山西省长治市王陶中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析

山西省长治市王陶中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.抛物线的焦点为F，M足抛物线C上的点，若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为的值为（

）

A．2

B．4

C．6

D．8参考答案：【知识点】抛物线的简单性质．H7D

解析：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=6，∴p=8，故选：D．【思路点拨】根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．2.函数的定义域是，若对于任意的正数，函数都是其定义域上的增函数，则函数的图象可能是参考答案：A3.设全集U=R，集合A={}，B={}，则等于(A)[-1，0)

(B)(0，5]

(C)[-1，0]

(D)[0，5]参考答案：C4.已知复数为纯虚数，则m=A.

0

B.

3

C.

0或3

D.

4参考答案：B

.故选B.5.已知函数，则不等式的解集为（

）A．(－∞,－1)∪(3,+∞)

B．(－∞,－3)∪(1,+∞)C．(－3,－1)∪(－1,1)

D．(－1,1)∪(1,3)参考答案：C当时，，故其在内单调递增，又∵函数定义域为，，故其为偶函数，综上可得在内单调递减，在内单调递增且图象关于轴对称，即等价于且，即不等式的解集为，故选C.

6.在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则?=(

) A． B． C． D．参考答案：B考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的平方即为模的平方，可得=0，再由向量的三角形法则，以及向量共线的知识，化简即可得到所求．解答： 解：若|+|=|﹣|，则=，即有=0，E，F为BC边的三等分点，则=（+）?（+）=（）?（）=（+）?（+）=++=×（1+4）+0=．故选B．点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查向量共线的定理，考查运算能力，属于中档题．7.《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（）A．18 B．20 C．21 D．25参考答案：C【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设出等差数列的公差，由题意列式求得公差，再由等差数列的通项公式求解．【解答】解：设公差为d，由题意可得：前30项和S30=390=30×5+d，解得d=．∴最后一天织的布的尺数等于5+29d=5+29×=21．故选：C．8.（3分）用数学归纳法证明等式1+3+5+…+（2n﹣1）=n2（n∈N*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（）A．1+3+5+…+（2k+1）=k2B．1+3+5+…+（2k+1）=（k+1）2C．1+3+5+…+（2k+1）=（k+2）2D．1+3+5+…+（2k+1）=（k+3）2参考答案：考点：数学归纳法．专题：阅读型．分析：首先由题目假设n=k时等式成立，代入得到等式1+3+5+…+（2k﹣1）=k2．当n=k+1时等式左边=1+3+5++（2k﹣1）+（2k+1）由已知化简即可得到结果．解答：因为假设n=k时等式成立，即1+3+5+…+（2k﹣1）=k2当n=k+1时，等式左边=1+3+5+…+（2k﹣1）+（2k+1）=k2+（2k+1）=（k+1）2．故选B．点评：此题主要考查数学归纳法的概念问题，涵盖知识点少，属于基础性题目．需要同学们对概念理解记忆．9.设点是曲线上的动点，且满足，则的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A考点：1、椭圆的定义；2、两点间距离公式、直线方程及不等式的性质.10.将函数向右平移个单位后得到函数，则具有性质（

）A．在上单调递增，为偶函数

B．最大值为1，图象关于直线对称

C．在上单调递增，为奇函数

D．周期为π，图象关于点对称参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinB=，且满足sin2B=sinA?sinC，accosB=12，则a+c=．参考答案：3【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】根据正弦定理以及余弦定理建立方程关系进行求解即可．【解答】解：在△ABC中，∵sin2B=sinA?sinC，∴b2=ac，∵sinB=，∴cosB=，∵accosB=12，∴ac=13，∴b2=ac=13，∵b2=a2+c2﹣2accosB，∴13=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB=（a+c）2﹣2×13﹣2×13×，即（a+c）2=63，即a+c=3，故答案为：3．12.若圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y+c=0的距离等于1，则实数c的取值范围是

．参考答案：13.在△中，三个内角，，的对边分别为，，．若，，，则

．参考答案：14.给出以下四个结论：①函数的对称中心是；②若不等式对任意的都成立，则；③已知点在直线两侧，则；④若将函数的图像向右平移（0）个单位后变为偶函数，则的最小值是.其中正确的结论是____

______.参考答案：③④略15.将连续整数填入如图所示的行列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为

，最大值为

.

参考答案：；因为第3列前面有两列，共有10个数分别小于第3列的数，因此：最小为：3+6+9+12+15=45.因为第3列后面有两列，共有10个数分别大于第3列的数，因此：最大为：23+20+17+14+11=85.16.定义在正整数集上的函数满足（1）；（2），则有

参考答案：(2分)（3分）

注意到和，易求得；因为，所以故有17.若两曲线的参数方程分别为（0≤θ＜π）和(∈R)，则它们的交点坐标为_________.参考答案：（1，）略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知函数f（x）＝x一（a＞O，且a≠1）·（I）当a＝3时，求曲线f(x)在点P（1，f（1））处的切线方程；（II）若函数f（x）存在最大值g（a），求g（a）的最小值。参考答案：19.已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若.（1）求cosB；（2）若，△ABC面积为2，求a+c的值.参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）化简已知sin（A+C）=4，平方得到关于cosB的方程，解之即可.（2）由三角形面积公式可得ac，再由余弦定理解得a+c.【详解】（1）由题设及，得，故.上式两边平方，整理得，解得（含去），.（2）由，得，又，则.由余弦定理，.所以.【点睛】本题考查了三角形面积公式及余弦定理的运用，考查了二倍角公式的应用，属于基础题．20.已知函数．（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．参考答案：解：(1)由解得则

所以

5分（2）由（1）知则原不等式为所以

10分21.某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与港口相距20海里的处，并以30海里/小时的航速沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航速匀速行驶，经过小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航速只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航向与航速的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。参考答案：某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与港口相距20海里的处，并以30海里/小时的航速沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航速匀速行驶，经过小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航速只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航向与航速的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。20.解：（1）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向。设小艇与轮船在C处相遇………..2分在中，如图，又此时轮船航行时间，

即小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。

……..7分（2）设小艇与轮船在B处相遇，则有：故，

O

即，

解得

又时，故时，t取最小值，且最小值为此时在中，有OA=OB=AB=20

………12分故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．14分22.一家医药研究所，从中草