2022-2023学年上海市曹杨高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市曹杨第二中学高一上学期期末数学试题一、填空题1．若角的终边经过点，则实数的值为_______.【答案】.【分析】利用三角函数的定义以及诱导公式求出的值.【详解】由诱导公式得，另一方面，由三角函数的定义得，解得，故答案为.【点睛】本题考查诱导公式与三角函数的定义，解题时要充分利用诱导公式求特殊角的三角函数值，并利用三角函数的定义求参数的值，考查计算能力，属于基础题.2．函数的定义域为________．【答案】[2，+∞）【详解】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.3．已知幂函数的图象过点，则的单调减区间为______．【答案】【分析】由已知可设,由题意有，解得,即,再结合函数的单调性可得解.【详解】解:因为为幂函数,设,由函数的图象过点，则,即,即,故的单调减区间为,故答案为.【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法及幂函数的单调性，重点考查了幂函数的定义，属基础题.4．设为常数，集合，集合，则的元素个数为__________．【答案】【分析】由交集定义可确定，由此可得元素个数.【详解】，的元素个数为.故答案为：.5．设a、b为常数，若关于x的不等式的解集为，则__________．【答案】【分析】分别讨论、，其中时，根据解集为得，均为的根，即可列式求解.【详解】当，不等式的解集为，与题意不符；当，不等式的解集为，则，∴为的根，且，则，解得.故答案为：6．设函数的反函数为．若，则__________．【答案】【分析】根据反函数的性质即可求解.【详解】，,且所以，所以，故答案为：.7．己知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则函数的值域为__________．【答案】【分析】根据函数的奇偶性得到函数解析式，画出函数图像，根据图像得到值域.【详解】当时，，则，故，画出函数图像，如图所示：根据图像知，函数值域为.故答案为：8．己知函数满足：对任意非零实数x，均有，则__________．【答案】【分析】取，则，得到答案.【详解】，取，则，即.故答案为：9．若，则__________．【答案】##0.4【分析】根据得到，变换，计算得到答案.【详解】，解得，.故答案为：10．已知，设函数的表达式为．若存在，，使得，则实数a的最大值为__________．【答案】【分析】先分析出，由的值可得，转化为，求出实数a的最大值.【详解】因为存在，，使得，所以只需.由对勾函数的性质可知：在上单减，在上单增.而，，且在上的最小值为，在上的最大值为，所以恒成立.所以.设，解得：.因为，，所以要使成立，只需，即解得：.由，所以.故实数a的最大值为.故答案为：.11．若实数a、b、c满足，则的最大值为__________．【答案】##0.5【分析】利用基本不等式得到，把转化为，利用二次函数求出最大值.【详解】因为，所以，即.所以.因为，所以，所以.因为，所以当时，取得最大值.故答案为：.12．已知，若函数，恰有两个零点，则a的取值范围是__________．【答案】【分析】令，对两根的来源进行分析，对分类讨论，分别求出对应的范围.【详解】当时，令可得：或，均无解，不符合题意；当时，令可得：或若，由解得：符合题意.因为函数恰有两个零点，所以只有一解，所以符合题意，此时.即.若或时，无解；要使函数恰有两个零点，则有两解，所以需，解得：.综上所述：.所以a的取值范围是.故答案为：二、单选题13．已知是第四象限的角，则点在（

）．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据题意，由所在象限可判断三角函数的符号，可得，可得答案．【详解】根据题意，是第四象限角，则，则点在第二象限,故选：．14．己知非零实数满足，则下列不等式中恒成立的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】通过反例可知ABC错误；采用作差法可知D正确.【详解】对于A，若，，则，A错误；对于B，若，，则，B错误；对于C，若，，则，C错误；对于D，，为上的增函数，，，即，D正确.故选：D.15．“北溪”管道泄漏事件的爆发，使得欧洲能源供应危机成为举世瞩目的国际公共事件．随着管道泄漏，超过8万吨类似甲烷的气体扩散到海洋和大气中，将对全球气候产生灾难性影响．假设海水中某种环境污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：天）之间的关系为：，其中表示初始含量，k为正常数．令为之间的海水稀释效率，其中、分别表示当时间为、时的污染物含量．某研究团队连续20天不间断监测海水中该种环境污染物含量，按照5天一期进行记录，共分为四期，即、、、分别记为Ⅰ期、Ⅱ期、Ⅲ期、Ⅳ期，则稀释效率最高的是（

）．A．Ⅰ期 B．Ⅱ期 C．Ⅲ期 D．Ⅳ期【答案】A【分析】根据题意分别表示出，然后利用指数函数的性质比较可得结论.【详解】由于，其中表示初始含量，k为正常数，令为之间的海水稀释效率，所以第Ⅰ期的，同理第Ⅱ期的第Ⅲ期的，第Ⅳ期的，因为，所以，所以，所以，所以稀释效率最高的是Ⅰ期，故选：A16．已知函数是区间上的严格减函数，且其零点为，则“”是“存在非零实数a，使得对任意成立”的（

