∵=，∴复数（i是虚数单位）的虚部是．故选：C．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．9.（5分）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）A．232B．252C．472D．484参考答案：C【考点】：排列、组合及简单计数问题．【专题】：排列组合．【分析】：不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，由此可得结论．解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，故所求的取法共有﹣﹣=560﹣16﹣72=472故选C．【点评】：本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．10.点A，B，C，D在同一个球面上，AB=BC=，AC=2，若球的表面积为，则四面体ABCD体积最大值为（）A． B． C． D．2参考答案：C【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，球的表面积为，球的半径为r，，r=，四面体ABCD的体积的最大值，底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，就是D到底面ABC距离最大值时，h=r+=2．四面体ABCD体积的最大值为×S△ABC×h==，故选：C．【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设是定义在上的偶函数，且当时，.若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是

参考答案：略12.如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则

______

参考答案：13.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=，3sinA=sinB，cosC=，则边c=．参考答案：2【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用正弦定理化简3sinA=sinB，可得3a=b，结合a=，可求b，进而利用余弦定理可求c的值．【解答】解：∵3sinA=sinB，可得：3a=b，∴由a=，可得：b=3，∵cosC=，∴由余弦定理可得：c===2．故答案为：2．14.如图，圆O：内的正弦曲线与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分）随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率为

．参考答案：15.在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，∠C=45°，AB=AD=1，沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一球面上，则该球的表面积为．参考答案：4π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】设H为梯形对角线的交点，O为BC中点，依题意有AH=OH=，四面体A′﹣BCD中，由平面A′BD⊥平面BCD，A′O=，又因为OD=OC=OB=1，即O为四面体A′﹣BCD外接球的球心【解答】解：设H为梯形对角线的交点，O为BC中点，依题意有AH=OH=，四面体A′﹣BCD中，平面A′BD⊥平面BCD，∴平面A′H⊥平面BCD，∴A′O=，又因为OD=OC=OB=1，∴O为四面体A′﹣BCD外接球的球心，故半径R=1．则该球的表面积为4πR2=4π，故答案为：4π．【点评】本题考查了折叠问题、几何体外接球半径的求解，属于中档题．16.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=4，c=，sinA=4sinB，则C=_．参考答案：17.(07年全国卷Ⅱ)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为

cm．参考答案：答案：2+4解析：一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm，设正四棱柱的高为h，∴2R=2=，解得h=，那么该棱柱的表面积为2+4cm2.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知曲线C的极坐标方程为ρ=，过点P（1，0）的直线l交曲线C于A，B两点．（1）将曲线C的极坐标方程的化为普通方程；（2）求|PA|?|PB|的取值范围．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标方程的转化方法，可得结论；（2）直线l的参数方程为为参数），将代入得（cos2α+2sin2α）t2+2tcosα﹣1=0，利用参数的几何意义，即可求|PA|?|PB|的取值范围．【解答】解：（1）由得ρ2（1+sin2θ）=2，得曲线C的普通方程为．（2）由题意知，直线l的参数方程为为参数），将代入得（cos2α+2sin2α）t2+2tcosα﹣1=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则，∴|PA|?|PB|的取值范围为．19.已知椭圆经过点A（2，1），离心率为，过点B（3，0）的直线l与椭圆交于不同的两点M，N．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的取值范围．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．专题：综合题．分析：（Ⅰ）根据离心率为，可设，则，利用经过点A（2，1）可得，从而可求椭圆方程；（Ⅱ）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣3），与椭圆方程联立，利用韦达定理及用坐标表示向量，即可确定的取值范围．解答： 解：（Ⅰ）由离心率为，可设，则因为经过点A（2，1）所以，解得，所以a2=6，b2=3所以椭圆方程为…（Ⅱ）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣3），直线l与椭圆的交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2）…由，消元整理得：（1+2k2）x2﹣12k2x+18k2﹣6=0…△=（12k2）2﹣4（1+2k2）（18k2﹣6）＞0得0≤k2＜1…，…∴=（x1﹣3，y1）?（x2﹣3，y2）=（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2…=（1+k2）==…因为0≤k2＜1，所以所以的取值范围是（2，3]．…点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是直线与椭圆方程的联立，利用韦达定理进行解题．20.（14分）

设关于x的方程有两个实根α、β，且。定义函数

（I）求的值；

（II）判断上单调性，并加以证明；

（III）若为正实数，①试比较的大小；

②证明参考答案：解析：（I）解：的两个实根，

…………3分

（II），

…………4分当

…………5分而，上为增函数。

…………7分

（III）①

…………9分由（II），可知

…………10分②同理，可得

…………12分又由（I），知所以

…………14分21.已知函数.（1）求的定义域及最小正周期；（2）求的单调递减区间.参考答案：解：（1）由得，故的定义域为.因为===,所以的最小正周期.（2）函数的单调递减区间为.由得所以的单调递减区间为.22.已知椭圆过点(0,1)，且离心率为.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足，.（1）求椭圆的标准方程；（2）若，试证明:直线l过定点并求此定点参考答案：（1）；（2）证明见解析，(1,0).【分析】（1）设椭圆方程为，根据题意列出方程，求得的值，即可得到椭圆的方程；（2）设方程为，利用向量的坐标运算，求得，，得到，联立方程组，结合根与系数的关系，代入求得直线的方程，即可得出结论.【详解】（1）设椭圆方程为