2021-2022学年山东省潍坊市寿光市高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年山东省潍坊市寿光市第一中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．若，，则（

）A． B． C．5 D．10【答案】A【分析】先求出,再利用向量的模长计算公式即可【详解】因为所以故选:A2．直线与直线2x－y+7=0平行，则=（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据直线平行可得方程，即可得到答案.【详解】两直线平行，所以有,故选：B.3．在等比数列中，且，则（

）A．16 B．8 C．4 D．2【答案】C【分析】利用等比数列性质，若，则，即可计算出的值.【详解】由题意可知，根据等比数列性质，若，则；所以，因为，所以.故选：C.4．已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设出在基底下的坐标为，利用对照系数，得到方程组，求出结果.【详解】∵在基底下的坐标为∴设在基底下的坐标为则对照系数，可得：解得：∴在基底下的坐标为故选：C5．设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根极值与导函数的关系确定在附近的正负，得的正负，从而确定正确选项．【详解】由题意可得，而且当时，，此时，排除B、D；当时，，此时，，若，，所以函数的图象可能是C．故选：C6．如图所示，已知双曲线：的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是A． B． C． D．【答案】C【分析】利用双曲线的性质，推出，，通过求解三角形转化求解离心率即可．【详解】解：双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，可得，，，，所以，可得，，所以双曲线的离心率为：．故选：．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．7．若圆与圆恰有2条公切线，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由两圆相交可得参数范围．【详解】因为圆与圆恰有2条公切线，所以解得故选：B．8．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如果对于正整数，经过步变换，第一次到达1，就称为步“雹程”.如取，由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得.则下列命题错误的是（

）A．若，则只能是4 B．当时，C．随着的增大，也增大 D．若，则的取值集合为【答案】C【分析】根据“冰雹猜想”进行推理即可判定.【详解】对于A，，逆推，只能是4，故A对；对于B，时，，，故B对；对于C，时，，时，，，故C错，对于D，时，逆推，故D对.故选：C.二、多选题9．两个学校，开展节能活动，活动开始后两学校的用电量，与时间t（天）的关系如图所示，则一定有（

）A．比节能效果好B．的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率小C．两学校节能效果一样好D．与自节能以来用电量总是一样大【答案】AB【分析】根据两函数切线斜率的变化以及切线斜率的几何意义、平均变化率的定义对各选项的正误进行判断，可得出正确选项.【详解】由图象可知，对任意的，曲线在处的切线比曲线在处的切线要“陡”，所以比节能效果好，A正确，C错误；由图象可知，，则的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率小，B选项正确；由于曲线和曲线不重合，D选项错误．故选：AB10．如图，在长方体中，，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（

）A．当时，，P，D三点共线B．当时，C．当时，平面D．当时，平面【答案】ACD【分析】由题意，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标公式，求得点的坐标，根据空间向量公式，可得答案.【详解】由题意，如图建系：则，，设，，则，可得，，对于A：当时，则点P为对角线的中点，根据长方体性质可得三点共线，故A正确；对于B：当时，∴，解得，所以，则，因此不正确，故B错误；对于C：当时，，设平面的法向量为，，∴，，当时，，，故，∴，∴，又平面，∴平面，故C正确；对于D：当时，可得，，设平面的法向量为，则，，取，则，∴，而，∴，∴平面，故D正确．故选：ACD11．已知抛物线，其焦点为F，准线为l，PQ是过焦点F的一条弦，点，则下列说法正确的是（

）A．焦点F到准线l的距离为2B．焦点，准线方程C．的最小值是3D．以弦PQ为直径的圆与准线l相切【答案】ACD【分析】对A：由抛物线方程及焦点F到准线l的距离为即可求解；对B：由抛物线方程即可求解；对C：利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，从而即可求解；对D：利用抛物线的定义，及圆心到直线的距离等于圆的半径则直线与圆相切，从而即可求解.【详解】解：对B：由抛物线，可得，准线

，故选项B错误；对A：由抛物线，可得，即，所以焦点F到准线l的距离为，故选项A正确；对C：过点P作，垂足为，由抛物线的定义可得，所以（为点到准线l的距离），当且仅当、、三点共线时等号成立，所以的最小值是3，故选项C正确；对D：过点P、Q分别作，，垂足分别为、，设弦PQ的中点为M，则弦PQ为直径的圆的圆心为M，过点M作，垂足为，则为直角梯形的中位线，，又根据抛物线的定义有，，所以，所以以弦PQ为直径的圆与准线l相切，故选项D正确；故选：ACD.12．函数的所有极值点从小到大排列成数列，设是的前项和，则（

）A．数列为等差数列 B．C．为函数的极小值点 D．【答案】BD【分析】首先求出函数的导函数，令，根据正弦函数的性质即可求出函数的极值点，再求出，利用诱导公式计算可得；【详解】解：因为，所以，令，即可得或，，易得函数的极值点为或，，从小到大为，，…，不是等差数列，A错误；，B正确；函数在区间上为增函数，在区间上为减函数，所以为函数的极大值点，C错误；，，则根据诱导公式得，D正确；故选：BD．三、填空题13．记等差数列的前n项和为，若，，则公差__________.【答案】【分析】根据题意列出方程，即可求得答案.【详解】由题意等差数列的前n项和为，，，可得，且，则，且，解得，故答案为：14．一条直线经过，并且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为__________．【答案】【分析】先求出直线的倾斜角，从而可求得直线的倾斜角，则可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程【详解】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，因为直线经过，所以直线的方程为，即，故答案为：15．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F分别为PQ，AB，BC的中点，则异面直线EM与AF所成的角的余弦值是_______．【答案】【详解】试题分析：以为坐标原点,射线所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系．令两正方形边长均为2．则,,,设异面直线与所成的角为,．【解析】异面直线所成的角．四、双空题16．如图，圆O与离心率为的椭圆相切于点M(0,1)，过点M引两条互相垂直的直线l1，l2，两直线与两曲线分别交于点A，C与点B，D(均不重合)．若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1，d2，则的最大值是_________；此时P点坐标为_________．【答案】

