2021-2022学年安徽省合肥市庐江县高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年安徽省合肥市庐江县高二上学期期末数学试题一、单选题1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】直线可化为直线的斜率为，设倾斜角为，则，又，故选C.2．设等差数列的前n项和为，若，则（

）A．20 B．35 C．45 D．63【答案】D【分析】利用等差数列的性质结合求和公式即可求解．【详解】依题意，数列是等差数列，所以，所以，所以，故选：D．3．下列求导运算正确的是A． B． C． D．【答案】B【详解】分析：利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则对给出的四种运算逐一验证，即可得到正确答案.详解：，不正确；，正确；,不正确；，不正确，故选B.点睛：本题主要考查基本初等函数的导数公式、导数的运算法以及简单的复合函数求导法则，属于基础题.4．已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根据双曲线的方程得到渐近线的方程，根据一条渐近线所经过的点的坐标，得到的关系，进而利用求得离心率.【详解】因为渐近线经过点，所以，从而.故选：C【点睛】本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属基础题.5．函数的图像大致是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】运用函数的零点，极值点，单调性即可解决.【详解】解：由得或，故BD错；又，所以，当或时，；当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以，在处取得极大值，在处取得极小值，故A错.故选：C6．已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上且满足，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，分析可得，由椭圆的标准方程和定义可得，，将两式联立可得的值，由三角形面积公式计算可得答案．【详解】解：根据题意，点在椭圆上，满足，，又由椭圆的方程为，其中，则有，，联立可得，则△的面积；故选：C．【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及勾股定理与三角形的面积，关键是掌握椭圆的几何性质．7．如图，在四棱锥中，平面，M，N分别为，上的点，且，，若，则的值为（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】以为基底表示，由此求得，进而求得.【详解】，所以.故选：B8．若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将问题转化为当时，恒成立，参变分离后，求的取值范围.【详解】，由题意可知，，当时恒成立，即恒成立，得，，所以.故选：D9．圆关于直线对称，则最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出圆心，得到圆心在直线上，进而求出，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】变形为，故圆心为，因为关于直线对称，所以圆心在直线上，即，所以，，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以.故选：A10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有女子善织，日增等尺，三日织9尺，第二日、第四日、第六日所织之和为15尺，则其七日共织尺数为几何？”大致意思是:“有一女子善于织布，每日增加相同的尺数，前三日共织布9尺，第二日、第四日、第六日所织布之和为15尺，问她前七日共织布多少尺？”（

）A．28 B．32 C．35 D．42【答案】C【分析】该女子每日织布的尺数构成等差数列，记为，进而得，再解方程，并计算前项和即可.【详解】解：由题知，该女子每日织布的尺数构成等差数列，记为，设其每日增加的尺数为，其前项和为，所以，，即，解得，，所以，她前七日共织布尺.故选：C11．函数在处有极值为，那么，的值为（

