山西省长治市师力成才学校2022-2023学年高三数学理联考试题含解析

山西省长治市师力成才学校2022-2023学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若复数满足（为虚数单位），则复数的模A. B. C. D.参考答案：A2.已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是

（

）A．

B．

C．D．

参考答案：C略3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】根据以及充分不必要条件的定义可得.【详解】因为，所以?所以”是“”的充分不必要条件.故选A．【点睛】本题考查了对数不等式以及充分必要条件,属基础题.4.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的j=（

）A.1 B.3 C.5 D.7参考答案：C【分析】根据框图流程，依次计算运行的结果，直到不满足条件，输出j值．【详解】由程序框图知：n=4，第一次运行，i＝1，j＝1,j=2i-j=1,满足i<4，第二次运行i＝2，j=2i-j＝3；满足i<4，第三次运行i＝3，j=2i-j＝3；满足i<4，第四次运行i＝4，j=2i-j＝5；不满足i<4，程序运行终止，输出j＝5．故选：C．【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图流程依次计算运行结果是解答此类问题的常用方法．5.函数（）的图象如右图所示，为了得到的图像，可以将的图像（

）

A．向左平移个单位长度

B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度

D．向右平移个单位长度参考答案：C略6.“<0”是“”的(A)充分条件

(B)充分而不必要条件

(C)必要而不充分条件

(D)既不充分也不必要条件参考答案：B略7.若复数（α∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数α的值为（）A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．6参考答案：A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知复数利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0且虚部不等于0求得a的值．【解答】解：∵=为纯虚数，∴，解得：a=﹣6．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．8.曲线在点处的切线方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略9.设复数：为实数，则x=

（

）

A．－2

B．－1

C．1

D．2

参考答案：答案：A10.已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（）A.

B.

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设，且方程有两个不同的实数根，则这两个实根的和为

.参考答案：或12.已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时f（x）=2﹣x给出结论如下：①任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）?（2k，2k﹣1）．其中所有正确结论的序号是参考答案：①②④考点： 抽象函数及其应用；函数的周期性．

专题： 综合题；压轴题．分析： 依据题中条件注意研究每个选项的正确性，连续利用题中第（1）个条件得到①正确；连续利用题中第（2）个条件得到②正确；利用反证法及2x变化如下：2，4，8，16，32，判断③命题错误；据①②③的正确性可得④是正确的．解答： 解：①f（2m）=f（2?2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2），正确；②取x∈（2m，2m+1），则∈（1，2]；f（）=2﹣，从而f（x）=2f（）=…=2mf（）=2m+1﹣x，其中，m=0，1，2，…从而f（x）∈[0，+∞），正确；③f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1，假设存在n使f（2n+1）=9，即存在x1，x2，﹣=10，又，2x变化如下：2，4，8，16，32，显然不存在，所以该命题错误；④根据前面的分析容易知道该选项正确；综合有正确的序号是①②④．点评： 本题通过抽象函数，考查了函数的周期性，单调性，以及学生的综合分析能力，难度不大．13.已知函数在时取得最大值，则

．参考答案：由题得故答案为：

14.已知函数f（x）=，若命题“?t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是假命题，则实数k的取值范围是．参考答案：（，1]【考点】特称命题．【分析】由x＜1时函数的单调性，画出函数f（x）的图象，把命题“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是假命题转化为“任意t∈R，且t≠0，使得f（t）＜kt恒成立”，作出直线y=kx，设直线与y=lnx（x≥1）图象相切于点（m，lnm），求出切点和斜率，设直线与y=x（x﹣1）2（x≤0）图象相切于点（0，0），得切线斜率k=1，由图象观察得出k的取值范围．【解答】解：当x＜1时，f（x）=﹣|x3﹣2x2+x|=﹣|x（x﹣1）2|=，当x＜0，f′（x）=（x﹣1）（3x﹣1）＞0，∴f（x）是增函数；当0≤x＜1，f′（x）=﹣（x﹣1）（3x﹣1），∴f（x）在区间（0，）上是减函数，在（，1）上是增函数；画出函数y=f（x）在R上的图象，如图所示；命题“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt“是假命题，即为任意t∈R，且t≠0时，使得f（t）＜kt恒成立；作出直线y=kx，设直线与y=lnx（x≥1）图象相切于点（m，lnm），则由（lnx）′=，得k=，即lnm=km，解得m=e，k=；设直线与y=x（x﹣1）2（x≤0）的图象相切于点（0，0），∴y′=[x（x﹣1）2]′=（x﹣1）（3x﹣1），则有k=1，由图象可得，当直线绕着原点旋转时，转到与y=lnx（x≥1）图象相切，以及与y=x（x﹣1）2（x≤0）图象相切时，直线恒在上方，即f（t）＜kt恒成立，∴k的取值范围是（，1]．故答案为：（，1]．15.已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，P-ABC的顶点都在球O的球面上，正三棱锥P-ABC的体积为36，则球O的表面积为__________。参考答案：108π【分析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将问题转化为正方体的外接球问题．【详解】∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，设球O的半径为R，则正方体的边长为，∵正三棱锥的体积为36，∴V=∴R=∴球O的表面积为S=4πR2=108故答案为：108．

