清华大学结构力学第章位移法

第八章位移法§8-1位移法的基本概念§8-2等截面直杆的刚度方程§8-3无侧移刚架和有侧移刚架的计算§8-4位移法的基本体系§8-5对称结构的计算2§8-1位移法的基本概念一、关于位移法的简例只要求出结点B位移，各杆伸长变形即可求出。然后进一步可以求出杆件内力第一步，分析单杆（刚度方程）3第二步，组装结构变形协调条件：节点平衡条件：即于是得基本未知量求出后，每根杆件的位移和轴力可求出。4上述方法既可用于超静定结构（n>3），又可用于静定结构（n=2）。位移法要点如下：基本未知量是结构的结点位移基本方程是平衡方程建立基本方程的过程分为两步：a.离散结构，进行杆件分析，得出杆件的刚度方程；b.组装结构，得到基本方程。杆件分析是结构分析的基础。（刚度法）5二．位移法计算刚架基本思路分别分析杆AB和AC.相对于杆AB和AC,A点分别视为固定支座.杆AB和AC分别受载荷和支座位移作用.基本未知量取为A点水平线位移和转角.6结点位移是处于关键地位的未知量。基本思路：首先把刚架拆成杆件，进行杆件分析——杆件在已知端点位移和已知荷载作用下的计算；其次把杆件组合成刚架，利用平衡条件，建立位移法基本方程，借以求出基本未知量。7§8-2等截面直杆的刚度方程一、符号规则1．杆端弯矩

规定顺时针方向为正，逆时针方向为负。杆端弯矩的双重身份：1）对杆件隔离体，杆端弯矩是外力偶，顺时针方向为正，逆时针方向为负。2）若把杆件装配成结构，杆端弯矩又成为内力，弯矩图仍画在受拉边。MBAMCBABCMBC两个问题：已知端点位移下求杆端弯矩；已知荷载作用下求固端弯矩。82．结点转角顺时针为正，逆时针为负。

杆件两端相对侧移△，其与弦转角β

的正负号一致。而β以顺时针方向为正，逆时针方向为负。3．杆件两端相对侧移BAABABCD()()Fp91.两端固定梁二、等截面直杆的刚度方程ABEIABEIMABMBAAiBAiBABiMABMBA10由上图可得：即为:此外，可得杆端剪力为11

以上矩阵为刚度矩阵,系数称为刚度系数,该系数只与截面尺寸和材料性质有关的常数,称为形常数.以上就是弯曲杆件的刚度方程。为紧凑起见，可写成矩阵形式122.一端固定、一端辊轴支座的梁

BAEIBAiBAi133.一端固定、一端滑动支座的梁BAEIMABMBA144.

等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同，则相应的杆端力也相同。

1)BAMABMBABAMABMBA152)BAMABMBABAMABMBA3)BAMABBAMAB161.两端固定梁三、固端弯矩qABFpAB

单跨超静定梁在荷载作用下产生的杆端弯矩称为固端弯矩。固端弯矩以顺时针方向为正，逆时针方向为负。172.一端固定、一端辊轴支座的梁ABFpBAq183.一端固定、一端滑动支座的梁各种单跨超静定梁的固端弯矩可查教材附表。ABABFpq19在既有荷载作用，又有端点位移情况下，杆端弯矩为：杆端剪力为：20四、正确判别固端弯矩的正负号ABABqqqBABAq21§8-3无侧移刚架和有侧移刚架的计算一、无侧移刚架的位移法求解建立位移法方程有两种方法：1）直接利用平衡条件建立位移法方程。2）利用位移法基本体系建立位移法方程。22解:取结点角位移θB作为基本未知量（铰支座C角位移可不选），由上节表可求各杆固端弯矩：

故各杆杆端弯矩如下（各杆的线刚度相等）：23取结点B为隔离体，列出力矩平衡方程（位移法基本方程）：代入，平衡方程写为由此可求出基本未知量至此，位移法关键问题得到解决。最后可求出各杆杆端弯矩：24组装原则：1.结点处各杆变形要协调一致，选取基本未知量时保证结点处的变形协调条件；2.装配好的结点满足平衡条件，由基本方程满足。25解：令例8-3-1

用位移法求图示刚架的M图，各杆EI相同。1.利用平衡条件建立位移法方程ABCDE8kN/miii1）未知量：θB

θD()

()262）列出杆端弯矩表达式a)

固端弯矩ABCDE8kN/miiiib)

θB

产生杆端弯矩iABCDEiii()c)

