山西省长治市县苏店镇中学2023年高二数学理月考试题含解析

山西省长治市县苏店镇中学2023年高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1..若命题；命题，则下列为真命题的是（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】通过举特例判断出命题p，q的真假，然后根据真值表即可找到正确选项．【详解】对于命题p：当时，，故p为假命题；对于命题q：当x＝1时成立，∴命题q是真命题；∴p∧q为假命题，￢p为真命题，（￢p）∧q是真命题．故选：A．【点睛】本题考查真命题、假命题的概念，以及真值表的应用，关键是判断出命题p，q的真假．2.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略3.已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1），且（2﹣3）⊥，则实数k=(

)A．﹣ B．0 C．3 D．参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】（2﹣3）⊥，可得（2﹣3）?=0，解出即可．【解答】解：=（2k﹣3，﹣6），∵（2﹣3）⊥，∴（2﹣3）?=2（2k﹣3）﹣6=0，解得k=3．故选：C．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．4.若实数满足条件，则的最大值为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C5.已知椭圆，为坐标原点.若为椭圆上一点，且在轴右侧，为轴上一点，，则点横坐标的最小值为（

）A. B. C. D.参考答案：B6.函数在区间[，+x]上的平均变化率为A. B.1+ C. D.2参考答案：D【分析】由平均变化率的运算公式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，可得平均变化率，故选D．【点睛】本题主要考查了平均变化率的求得，其中解答熟记平均变化率的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7.在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为45°，若E是PB的中点，则异面直线DE与PA所成角的余弦值为（）A． B． C． D．参考答案： B【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取AB的中点F，连接EF，DF，则EF∥PA．从而∠DEF为异面直线DE与PA所成角（或补角）．由此能求出异面直线DE与PA所成角的余弦值．【解答】解：取AB的中点F，连接EF，DF，∵E为PB中点，∴EF∥PA．∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角（或补角）．又∵∠PBO=45°，BO=1，∴PO=1，PB=在Rt△AOB中，AO=AB?cos30°==OP，∴在Rt△POA中，PA=2，∴EF=1．∵四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，∴△ABD为正三角形．∴DF=，∵PB=PD=，BD=2，∴△PBD为等腰直角三角形，∴DE==，∴cos∠DEF==．即异面直线DE与PA所成角的余弦值为．故选：B．8.设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R=（）A． B．C． D．参考答案：C【考点】类比推理．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为∴R=故选C．9.设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径．A．成正比，比例系数为C B．成正比，比例系数为2CC．成反比，比例系数为C D．成反比，比例系数为2C参考答案：D【考点】球的体积和表面积．【分析】求出球的体积的表达式，然后球的导数，推出，利用面积的导数是体积，求出球的表面积的增长速度与球半径的比例关系．【解答】解：由题意可知球的体积为，则c=V′（t）=4πR2（t）R′（t），由此可得，而球的表面积为S（t）=4πR2（t），所以V表=S′（t）=4πR2（t）=8πR（t）R′（t），即V表=8πR（t）R′（t）=2×4πR（t）R′（t）=故选D10.已知向量，，且与互相垂直，则的值是（

）A．

1

B．

C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为．参考答案：[﹣3，3]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．【解答】解：由z=x﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A（3，0）时，直线y=的截距最小，此时z最大为z=3﹣0=3，由图象可知当直线y=，过点B时，直线y=的截距最大，此时z最小，由，解得，即B（1，2），代入目标函数z=x﹣2y，得z=1﹣2×2=1﹣4=﹣3，故﹣3≤z≤3，故答案为：[﹣3，3]．12.已知，是曲线与围成的区域，若向区域内随机投一点，则点落入区域的概率为___________.参考答案：13.在半径为r的圆周上任取两点A，B，则|AB|≥r的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【专题】计算题；数形结合；转化法；概率与统计．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出以A为正六边形的一个顶点作圆的内接正六边形，则正六边形的边长为半径r，当B点落在劣弧外时，有|AB|≥r，求出对应的概率即可．【解答】解：如图所示，选定点A后，以A为正六边形的一个顶点作圆的内接正六边形，则正六边形的边长为半径r，当B点落在劣弧外时，有|AB|≥r，则所求概率为P==．故答案为：．【点评】本题考查了几何概型的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，解题的关键是根据题意画出对应的示意图形，是基础题目．14.已知两个正数，的等差中项为，等比中项为，且，则椭圆的离心率为

.参考答案：15.已知函数y=ax2+b在点（1，3）处的切线斜率为2，则=

．参考答案：2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，可得a的方程，再由切点，可得a+b=3，解得b，进而得到所求值．【解答】解：函数y=ax2+b的导数为y′=2ax，则在点（1，3）处的切线斜率为k=2a=2，即为a=1，又a+b=3，解得b=2，则=2．故答案为：2．16.已知集合，，则=

