2021-2022学年上海市复兴高一年级上册学期10月月考数学试题【含答案】

2021-2022学年上海市复兴高级中学高一上学期10月月考数学试题一、填空题1．集合且，且，则____．【答案】【分析】根据题意先求出集合的具体取值，然后利用交集的定义即可求解.【详解】因为集合且，且，则，且且，所以，则有，故答案为：.2．已知集合，且，则实数的取值范围为____．【答案】【分析】数形结合，即可得到答案.【详解】根据，结合数轴可知，在的左侧或与之重合，故.故答案为：.3．已知方程的两根为，，则______.【答案】【分析】由方程易知，根据根与系数的关系写出、，由即可求值.【详解】由题设知：，∴，，∴.故答案为：.4．已知正实数满足及，则中至少有一个小于1，用反证法证明该命题时，第一步是假设结论不成立，则____．【答案】都不小于1【分析】存在量词命题的否定为全称量词命题，写出答案即可.【详解】至少有一个小于1的否定是都不小于1.故答案为：都不小于15．已知条件，，且p是q的必要条件，则实数k的取值范围为_________．【答案】【分析】根据集合的包含关系得到关于的不等式组解出即可．【详解】∴，∴，解得，故答案为：．【点睛】结论点睛：一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．6．已知等式恒成立，其中为实数，则_____．【答案】【分析】方法一：将等式左边展开，比较系数可得答案；方法二：令可得答案.【详解】法一：，所以；法二：在中，令得.故答案为：7．已知集合，，则____．【答案】【分析】解分式不等式得到，得到，进而求出交集.【详解】等价与，解得：或，故或，又，故，所以．故答案为：.8．已知若关于的方程有实根，则的取值范围是______________．【答案】【详解】本题考查二次方程有关知识与绝对值不等式知识的综合应用；由于关于的二次方程有实根，那么即，而，从而，解得．9．若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则的取值范围是_____【答案】【详解】由得由整数有且仅有1，2，3知，解得10．定义集合运算，集合，则集合所有元素之和为________【答案】18【分析】由题意可得，进而可得结果.【详解】当当当当和为故答案为：1811．已知集合有整数解，非空集合满足条件：（1），（2）若，则，则所有这样的集合的个数为____．【答案】【分析】根据集合有整数解，结合韦达定理可求出集合，再由题目信息中集合满足的两个条件，得到集合中互为相反数的两个元素同属于集合或同不属于集合，即可求解.【详解】因为的整数解只能是36的约数，当方程的解为，36时，；当方程的解为，18时，；当方程的解为，12时，；当方程的解为，9时，；当方程的解为，6时，；当方程的解为1，时，；当方程的解为2，时，；当方程的解为，时，；当方程的解为，时，；故集合由非空集合满足条件：（1），（2）若，则，即集合中互为相反数的两个元素同属于集合或同不属于集合，得这样的集合共有个，故答案为：.12．已知集合，其中，，且．若正整数m、n∈A，且m+n=2010(m>n)，则符合条件的正整数m有_______个．【答案】662【详解】依题意，知m、n是七进制中的四位数，而七进制四位数中最大的一个数为，最小的一个数为.因为m+n=2010(m>n)，所以，1006≤m≤1667.故符合条件的正整数m有1667-1006+1=662(个).二、单选题13．若集合中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】D【分析】根据集合元素的互异性即可判断.【详解】由题可知，集合中的元素是的三边长，则，所以一定不是等腰三角形．故选：D．14．设集合，在上定义运算，其中为被4除的余数（其中，则满足关系式的的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根据题目信息，在集合中取值验证即可.【详解】当时，当时，当时，当时，则满足关系式的的个数为2个，故选：C．15．已知，则满足关于的方程的充要条件是A． B．C． D．【答案】C【详解】试题分析：满足关于的方程，则，则处取得函数最小值，函数为二次函数，，所以满足关于的方程的充要条件是【解析】充分条件与必要条件点评：若则是的充分条件，是的必要条件16．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【分析】分类讨论去绝对值求解.【详解】（1）当或时，，不等式为，若不等式恒成立，必需所以；（2）当时，，不等式为即，（ⅰ）当时，不等式对任意恒成立，（ⅱ）当时，不等式恒成立即恒成立，所以，解得，（ⅲ）当时，不等式恒成立即恒成立，所以，解得综上，实数的取值范围是【点睛】本题考查绝对值不等式，含参数的二次不等式恒成立.含参数的二次不等式恒成立通常有两种方法：1、根据二次函数的性质转化为不等式组；2、分离参数转化为求函数最值.三、解答题17．已知不等式：①，②，③．(1)分别求出不等式①与②的解集；(2)若同时满足①②的值也满足③，求实数的取值范围．【答案】(1)，或(2)【分析】（1）解一元二次不等式和高次不等式即可求解；（2）根据不等式的解集包含，结合二次函数的性质即可求解.【详解】（1）由①得，即，故解集为，由②得，即，解得解集或，（2）或，由题意得不等式的解集包含，令，只需，解得．18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题．设集合__________，集合．（1）若集合B的子集有2个，求实数a的取值范围；（2）若，求实数a的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案见解析【分析】（1）依题意集合B元素个数为1，则，计算可得；（2）分别求出集合，再由，则，即可得到不等式组，解得即可；【详解】解：（1）∵集合B的子集有2个，∴集合B元素个数为1∴解得：（2）选①集合集合∵∴显然有要满足条件，必有：，解，即，所以解得或；解，即，所以解得或；综上可得选②，集合∵∴要满足条件，必有：解得；选③解得集合∵∴要满足条件，必有：解得；19．选修4-5不等式选讲设均为正数，且，证明：（Ⅰ）若，则；（Ⅱ）是的充要条件．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．【详解】（Ⅰ）因为，，由题设，，得．因此．（Ⅱ）（ⅰ）若，则．即．因为，所以，由（Ⅰ）得．（ⅱ）若，则，即．因为，所以，于是．因此，综上，是的充要条件．【解析】推理证明．20．已知关于的不等式的解集为；(1)若,求的取值范围；(2)若存在两个不相等负实数，使得，求实数的取值范围；(3)是否存在实数，满足：“对于任意，都有；对于任意的，都有”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，3【分析】（1）讨论二次项系数和不为0时，求出原不等式的解集为R时k的取值范围；（2）若存在两个不相等负实数，使得，即和是方程的两根，由判别式及韦达定理求解即可；（3）根据题意得出解集，讨论的取值，求出原不等式的解集，判断是否满足条件即可．【详解】（1）解：当时，解得或，当时，不等式化为1＞0，∴时，解集为R，当时，不等式化为，对任意实数x不等式不成立，当时，，解得：,综上，的取值范围是；（2）解：若存在两个不相等负实数，使得，所以方程的两根分别为和,所以，解得：；（3）解：根据题意，得出解集，；当时，解得或，时，不等式的解集为，满足条件；时，1＞0恒成立，不满足条件；当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件；当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件；综上，满足条件的值为3.21．已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，．其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．若对于任意的，总有，则称集合具有性质．（Ⅰ）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和．（Ⅱ）对任何具有性质的集合，证明．（Ⅲ）判断和的大小关系，并证明你的结论．【答案】（Ⅰ）集合不具有性质，集合具有性质，相应集合，，集合，（Ⅱ）见解析（Ⅲ）【详解】解：集合不具有性质．集合具有性质，其相应的集合和是，．（II）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个．因为，所以；又因为当时，时，，所以当时，．从而，集合中元素的个数最多为，即．（III）解：，证明如下