16.在某个容量为的样本的频率分布直方图中，共有个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他个小长方形面积和的，则中间一组的频数为

.参考答案：5017.设数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得an=．再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，an=（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴an=．∴=2．∴数列{}的前n项的和Sn===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．【点评】本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知直线y=﹣x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l：x﹣2y=0上．（Ⅰ）求此椭圆的离心率；（Ⅱ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=4上，求此椭圆的方程．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）设出A、B两点的坐标，由方程组得关于x的一元二次方程；由根与系数的关系，可得x1+x2，y1+y2；从而得线段AB的中点坐标，代入直线l的方程x﹣2y=0，得出a、c的关系，从而求得椭圆的离心率．（Ⅱ）设椭圆的右焦点坐标为F（b，0），F关于直线l：x﹣2y=0的对称点为（x0，y0），则由互为对称点的连线被对称轴垂直平分，可得方程组，解得x0、y0；代入圆的方程x02+y02=4，得出b的值，从而得椭圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则由得：（a2+b2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0，由根与系数的关系，得，且判别式△=4a2b2（a2+b2﹣1）＞0，即a2+b2﹣1＞0（*）；∴线段AB的中点坐标为（）．由已知得，∴a2=2b2=2（a2﹣c2），∴a2=2c2；故椭圆的离心率为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=c，从而椭圆的右焦点坐标为F（b，0），设F（b，0）关于直线l：x﹣2y=0的对称点为（x0，y0），则且，解得．由已知得x02+y02=4，∴，∴b2=4，代入（Ⅰ）中（*）满足条件故所求的椭圆方程为．19.（10分）（2015?嘉峪关校级三模）如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，且与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点，（1）证明A、P、O、M四点共圆；（2）求∠OAM+∠APM的大小．参考答案：【考点】：弦切角．【专题】：选作题；矩阵和变换．【分析】：（1）要证明四点共圆，可根据圆内接四边形判定定理：四边形对角互补，而由AP是⊙O的切线，P为切点，易得∠APO=90°，故解答这题的关键是证明，∠AMO=90°，根据垂径定理不难得到结论．（2）由（1）的结论可知，∠OPM+∠APM=90°，只要能说明∠OPM=∠OAM即可得到结论．（1）证明：连结OP，OM，∵AP与⊙O相切于点P，∴OP⊥AP，∵M是⊙O的弦BC的中点，∴OM⊥BC，∴∠OPA+∠OMA=180°，∵圆心O在∠PAC的内部，∴四边形APOM的对角互补，∴A、P、O、M四点共圆…（5分）（2）解：由（1）得A、P、O、M四点共圆，∴∠OAM=∠OPM，由（1）得OP⊥AP，∵圆心O在∠PAC的内部，∴∠OPM+∠APM=90°，∴∠OAM+∠APM=90°…（10分）【点评】：本题是考查同学们推理能力、逻辑思维能力的好资料，题目以证明题为主，特别是一些定理的证明和用多个定理证明一个问题的题目，我们注意熟练掌握：1．射影定理的内容及其证明；2．圆周角与弦切角定理的内容及其证明；3．圆幂定理的内容及其证明；4．圆内接四边形的性质与判定．20.

如图，设椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足，且·=0．

（1）若过A、B、F2三点的圆恰好与直线y－3=0相切，求椭圆C的方程； （2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．参考答案：略21.（本小题满分13分）

如图，三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都是2，又平面ABC，D、E分别是AC、CC1的中点。

（1）求证：平面A1BD；

（2）求二面角D—BA1—A的余弦值；

（3）求点B1到平面A1BD的距离。

参考答案：（Ⅰ）证明：以DA所在直线为轴，过D作AC的垂线为轴，DB所在直线为轴建立空间直角坐标系则A(1,0,0),C(),E()，A1(),C1()，B()，,∵

∴

………………2分

∴

…………4分又A1D与BD相交∴AE⊥面A1BD

……………5分（其它证法可平行给分）(Ⅱ)设面DA1B的法向量为由,，取……………7分设面AA1B的法向量为，则由，取

………………9分故二面角的余弦值为

…………………10分（Ⅲ）,平面A1BD的法向量取则B1到平面A1BD的距离为

…………13分

22.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作