）A．， B．，C．，或， D．，【答案】A【分析】由题意可知，由此可求出，并验证即可求解．【详解】，由题意可知即，则解得或，当时，，在处不存在极值，不符合题意；当时，，，，，，符合题意．，故选：A．12．在数列中，若，且对任意的有，则使数列前n项和成立的n最大值为（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】B【分析】由题知数列是等比数列，公比为，首项为，进而得，再根据错位相减法得，进而将不等式转化为，令，再结合其单调性求解即可.【详解】解：因为对任意的有，所以，即数列是等比数列，公比为，首项为，所以，，所以，，所以，所以，所以即为，所以，令，则，即，所以为单调递减数列，因为当时，，满足，当时，，不满足，所以成立的n最大值为，所以，数列前n项和成立的n最大值为.故选：B二、填空题13．不论为何实数，直线恒过定点_________.【答案】【分析】直线方程转化为，再根据直线系方程求解即可.【详解】解：将直线方程转化为，所以直线过直线与的交点，所以，联立方程，解得所以，直线恒过定点故答案为：14．已知向量，，则__________.【答案】【分析】先利用空间向量坐标运算得到，进而求出模长.【详解】，所以.故答案为：.15．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，且到双曲线渐近线的距离为，则抛物线的方程为___________.【答案】【分析】根据题意设抛物线方程为,由于双曲线渐近线方程为，利用点到直线的距离公式求得的值，即可得抛物线的方程.【详解】解：已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，则设抛物线方程为：,则抛物线的焦点坐标为，又到双曲线渐近线的距离为，双曲线中，所以，则渐近线方程为：所以，解得或（舍），则抛物线的方程为.故答案为：.16．已知函数，函数，若对任意的，总存在使得，则实数的取值范围是_____．【答案】【分析】利用导数判断的单调性求出的最值，即可得的值域，由单调性可得的值域，由题意可得在的值域是的值域的子集，根据包含关系列不等式组即可求解．【详解】由可得，当时，；时，；所以在单调递减，在上单调递增，所以，因为，，可得在的值域为，由在递增，可得的值域为，由对任意的，总存在，使得，可得，所以，可得，实数的取值范围是.故答案为：.三、解答题17．已知直线l3：，直线l经过两条直线l1：和l2：的交点.(1)若l∥l3，求l的直线方程；(2)若若l⊥l3，求l的直线方程.【答案】(1)(2)【分析】先求出l1与l2的交点坐标.再分别由l∥l3，，l⊥l3求出直线l方程即可.【详解】（1）由，得.∴l1与l2的交点为(1，3)设与直线平行的直线方程为，则，∴∴所求直线方程为.（2）设与直线垂直的直线方程为则，解得∴所求直线方程为.18．如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AC⊥AB，AC=AB=4，AA1=6，点E、F分别为CA1、AB的中点.（1）证明:平面；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）通过证明来证得平面.（1）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量来计算出与平面所成角的正弦值.【详解】（1）如图，连接EC1、BC1，因为三棱柱A1B1C1-ABC为直三棱柱，所以E为AC1的中点.又因为F为AB的中点，所以.又EF⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以平面.（2）以A1为原点，A1C1、A1B1、A1A所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则A(0，0，6)，B1(0，4，0)，E(2，0，3)，F(0，2，6)，所以=(0，-2，6)，=(2，0，-3)，=(0，2，0)，设平面AEF的法向量为，则令x=3，得，记B1F与平面AEF所成角为θ，则.19．已知数列是等差数列，数列是正项等比数列，且，，．（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）；；（2）【分析】（1）设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为，，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可求出数列和的通项公式；（2）先由（1）求得，再利用错位相减法求其前项和即可．【详解】解：（1）设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为，，由，，，可得，，解得，，舍去），则；；（2）由（1）知：，，又，两式相减得：，整理可得：．20．已知函数.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若对所有都有，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）最小值；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）由导数的应用，研究函数的单调性，再求其最值，（Ⅱ）构造函数，由导数的应用求函数的最值即可得解.【详解】解：（Ⅰ）的定义域为，的导数.令，解得；令，解得.从而在单调递减，在单调递增.所以，当时，取得最小值.（Ⅱ）依题意，得在上恒成立，即不等式对于恒成立.令，则.当时，因为，故是上的增函数，所以的最小值是，从而的取值范围是.【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值及利用导数研究不等式，属中档题.21．已知椭圆的离心率为，且过点．(1)求椭圆的方程．(2)若点，分别是椭圆的左、右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点，如图所示．设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据椭圆离心率、所过的点及其参数关系求椭圆参数，即可得椭圆方程.（2）设，写出直线的方程，进而求坐标，应用两点式求、，结合在椭圆上即可证结论.【详解】（1）由椭圆的离心率，则，则，将代入椭圆方程：，解得：，则，，∴椭圆的标准方程：；（2）由（1）知：，，设，则直线的方程为：．令得：∴，则，∴，∵在椭圆上，∴，．∴为定值，得证．22．某工厂某种产品的年产量为吨，其中，需要投入的成本为（单位：万元），当时，；当时，．若每吨商品售价为万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润（单位：万元）关于x的函数关系式；（Ⅱ）年产量为多少吨