山西省长治市常平中学校2023年高三数学理期末试题含解析

山西省长治市常平中学校2023年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为

（

）A．588

B．480

C．450

D．120参考答案：B2.定义在R上的可导函数，在闭区间上有最大值15，最小值-1，则实数的取值范围是

（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D3.曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为A.

B.

C.

D.参考答案：D略4.下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是 （

）A．

B．

C． D．参考答案：D5.已知，且，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A试题分析：,所以，，故选A.考点：1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系.6.向量，，则向量在向量方向上的投影为（）A． B． C．1 D．参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据投影公式，代值计算即可【解答】解：由定义，向量在向量方向上的投影为=，故选：A．【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．7.若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C因为，所以将向右平移个单位得到，其图像关于y轴对称，所以的最小正值是．考点：三角函数图像的特点．8.把方程化为以t为参数的参数方程是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略9.一算法的程序框图如图1，若输出的，则输入的的值可能为A．

B．

C．

D．参考答案：C10.棱长为3的正四面体内切球的表面积为

（

）

A．27

B．3

C．12

D．48参考答案：答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设f﹣1（x）为f（x）=﹣cosx+，x∈（0，π]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为．参考答案：【考点】反函数．【分析】根据f（x）是（0，π]上的单调增函数，且f（x）与f﹣1（x）单调性相同，得出y=f（x）+f﹣1（x）的定义域是（a，]，计算y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为f（）+f﹣1（）．【解答】解：∵f（x）=﹣cosx+在x∈（0，π]上单调递增，且f﹣1（x）为f（x）=﹣cosx+在x∈（0，π]的反函数，又f（x）与f﹣1（x）的单调性相同，∴当x=π时，f（x）的最大值是f（π）=﹣cosπ+=；且当x=时，f（x）=﹣cos+=，∴y=f（x）+f﹣1（x）的定义域是（a，]，且x=时，f﹣1（）=π；∴y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为f（）+f﹣1（）=+π=．故答案为：．12.已知抛物线，焦点为F，过F点的直线l交抛物线于A，B两点，则的最小值为

．参考答案：F（，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x﹣），（k≠0）．联立，化为k2x2﹣（k2+2）x+k2=0．x1x2=．∴|AF|+2|BF|=x1++2（x2+）=x1+2x2+≥2+=，当且仅当x1=2x2=时取等号．当直线AB的斜率不存在时，|AF|+2|BF|=3p=3．综上可得：|AF|+2|BF|的最小值为：．故答案为：．

13.设△的三边所对的角分别为，已知，则

;的最大值为

．参考答案：;；14.某中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体名学生中抽取名学生进行体能测试．现将名学生从到进行编号，求得间隔数．若从中随机抽取个数的结果是抽到了，则在编号为的这个学生中抽取的一名学生其编号应该是

．参考答案：

15.已知函数，则=________;函数图象在点处的切线方程为_______参考答案：，

略16.已知数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为________．参考答案：【分析】待定系数得到，得到【详解】因为满足，所以，即，得到，所以，而，故是以为首项，为公比的等比数列，所以，故.故答案为：.【点睛】本题考查由递推关系求数列通项，待定系数法构造新数列求通项，属于中档题.17.已知点为所在平面上的一点，且，其中为实数，若点落在的内部，则的取值范围是_____________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分13分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等，请选择适当的探究顺序，研究函数的性质，并在此基础上，作出其在的图象．参考答案：①∵∴的定义域为…………2分②∵

∴f(x)为偶函数；

…………4分③∵f(x+)=f(x),

∴f(x)是周期为的周期函数；…………6分④∵∴当时；当时（或当时f(x)=∴当时，单调递减；当时，单调递增，

又∵是周期为的偶函数

∴的单调性为：在上单调递增，在上单调递减；………………8分⑤∵当时；当时∴的值域为：；

……………………10分

⑥由以上性质可得：在上的图象如上图所示：

……………13分略19.在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，设点，已知，求实数a的值.参考答案：（1）直线:，曲线:（2）【分析】（1）在直线的参数方程中消去参数t得直线的一般方程，在曲线的极坐标方程为中先两边同乘，得曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程直接代入曲线的直角坐标方程中，得到韦达定理，由，，列方程求出答案.【详解】解：（1）因为直线的参数方程为消去t化简得直线的普通方程：由得，因为，所以，所以曲线的直角坐标方程为（2）将代入得即，则，，∴，∴∴∵，∴，满足∴【点睛】本题考查了直线的参数方程，曲线极坐标方程与直角坐标方程得转化，直线与圆的位置关系，属于中档题.20.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA＝10，PB＝5，∠BAC的平分线与BC和圆O分别交于点D和E.（1）求证：；

（2）求AD·AE的值．参考答案：（1）见解析；（2）90.试题解析：（1）∵PA为圆O的切线，∴∠PAB＝∠ACP，又∠P＝∠P，∴△PAB∽△PCA，∴

5分（2）∵PA为圆O的切线，PBC是过点O的割线，∴PA2＝PB·PC，又PA＝10，PB＝5，∴PC＝20，BC＝15，由（1）知，＝，∠CAB＝90°，∴AC2＋AB2＝BC2＝225，∴AC＝6，AB＝3连接CE，则∠ABC＝∠E，又∠CAE＝∠EAB，∴△ACE∽△ADB，

∴所以AD·AE＝AB·AC＝3×6＝90

10分21.（12分）甲乙两名射手互不影响地进行射击训练，根据以往的数据统计，他们设计成绩的分布列如下：射手甲

射手乙环数8910环数8910概率概率

（I）若甲射手共有5发子弹，一旦命中10环就停止射击，求他剩余3颗子弹的概率；

（Ⅱ）若甲乙两射手各射击两次，求四次射击中恰有三次命中10环的概率；

（Ⅲ）若两个射手各射击1次，记所得的环数之和为，求的分布列和期望。参考答案：解析：（I）记事件A；射手甲剩下3颗子弹，