山西省朔州市应县第六中学2021年高一数学理期末试卷含解析

山西省朔州市应县第六中学2021年高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）已知α是第四象限的角，若cosα=，则tanα=（） A． B． ﹣ C． D． ﹣参考答案：D考点： 同角三角函数基本关系的运用．专题： 三角函数的求值．分析： 由α为第四象限角，以及cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，即可确定出tanα的值．解答： ∵α是第四象限的角，若cosα=，∴sinα=﹣=﹣，则tanα==﹣，故选：D．点评： 此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．2.已知则A．

B．-

C．

D．-参考答案：D略3.在正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC

D．平面PAE⊥平面ABC参考答案：C4.函数y=﹣x2+x﹣1图象与x轴的交点个数是(

)A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定参考答案：A【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用．【分析】利用二次函数的性质判断求解即可．【解答】解：函数y=﹣x2+x﹣1，开口向下，又△=1﹣4×（﹣1）（﹣1）=﹣3＜0．抛物线与x轴没有交点，故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质的应用，考查计算能力．5.若角的终边经过点，则（

）A. B.C. D.参考答案：B【分析】利用三角函数的定义可得的三个三角函数值后可得正确的选项.【详解】因为角的终边经过点，故，所以，故选B.【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题.6.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是A.

B.

C.

D.参考答案：C7.设f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则f（﹣2），f（3），f（﹣π）的大小顺序是（）A．f（﹣π）＞f（3）＞f（﹣2） B．f（﹣π）＞f（﹣2）＞f（3） C．f（﹣2）＞f（3）＞f（﹣π） D．f（3）＞f（﹣2）＞f（﹣π）参考答案：A【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】利用函数的单调性比较函数值的大小，需要在同一个单调区间上比较，利用偶函数的性质，f（﹣2）=f（2），f（﹣π）=f（π）转化到同一个单调区间上，再借助于单调性求解即可比较出大小．【解答】解：由已知f（x）是R上的偶函数，所以有f（﹣2）=f（2），f（﹣π）=f（π），又由在[0，+∞]上单调增，且2＜3＜π，所以有f（2）＜f（3）＜f（π），所以f（﹣2）＜f（3）＜f（﹣π），故答案为：f（﹣π）＞f（3）＞（﹣2）．故选：A．8.已知，且，那么tanα等于（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，求得sinα和cosα的值，可得tanα的值．【解答】解：∵已知①，∴1+2sinαcosα=，sinαcosα=﹣②，∵，∴sinα＜0，cosα＞0，再结合①②求得sinα=﹣，cosα=，∴tanα==﹣，故选：B．9.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1 B． C． D．2参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【专题】开放型；空间位置关系与距离．【分析】几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为正方形如图：其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形∴PB=1，AB=1，AD=1，∴BD=，PD==．PC==该几何体最长棱的棱长为：故选：C．【点评】本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题，根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键10.在△ABC中，若2cosB?sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（

） A． 等腰直角三角形 B． 直角三角形 C． 等腰三角形 D． 等边三角形参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数满足，则的最大值为

.参考答案：112.已知不等式x2－logmx－<0在x∈(0,)时恒成立，则m的取值范围是_______参考答案：13.102,238的最大公约数是________．

