山西省长治市长子县色头中学高三数学理测试题含解析

山西省长治市长子县色头中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.不等式所表示的区域为M，函数的图象与x轴所围成的区域为N.向M内随机投一个点，则该点落到N内概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A不等式表示的区域M是对角线为4的正方形，其面积为8；函数的图象与x轴所围成的区域N是半径为的半圆，面积为π；则向M内随机投一个点，则该点落到N内的概率为．

2.已知△ABC的三边长a，b，c成递减的等差数列，若B=，则cosA﹣cosC=（）A．

B．

C．D．参考答案：C【考点】三角函数的化简求值；余弦定理．【分析】三边a，b，c成等差数列，可得2b=a+c，利用正弦定理可得：2sinB=sinA+sinC，即sinA+sinC=，设cosA﹣cosC=m，平方相加即可得出．【解答】解：∵三边a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，利用正弦定理可得：2sinB=sinA+sinC，∴sinA+sinC=2sin=，设cosA﹣cosC=m，则平方相加可得：2﹣2cos（A+C）=2+m2，∴m2=2cosB=，解得m=±．∵a，b，c成递减的等差数列，∴m=﹣．故选：C．3.为得到函数的图象，只需将函数的图象A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位参考答案：C因为，所以为了得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位，选C.4.从1,2,3,4四个数字中任取两个不同数字，则这两个数字之积小于5的概率为（

）A． B． C． D．参考答案：B从1,2,3,4四个数字中任取两个不同数字，共有共6个基本事件，其中这两个数字之积小于5的有共3个基本事件，则这两个数字之积小于5的概率为；故选B.5.定义为个正整数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C6.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,1)内单调递减的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B7.函数的零点位于区间

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C

8.大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50.

通项公式：，如果把这个数列{an}排成如图形状，并记表示第m行中从左向右第n个数，则的值为（

）A.3444 B.3612 C.3528 D.1280参考答案：A【分析】先求解前9行共用多少项，然后确定是数列的第几项，代入通项公式可得.【详解】根据题意前9行共有项，是第83项，，故选A.【点睛】本题主要考查数列项的求解，明确项数是求解本题的关键，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.9.右图是一个算法框图，则输出的k的值是(

)

A.

3

B.

4

C.

5

D.

6参考答案：C略10.已知A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为＿＿＿＿参考答案：由三视图知，此几何体是一个组合体，上面是球，其半径为1，下面是半圆柱，底面半圆直径为1，高为2．所以组合体的体积为．12.已知正三棱柱的底面正三角形边长为2，侧棱长为3，则它的体积

．参考答案：正三棱柱的底面面积为，所以体积为。13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝，，若△ABC的面积为

，则=

．参考答案：

略14.若圆与双曲线C：的渐近线相切，则_____；双曲线C的渐近线方程是____．参考答案：，【知识点】圆的标准方程与一般方程双曲线【试题解析】双曲线的渐近线方程为：

圆的圆心为（2，0），半径为1．

因为相切，所以

所以双曲线C的渐近线方程是：

故答案为：，15.直线（t为参数，为常数）恒过定点

。参考答案：（-2，3）16.已知实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是__________．参考答案：

