山西省长治市第十五中学2022-2023学年高一数学理月考试卷含解析

山西省长治市第十五中学2022-2023学年高一数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设为两条不同的直线，是一个平面，则下列结论成立的是

(A)

且，则

（B）且，则（C）且，则

（D）且，则参考答案：D略2.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣2x﹣3，求当x≤0时，不等式f（x）≥0整数解的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：A【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由奇函数的性质可得x＞0时的函数的零点的公式，可得零点，利用奇函数的性质求出．当x≤0时的零点，求出不等式的解集，然后推出结果．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴当x＞0时，f（x）=x2﹣2x﹣3，函数的对称轴为：x=1，开口向上，x2﹣2x﹣3=0解得x=3，x=﹣1（舍去）．当x≤0时，函数的开口向下，对称轴为：x=﹣1，f（x）=0，解得x=﹣3，x=1（舍去），函数是奇函数，可得x=0，当x≤0时，不等式f（x）≥0，不等式的解集为：[﹣3，0]．当x≤0时，不等式f（x）≥0整数解的个数为：4．故选：A．3.若圆上有且只有两个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略4.在中，已知，则一定为（

）A．等腰直角三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．正三角形参考答案：C略5.若A={x|0＜x＜}，B={x|1≤x≤2}，则A∪B=（）A．{x|x＜} B．{x|x≥1} C．{x|1} D．{x|0＜x＜2}参考答案：C【考点】并集及其运算．【分析】直接根据并集的定义回答即可．【解答】解：∵A={x|0＜x＜}，B={x|1≤x≤2}，∴A∪B={x|1≤x≤}故选：C．6.（12分）函数y=Asin（ωx+φ）的图象如图：求（1）A的值；（2）最小正周期T；（3）ω的值；（4）单调递减区间．参考答案：考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析： （1）由图象观察可知A=6；（2）由图象观察可知T=2（）=2π；（3）由T==2π，即可解得ω的值；（4）由6sin（+φ）=6可解得φ的值，从而可得函数的解析式，根据正弦函数的单调性即可求解．解答： （1）由图象观察可知：A=6；（2）由图象观察可知：T=2（）=2π；（3）因为T==2π，所以可解得：ω=1；（4）函数解析式为：y=6sin（x+φ）∵6sin（+φ）=6∴+φ=2kπ+，k∈Z可解得：φ=2kπ+，k∈Z，故k=0时，φ=．∴解得：y=6sin（x+）∴由2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z可解得：x∈，k∈Z∴单调递减区间为：，k∈Z．点评： 本题主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，属于基础题．7.（5分）已知α是第二象限角，那么是（） A． 第一象限角 B． 第二象限角 C． 第二或第四象限角 D． 第一或第三象限角参考答案：D考点： 象限角、轴线角．专题： 分类讨论．分析： 用不等式表示α是第二象限角，将不等式两边同时除以2，即得的取值范围（用不等式表示的），分别讨论当k取偶数、奇数时，所在的象限．解答： ∵α是第二象限角，∴2kπ+＜α＜2kπ+π，k∈z，∴kπ+＜＜kπ+，，k∈z，当k取偶数（如0）时，是第一象限角，当k取奇数（如1）时，是第三象限角，故选D．点评： 本题考查象限角的表示方式，利用了不等式的性质，体现了分类讨论的数学思想．8.（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据向量减法和加法的运算，求出运算的结果. 【详解】依题意，故选B.【点睛】本小题主要考查向量的减法运算，考查向量的加法运算，属于基础题.9.函数的图像大致是(

)参考答案：C略10.设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则?U(A∪B)等于A．{2}

B．{5}

C．{1,2,3,4}

D．{1,3,4,5}参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数f（x）=，则f（log23）=（）A．3 B．4 C．16 D．24参考答案：D【考点】对数的运算性质；函数的周期性；函数的值．【分析】先根据对数函数的性质判断log23的范围，代入相应的解析式求解，再判断所得函数值的范围，再代入对应解析式求解，利用对数的恒等式“=N”进行求解．【解答】解：∵log23＜4，∴f（log23）=f（log23+3），∵log23+3＞4，∴f（log23+3）===24．故选D．12.