参考答案：略17.若，则的值为

．参考答案：1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD=4，BD=4，AB=2CD=8．（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（Ⅱ）当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD？（Ⅲ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．参考答案：考点：平面与平面垂直的判定；棱锥的结构特征；直线与平面平行的性质．专题：计算题；证明题；综合题；转化思想．分析：（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明平面MBD内的直线BD垂直平面PAD，即可证明平面MBD⊥平面PAD；（Ⅱ）M点位于线段PC靠近C点的三等分点处，证明PA∥MN，MN?平面MBD，即可证明PA∥平面MBD．（Ⅲ）过P作PO⊥AD交AD于O，说明PO为四棱锥P﹣ABCD的高并求出，再求梯形ABCD的面积，然后求四棱锥P﹣ABCD的体积．解答：证明：（Ⅰ）在△ABD中，∵AD=4，，AB=8，∴AD2+BD2=AB2．∴AD⊥BD．（2分）又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，∴BD⊥平面PAD．又BD?平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD．（4分）

（Ⅱ）当M点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，PA∥平面MBD．（5分）证明如下：连接AC，交BD于点N，连接MN．∵AB∥DC，所以四边形ABCD是梯形．∵AB=2CD，∴CN：NA=1：2．又∵CM：MP=1：2，∴CN：NA=CM：MP，∴PA∥MN．（7分）∵MN?平面MBD，∴PA∥平面MBD．（9分）

（Ⅲ）过P作PO⊥AD交AD于O，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD．即PO为四棱锥P﹣ABCD的高．（11分）又∵△PAD是边长为4的等边三角形，∴．（12分）在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为，此即为梯形ABCD的高．∴梯形ABCD的面积．（14分）故．（15分）点评：本题考查棱柱的结构特征，平面与平面垂直的判定，考查学生逻辑思维能力，空间想象能力，以及计算能力，是中档题．19.如图，在圆锥PO中，已知，⊙O的直径AB=2，点C在底面圆周上，且，D为AC的中点．（Ⅰ）证明：OD∥平面PBC；（Ⅱ）证明：平面PAC⊥平面POD；（Ⅲ）求二面角A-PC-O的正弦值.参考答案：证明：（Ⅰ）∵D为AC的中点，O为⊙O的圆心,则∥,

…………2分∵平面，平面，…………4分∴∥平面。…………5分证明：（Ⅱ）∵，是的中点，∴.又底面⊙底面⊙，∴，…………7分∵,平面，∴平面,

…………9分∵平面,∴平面平面；…………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，平面平面，在平面中，过作于，则平面。过作,垂足为,连结，则由三垂线定理得,∴是二面角的平面角.…………12分在中，,在△中,可求得,∴在△中,,∴.即二面角的正弦值为．…………15分

（其他解法，如或建空间直角坐标系，用空间向量解题，按步酌情给分.）20.河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？参考答案：【考点】抛物线的应用．【专题】计算题．【分析】建立平面直角坐标系，设拱桥型抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0）．将B（4，﹣5）代入得p=1.6，所以x2=﹣3.2y，当船两侧与抛物线接触时不能通过，由此能求出结果．【解答】解：建立平面直角坐标系，设拱桥型抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0）．…将B（4，﹣5）代入得p=1.6，∴x2=﹣3.2y，…当船两侧与抛物线接触时不能通过，设点A（2，yA），由22=﹣3.2yA，得yA=﹣1.25，…因为船露出水面的部分高0.75米，…所以h=|yA|+0.75=2米．…（14分）答：水面上涨到与抛物线拱顶距2米时，小船开始不能通行．…（16分）【点评】本题考查抛物线的应用，是中档题．解题时要认真审题，恰当地建立坐标系，合理地进行等价转化．21.已知数列中中，其前项和为，满足。（1）试求数列的通项公式；（2）令，是数列的前项和，证明：。参考答案：略22.（1）若命题“?x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，求实数a的取值范围；（2）设p：|4x﹣3|≤1，命题q：x2﹣（2m+1）x+m（m+1）≤0．若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；转化法；简易逻辑．【分析】（1）根据特称命题为假命题，转化为命题的否定为真命题，利用判别式△进行求解即可．（2）根据绝对值的性质和十字相乘法分别求出命题p和q，再根据￢p是￢q的必要而不充分条件，可以推出p?q，再根据子集的性质进行求解；【解答】解：（1）若命题“?x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，即命题“?x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”为真命题，