略17.已知是定义域R上的奇函数,周期为4,且当时,,则_____________.参考答案：-1是定义域上的奇函数,周期为,且当时,,∴三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2﹣a2+bc=0，（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC面积S△ABC的最大值．参考答案：解：（1）∵△ABC中，b2+c2﹣a2+bc=0，∴b2+c2﹣a2=﹣bc因此cosA===﹣∵A为三角形的内角，∴A=；（2）∵b2+c2﹣a2+bc=0，∴a2=b2+c2+bc=3，得b2+c2=﹣bc+3≥2bc解之得bc≤1，当且仅当b=c=1时等号成立∵△ABC面积S△ABC=bcsinA=bc∴当且仅当b=c=1时，△ABC面积S△ABC的最大值为．略19.在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PB=PD=2，AC∩BD=O．（Ⅰ）证明：PC⊥BD（Ⅱ）若E是PA的中点，且BE与平面PAC所成的角的正切值为，求二面角A﹣EC﹣B的余弦值．参考答案：【分析】（Ⅰ）证明BD⊥AC，BD⊥PO，推出BD⊥面PAC，然后证明BD⊥PC．（Ⅱ）说明OE是BE在面PAC上的射影，∠OEB是BE与面PAC所成的角．利用Rt△BOE，在Rt△PEO中，证明PO⊥AO．推出PO⊥面ABCD．方法一：说明∠OHB是二面角A﹣EC﹣B的平面角．通过求解三角形求解二面角A﹣EC﹣B的余弦值．方法二：以建立空间直角坐标系，求出平面BEC的法向量，平面AEC的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）因为底面是菱形，所以BD⊥AC．（1分）又PB=PD，且O是BD中点，所以BD⊥PO．（2分）PO∩AC=O，所以BD⊥面PAC．（3分）又PC?面PAC，所以BD⊥PC．（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，OE是BE在面PAC上的射影，所以∠OEB是BE与面PAC所成的角．在Rt△BOE中，，BO=1，所以．在Rt△PEO中，，，所以．所以，又，所以PO2+AO2=PA2，所以PO⊥AO．（6分）又PO⊥BD，BD∩AO=O，所以PO⊥面ABCD．（7分）方法一：过O做OH⊥EC于H，由（Ⅰ）知BD⊥面PAC，所以BD⊥EC，所以EC⊥面BOH，BH⊥EC，所以∠OHB是二面角A﹣EC﹣B的平面角．（9分）在△PAC中，，所以PA2+PC2=AC2，即AP⊥PC．所以．（10分），得，（11分），，所以二面角A﹣EC﹣B的余弦值为．（12分）方法二：如图，以建立空间直角坐标系，，B（0，1，0），，，，，．（9分）设面BEC的法向量为，则，即，得方程的一组解为，即．（10分）又面AEC的一个法向量为，（11分）所以，所以二面角A﹣EC﹣B的余弦值为．（12分）【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．20.已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（1）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为﹣3，求a的值；（3）设g（x）=xf（x），若a＞0，对于任意的两个正实数x1，x2（x1≠x2），证明：2g（）＜g（x1）+g（x2）．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）在定义域（0，+∞）内对函数f（x）求导，求其极大值，若是唯一极值点，则极大值即为最大值．（2）在定义域（0，+∞）内对函数f（x）求导，对a进行分类讨论并判断其单调性，根据f（x）在区间（0，e]上的单调性求其最大值，并判断其最大值是否为﹣3，若是就可求出相应的最大值．（3）先求导，再求导，得到g′（x）为增函数，不妨令x2＞x1，构造函数，利用导数即可证明【解答】解：（1）易知f（x）定义域为（0，+∞），当a=﹣1时，f（x）=﹣x+lnx，，令f′（x）=0，得x=1．当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．f（x）max=f（1）=﹣1．∴函数f（x）在（0，+∞）上的最大值为﹣1，（2）∵．①若，则f′（x）≥0，从而f（x）在（0，e]上是增函数，∴f（x）max=f（e）=ae+1≥0，不合题意，②若，则由，即由，即，从而f（x）在（0，﹣）上增函数，在（﹣，e]为减函数∴令，则，∴a=﹣e2，（3）证明：∵g（x）=xf（x）=ax2+xlnx，x＞0∴，∴g′（x）为增函数，不妨令x2＞x1令，∴，∵，∴而h（x1）=0，知x＞x1时，h（x）＞0故h（x2）＞0，即21.(12分)如图，在直三棱柱中，(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)若D是AB的中点，求证：∥平面．参考答案：解析:证明：(Ⅰ)在△中，

…………（2分）

平面．

…………（4分）

平面

…………（6分）(Ⅱ)连接交于M，则M为的中点…………（8分）连接DM，则∥， …………（10分）平面，平面，

∥平面

…………（12分）22.（本小题满分12分）在中，设内角的对边分别为，.（1）求角；（2）若且，求的面积.参考答案：(1)；(2)试题分析：（1）利用两角差的正弦函数，余弦函数公式化简已知可得，结合范围0＜C＜π，即可解得C的值．（2）由正弦函数化简si