参考答案：34略14.已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2﹣ax+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值范围是．参考答案：（2，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（﹣x）=f（x），可知函数是偶函数，根据偶函数的对称轴可得当x≥0时函数f（x）有2个零点，即可得到结论．【解答】解：∵f（﹣x）=f（x），∴函数f（x）是偶函数，∵f（0）=1＞0，根据偶函数的对称轴可得当x≥0时函数f（x）有2个零点，即，∴，解得a＞2，即实数a的取值范围（2，+∞），故答案为：（2，+∞）【点评】本题主要考查函数奇偶的应用，以及二次函数的图象和性质，利用偶函数的对称性是解决本题的关键．15.已知向量，的夹角为60°，，，则______．参考答案：1【分析】把向量，的夹角为60°，且，，代入平面向量的数量积公式，即可得到答案．【详解】由向量，的夹角为60°，且，，则.故答案为：1【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示，直接考查公式本身的直接应用，属于基础题．16.已知非零向量满足，则_________________；参考答案：略17.函数的定义域为__________．参考答案：，．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）已知函数（1）求函数的反函数；（2）若时，不等式恒成立，试求实数的取值范围。参考答案：（1），，解得，（2分）所以反函数（2分）（2）不等式化为（1分）若，则不等式不成立；（2分）若，则恒成立，得；（2分）综上得（1分）19.对于两个定义域相同的函数f（x），g（x），若存在实数m、n使h（x）=mf（x）+ng（x），则称函数h（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的．（1）若f（x）=x2+3x和个g（x）=3x+4生成一个偶函数h（x），求h（2）的值；（2）若h（x）=2x2+3x﹣1由函数f（x）=x2+ax，g（x）=x+b（a、b∈R且ab≠0）生成，求a+2b的取值范围；（3）试利用“基函数f（x）=log4（4+1）、g（x）=x﹣1”生成一个函数h（x），使之满足下列件：①是偶函数；②有最小值1；求函数h（x）的解析式并进一步研究该函数的单调性（无需证明）．参考答案：【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的单调性及单调区间；函数的值．【专题】计算题；新定义．【分析】（1）先用待定系数法表示出偶函数h（x），再根据其是偶函数这一性质得到引入参数的方程，求出参数的值，即得函数的解析式，代入自变量求值即可．（2）先用待定系数法表示出偶函数h（x），再根据同一性建立引入参数的方程求参数，然后再求a+2b的取值范围；（3）先用待定系数法表示出函数h（x），再根据函数h（x）的性质求出相关的参数，代入解析式，由解析研究出其单调性即可【解答】解：（1）设h（x）=m（x2+3x）+n（3x+4）=mx2+3（m+n）x+4n，∵h（x）是偶函数，∴m+n=0，∴h（2）=4m+4n=0；（2）设h（x）=2x2+3x﹣1=m（x2+ax）+n（x+b）=mx2+（am+n）x+nb∴得∴a+2b=﹣=﹣﹣由ab≠0知，n≠3，∴a+2b∈（3）设h（x）=mlog4（4x+1）+n（x﹣1）∵h（x）是偶函数，∴h（﹣x）﹣h（x）=0，即mlog4（4﹣x+1）+n（﹣x﹣1）﹣mlog4（4x+1）﹣n（x﹣1）=0∴（m+2n）x=0得m=﹣2n则h（x）=﹣2nlog4（4x+1）+n（x﹣1）=﹣2n[log4（4x+1）﹣]=﹣2n[log4（2x+）+]∵h（x）有最小值1，则必有n＜0，且有﹣2n=1∴m=1．n=∴h（x）=log4（2x+）+h（x）在[0，+∞）上是增函数，在（﹣∞，0]上是减函数．【点评】本题考点是函数的奇偶性与单调性综合，考查了利用偶函数建立方程求参数以及利用同一性建立方程求参数，本题涉及到函数的性质较多，综合性，抽象性很强，做题时要做到每一步变化严谨，才能保证正确解答本题．20.已知函数f（x）满足f（logax）=（x﹣x﹣1），其中a＞0，a≠1，（1）讨论f（x）的奇偶性和单调性；（2）对于函数f（x），当x∈（﹣1，1）时，f（1﹣m）+f（﹣2m）＜0，求实数m取值的集合；（3）是否存在实数a，使得当x∈（﹣∞，2）时f（x）的值恒为负数？，若存在，求a的取值范围，若不存在，说明理由．参考答案：【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题．【分析】（1）利用换元法，求出函数的解析式，再讨论f（x）的奇偶性和单调性；（2）由f（x）是R上的奇函数，增函数，f（1﹣m）+f（﹣2m）＜0有﹣1＜1﹣m＜2m＜1，即可求实数m取值的集合；（3）由x＜2，得f（x）＜f（2），要使f（x）的值恒为负数，则f（2）≤0，求出a的范围，可得结论．【解答】解：（1）令logax=t，则x=at，∴f（t）=（at﹣a﹣t），∴f（x）=（ax﹣a﹣x），…因为f（﹣x）=（a﹣x﹣ax）=﹣f（x），所以f（x）是R上的奇函数；…当a＞1时，＞0，ax是增函数，﹣a﹣x是增函数所以f（x）是R上的增函数；当0＜a＜1时，＜0，ax是减函数，﹣a﹣x是减函数，所以f（x）是R上的增函数；综上所述，a＞0，a≠1，f（x）是R上的增函数…（2）由f（x）是R上的奇函数，增函数，f（1﹣m）+f（﹣2m）＜0有﹣1＜1﹣m＜2m＜1，解得＜m＜

…（3）因为f（x）是R上的增函数，由x＜2，得f（x）＜f（2），要使f（x）的值恒为负数，则f（2）≤0，即f（2）=（a2﹣a﹣2）≤0解得a＜0，与a＞0，a≠1矛盾，所以满足条件的实数a不存在．…21.如图，四棱锥P﹣ABCD中，PC=AD=CD=AB=1，AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；（Ⅱ）若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与线段PB交于点N，确定点N的位置，并说明理由．参考答案：【考点】LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（I）连接AC，推导出AC⊥BC，PC⊥BC，由此能证明BC⊥平面PAC．（II）当N为PB的中点时，由M为PA的中点，得到MN∥AB，且MN=．再由AB∥CD，得MN∥CD从而求出点N为过C，D，M三点的平面与线段PB的交点．【解答】解：（I）连接AC，在直角梯形ABCD中，AC==，BC==，∴AC2+BC2=AB2，即AC⊥BC．又PC⊥平面ABCD，∴PC⊥BC，又AC∩PC=C，故BC⊥平面PAC．解：（II）N为PB的中点．理由如下：∵N为PB的中点，M为PA的中点，∴MN∥AB，且MN=．又∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴M，N，C，D四点共面，∴点N为过C，D，M三点的平面与线段PB的交点．22.过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程．参考答案：【考点】直线的一般式方程；两条直线的交点坐标．【分析】设出A与B两点的坐