；

【详解】分析：由题意首先求得椭圆方程，然后结合勾股定理可得的数学表达式，结合纵坐标的取值范围和二次函数的性质即可求得最终结果.详解：由题意知：解得，可知：椭圆C的方程为，圆O的方程为.设，因为,则,因为，所以,因为，所以当时，取得最大值为,此时点.点睛：本题主要考查椭圆的方程的求解，椭圆中的最值问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.五、解答题17．已知函数在处的切线方程为.(1)求的解析式；(2)求函数图象上的点到直线的距离的最小值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由题可得，然后利用导数的几何意义即求；（2）由题可得切点到直线的距离最小，即得.【详解】（1）∵函数，∴的定义域为，，∴在处切线的斜率为，由切线方程可知切点为，而切点也在函数图象上，解得，∴的解析式为；（2）由于直线与直线平行，直线与函数在处相切，所以切点到直线的距离最小，最小值为，故函数图象上的点到直线的距离的最小值为.18．已知在各项均为正数的等差数列中，，且，，构成等比数列的前三项．(1)求数列，的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）设公差为，由，且，，构成等比数列，利用“”法和“”法求解；（2）由（1）得到，利用错位相减法求解.【详解】（1）解：因为数列为各项均为正数的等差数列，所以，即得，设公差为，则有，，，又因为，，构成等比数列的前三项，所以，即，解得或（舍去），所以，所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列，故得，由题意得，，，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故.（2）设，则①，在上式两边同时乘以2得，，②，得，，,所以．19．在平面直角坐标系xOy中，已知点P，B，C坐标分别为，E为线段BC上一点，直线EP与x轴负半轴交于点A．(1)当E点坐标为时，求过点E且在两坐标轴上截距绝对值相等的直线方程；(2)求与面积之和S的最小值．【答案】(1)或或；(2).【分析】（1）根据给定条件，分直线过原点与不过原点，结合直线方程的截距式求解作答.（2）设点E的横坐标为t，根据给定条件求出t的范围，再将S表示为t的函数，并求出最小值作答.【详解】（1）令过点且在两坐标轴上截距绝对值相等的直线为l，当直线l过原点时，直线l在x，y轴上的截距都为0，其方程为，当直线l不过原点时，设直线l的方程为或，于是得或，解得或，直线l的方程为或，所以所求方程为：或或.（2）依题意，直线，因点E在线段BC上，则设点，，设，，由得：，显然，则，有，，，当且仅当，即时取等号，所以与面积之和S的最小值.20．如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面间的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取的中点，连接､，易证四边形为平行四边形，故，再由线面平行的判定定理即可得证；（2）由平面，知点到平面的距离即为所求.设，取的中点，连接､，可证，，进而推出平面；于是以为原点，､分别为､轴，在平面内，作平面，建立空间直角坐标系，可证，从而求得，，写出点､的坐标，根据法向量的性质求得平面的法向量，由点到平面的距离即可得解.【详解】（1）证明：取的中点，连接､，为的中点，，，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面.（2）平面，点到平面的距离即为所求.设，取的中点，连接､，则四边形为矩形，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，､平面，平面，，平面，平面，平面平面，以为原点，､分别为､轴，在平面内，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，平面，，在中，，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，，点到平面的距离，故直线与平面间的距离为.【点睛】方法点睛：求空间中点到平面的距离，向量方法:先在平面内选一点，确定的坐标，在确定平面的法向量，最后代入公式求解.也通常采用三棱锥等体积求解.21．已知双曲线(1)过点的直线与双曲线交于两点，若点N是线段的中点，求直线的方程；(2)直线l：与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点．当点M运动时，求点的轨迹方程.【答案】(1)(2).【分析】（1）设，，采用“点差法”可求得直线的斜率，即可求得答案；（2）根据直线l：与双曲线有唯一的公共点M，联立方程可得到，从而求得点M坐标，由此表示出过M且与l垂直的直线方程，求得，化简可得其关系，即可得答案.【详解】（1）设，，则，两式相减得，即，因为点是线段的中点，所以，即直线的斜率为1，所以直线的方程为，即,联立方程组,得，满足，故直线的方程为（2）联立方程组,得，因为直线l：与双曲线有唯一的公共点M，根据双曲线的对称性可知都不等于0，，得，则,则,所以M的坐标为，其中，因为过点M且与l垂直的直线方程为，令，得，令，，所以，故点的轨迹方程为：.【点睛】方法点睛：（1）涉及到弦的中点问题时，一般采用“点差法”解答，较为简便；（2）求动点的轨迹方程时，要能根据题意选择恰当的方法，想法得到动点的坐标之间的变化关系，化简可解.22．如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含边界和内部，A为坐标原点），AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点.(1)求在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程；(2)P为矩形场地AD边上的一动点，若存在两个成功点到直线FP的距离为，且直线FP与点M的