）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】C【分析】根据题意，先判断充分性，再判断必要性即可求解.【详解】由题意，函数是区间上的严格减函数，且零点为，则.先判断充分性：由，则令，则有，故存在非零实数a，使得对任意成立.所以“”是“存在非零实数a，使得对任意成立”的充分条件.再判断必要性：存在非零实数a，使得对任意成立，因此有，即，所以，即.所以“”是“存在非零实数a，使得对任意成立”的必要条件.综上所述，“”是“存在非零实数a，使得对任意成立”的充要条件.故选：C.三、解答题17．己知集合，集合．(1)当时，求；(2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围．【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）解出集合，进而求；（2）先求出，利用集合的包含关系列不等式，即可求解.【详解】（1），.当时，.因为，所以.（2）因为，所以或.因为“”是“”的充分条件，所以，所以或，解得：或.所以实数a的取值范围为或.18．己知函数的表达式为．(1)若，求方程的解集；(2)若函数在区间上是严格减函数，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）对x分类讨论得的分段函数，再解分段函数方程即可；（2）函数在区间上是严格减函数，由分段函数为减函数列不等式求解即可.【详解】（1），当，即，故当；当.故所求解集为.（2）∵函数在区间上是严格减函数，则有,解得，故实数a的取值范围为19．提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v和车流密度x满足关系式：．研究表明：当隧道内的车流密度时造成堵塞，此时车流速度．(1)若车流速度，求车流密度x的取值范围；(2)定义隧道内的车流量为，求隧道内的车流量y的最大值，并指岀当车流量最大时的车流密度x．【答案】(1)(2)的最大值为，此时车流密度为.【分析】(1)根据时，求出的值，然后分段讨论车流速度时车流密度x的取值，进而得出结论；(2)根据题意得出关于的函数表达式，根据的取值范围讨论车流量y的最大值，最后进行比较得出结果.【详解】（1）由题意可知：当时，，所以，解得：，所以，当时，，解得：，所以；当时，，解得：，所以，综上：车流速度，车流密度x的取值范围为.（2）由题意可得：，当时，，由二次函数的性质可知：当时，取最大值为；当当时，（当且仅当，即时取等）所以当时，取最大值为，综上可知：的最大值为，此时车流密度为.20．设a是大于1的常数，，己知函数是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若对任意的实数x，关于x的不等式均成立，求实数k的取值范围；(3)证明：关于x的方程有且仅有一个实数解；设此实数解为，试比较与的大小．【答案】(1)(2)(3)见解析【分析】（1）由是奇函数可得，即可求出实数m的值；（2）由函数的奇偶性化简抽象不等式，利用单调性可得对任意的实数x恒成立，即，解不等式即可得出答案.（3）设，进而得唯一实数根，使得，即，故，再结合得得答案.【详解】（1）己知函数是奇函数，，解得：所以.（2）对任意的实数x，关于x的不等式均成立，则，因为函数是奇函数，所以，因为，，所以在上单调递增，所以对任意的实数x恒成立，所以对任意的实数x恒成立，所以，解得：.实数k的取值范围为；（3）设，因为当时，，所以在区间上无实数根，当时，因为，，所以，使得，又在上单调递减，所以存在唯一实数根；所以方程有且仅有一个实数解.因为，所以，又，所以，所以.所以21．已知函数在区间上有定义，实数a、b满足．若在区间上不存在最小值，则称函数在区间上具有性质P．(1)若函数在区间上具有性质P，求实数m的取值范围；(2)已知函数满足，且当时，．试判断函数在区间上是否具有性质P，并说明理由；(3)已知对满足的任意实数a、b，函数在区间上均具有性质P，且对任意正整数n，当时，均有．证明：当时，．【答案】(1)；(2)在区间具有性质；(3)证明见详解.【分析】（1）分别讨论与1和2的关系，即可得出是否存在最小值，从而求出的取值范围；（2）由题目条件可得出在区间上如果有最小值，则最小值必在区间上取到，找到函数在区间上单调性，确定最小值是否存在；（3）首先证明对于任意，，当时，，，，再证得结果．【详解】（1），当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，存在最小值；当时，在区间上单调递减，最小值为；当时，在区间上单调递增，不存在最小值；所以实数m的取值范围为．（2）因为时，，当时，．所以在区间上如果有最小值，则最小值必在区间上取到.另一方面，由可得，故，在区间上单调递增，不存在最小值，所以在区间具有性质．（3）对于任意，当时，有,所以，若成立