．参考答案：略13.（5分）已知a＜0，直线l1：2x+ay=2，l2：a2x+2y=1，若l1⊥l2，则a=

．参考答案：﹣1考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题： 直线与圆．分析： 利用相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出．解答： 两条直线的斜率分别为：﹣，﹣．∵l1⊥l2，∴=﹣1，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．点评： 本题考查了相互垂直的直线与斜率之间的关系，属于基础题．14.已知直线m,n与平面α,β,给出下列三个命题:①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α,则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.其中真命题序号是______

参考答案：（2）、（3）15.给出下列四个命题：①函数的最小值为6；②不等式的解集是；③若；④若，则.所有正确命题的序号是_________________参考答案：②③略16.数列的前项和，则它的通项公式是__________.参考答案：略17.已知以x，y为自变量的目标函数z=kx+y（k＞0）的可行域如图阴影部分（含边界），且A（1，2），B（0，1），C（，0），D（，0），E（2，1），若使z取最大值时的最优解有无穷多个，则k=．参考答案：1考点：简单线性规划的应用．专题：图表型．分析：由题设条件，目标函数z=kx+y，取得最大值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，目标函数最大值应在右上方边界AE上取到，即z=kx+y应与直线AE平行；进而计算可得答案．解答：解：由题意，最优解应在线段AE上取到，故z=kx+y应与直线AE平行∵kAE==﹣1，∴﹣k=﹣1，∴k=1，故答案为：1．点评：本题考查线性规划最优解的判定，属于该知识的逆用题型，知最优解的特征，判断出最优解的位置求参数．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，AP⊥平面ABC，且AP=AB，点D是PB的中点，点E是PC上的一点，（1）当DE∥BC时，求证：直线PB⊥平面ADE；（2）当DE⊥PC时，求证：直线PC⊥平面ADE；（3）当AB=BC时，求二面角A﹣PC﹣B的大小．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；规律型；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）证明AP⊥BC，AB⊥BC，推出BC⊥平面PAB，得到BC⊥PB，DE⊥PB，即可证明PB⊥平面ADE．（2）证明BC⊥AD，AD⊥PC，结合DE⊥PC，即可证明PC⊥平面ADE．（3）说明∠AED是二面角A﹣PC﹣B的平面角，设AP=a，则AB=BC=a，在Rt△ADE中，可求得∠AED=60°，得到二面角A﹣PC﹣B的大小．【解答】（1）证：∵AP=AB，点D是PB的中点，∴AD⊥PB，∵AP⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴AP⊥BC，∵AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∵PB?平面PAB，∴BC⊥PB，∵DE∥BC，∴DE⊥PB，∴PB⊥平面ADE．

（4′）（2）证：∵BC⊥平面PAB，AD?平面PAB，∴BC⊥AD，又AD⊥PB，∴AD⊥平面PBC，∵PC?平面PBC，∴AD⊥PC，又DE⊥PC，∴PC⊥平面ADE．

（7′）（3）解：由（2）可知，当DE⊥PC时，PC⊥平面ADE，∴∠AED是二面角A﹣PC﹣B的平面角．

（8′）设AP=a，则AB=BC=a，，，（9′）∵AD⊥平面PBC，DE?平面PBC，∴AD⊥DE，在Rt△ADE中，可求得，，，（10′）∴，∴∠AED=60°，∴二面角A﹣PC﹣B的大小为600．

（12′）【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19.函数f（x）=2ax2﹣2bx﹣a+b（a，b∈R，a＞0），g（x）=2ax﹣2b（1）若时，求f（sinθ）的最大值；（2）设a＞0时，若对任意θ∈R，都有|f（sinθ）|≤1恒成立，且g（sinθ）的最大值为2，求f（x）的表达式．参考答案：【考点】复合三角函数的单调性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）令sinθ=t∈[0，1]，问题等价于求f（t）=2at2﹣2bt﹣a+b在t∈[0，1]的最大值，由二次函数区间的最值可得；（2）令sinθ=t∈[﹣1，1]，由恒成立和最大值可得可得二次函数的顶点坐标为（0，﹣1），进而可得ab的值，可得解析式．【解答】解：（1）令sinθ=t∈[0，1]，问题等价于求f（t）=2at2﹣2bt﹣a+b在t∈[0，1]的最大值，∵a＞0，抛物线开口向上，二次函数的对称轴，由二次函数区间的最值可得（2）令sinθ=t∈[﹣1，1]，则|f（t）|≤1可推得|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（﹣1）|≤1，∵a＞0，∴g（sinθ）max=g（1）=2，而g（1）=2a﹣2b=2而f（0）=b﹣a=﹣1而t∈[﹣1，1]时，|f（t）|≤1，即﹣1≤f（t）≤1，结合f（0）=﹣1可知二次函数的顶点坐标为（0，﹣1）∴b=0，a=1，∴f（x）=2x2﹣1．【点评】本题考查二次函数的性质，涉及三角换元和等价转化，属中档题．20.计算：（本题每小题6分，共12分）（1）；

（2）.

参考答案：21.已知数列{an}满足：，，数列{bn}满足：（）。（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列{bn}的前n项和Sn，并比较Sn与2的大小.参考答案：（1）见证明；（2）见解析【分析】(1)将原式变形为，进而得到结果；（2）根据第一问得到，错位相减得到结果.【详解】（1）由条件得，易知，两边同除以得，又，故数列是等比数列，其公比为。（2）由（1）知，则……①……②两式相减得即。【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及