θD

产生杆端弯矩iABCDEiii()273）建立位移法方程并求解由结点B和结点D的平衡条件可得：12MBDMBABMDBMDCMDED284）作弯矩图将求得的θB

、θD

代入杆端弯矩表达式得：M图(kN.m)ABCDE0.711.7827.0225.2438.761.4211.7329（1）在基本未知量中，要包括结点线位移；（2）在杆件计算中，要考虑线位移的影响；（3）在建立平衡方程时，要增加与结点线位移对应的平衡方程。1.基本未知量的选取只分析线位移的选取：不忽略轴向变形，则平面刚架每个结点有两个线位移，上图各有2、3、4个结点，故分别有4、6、8个结点线位移。二、有侧移刚架的位移法求解30引入假设：(1).忽略轴力产生的轴向变形；(2).结点转角和各杆弦转角都很微小。则尽管杆件发生弯曲变形，但杆件两端结点之间的距离仍保持不变。31因不考虑各杆长度的改变，还可以用几何构造分析的方法确定结点的独立线位移的个数。把所有刚结点（包括固定支座）改为铰结点，则此铰结体系的自由度数就是原结构的独立节点线位移的数目。（为了使此铰结体系成为几何不变而需添加的链杆数）322．基本方程的建立基本未知量分为刚结点角位移和独立结点线位移两类，与此对应，基本方程也分为两类。如图，基本未知量为刚结点B的转角和柱顶的水平位移。33分析各杆两端的位移，可写出各杆的杆端弯矩如下：34基本未知量中，每一个转角有一个相应的节点力矩平衡方程，每一个独立结点线位移有一个相应的截面平衡方程。平衡方程个数与基本未知量个数相等，正好求解全部基本未知量。35例8-2，求刚架弯矩图，忽略横梁轴向变形。解：（1）基本未知量只有一个独立线位移，本例没有刚结点，没有转角基本未知量。（2）各柱的杆端弯矩和剪力各柱线刚度为36由此知杆端弯矩为由每柱的平衡求得杆端剪力为（3）位移法方程取柱顶以上横梁部分为隔离体，由水平方向平衡条件，得37代入可求得（4）杆端弯矩和剪力（5）根据杆端弯矩可画出弯矩图（6）讨论剪力按刚度分配,然后求弯矩381）未知量：2kN/m14kNEEIABCD2EI4EI(i)(i/2)(2i)例8-3-2

用位移法求图示刚架内力图。解：()()2）列出杆端弯矩表达式39a）固端弯矩b）θD

产生的杆端弯矩2kN/m14kNEABCDii/22iEABCDii/22i()EABCDii/22i()c）产生的杆端弯矩403）建立位移法方程并求解MDCMDAMDED由结点D平衡：B2kN/mA14kNECDFQDAMDAMADFQEBMBEDA柱：作CE梁隔离体，求柱剪力。141EB柱2kN/mA14kNECDBFQDAMDAMADFQEBMBECE梁242解方程组①、②，得4）作内力图43EABCD1412216EABCD14383EFNEB=3kN14141433DFNDA=-17kNEABCD17FN=0344§8-4位移法基本体系1．位移法基本体系、基本结构基本未知量统一用表示。（1）位移法的基本体系：在刚结点B加约束控制B的转角（不控制线位移）；在结点C加水平支杆控制结点C的水平位移。（2）基本结构：在结点B加约束使结点B不能转动；在结点C加水平支杆使结点C不能水平移动。45（3）基本体系原结构：简化计算，与力法措施相反，效果相同。

2．利用基本体系建立基本方程：（1）基本体系原结构的条件第一步，控制附加约束，使结点位移全部为0，刚架处于锁住状态，即基本结构。施加荷载，可求出基本结构中内力，同时附加约束产生约束反力（约结构没有）；第二步，控制附加约束，使基本结构发生结点位移，这时附加约束中的约束反力将随之改变。当结点位移与原结构实际值相等，则附加约束的约束力即完全消失，附加约束将不起作用，基本体系与原结构完全相同。46b.单位位移单独作用——相应约束力为

基本体系转化为原结构的条件是：基本结构在给定荷载以及给定结点位移共同作用下，附加约束中产生的总约束力等于零。即为建立位移法基本方程的条件。（2）基本方程，利用叠加原理a.荷载单独作用——相应约束力为c.单位位移单独作用——相应约束力为

47叠加得，即为位移法基本方程。3．计算过程（1）基本结构在荷载作用下的计算先求各杆固端弯矩，作基本结构在荷载作用下的弯矩图取结点B为隔离体，求得“先锁住后放松”、“先拆后搭”48495051具有n个基本未知量的问题，位移法基本方程为上式也称为位移法典型方程。称为结构的刚度矩阵。刚度系数，对称矩阵，主系数大于0，副系数52§8-5对称结构的计算

结构对称是指结构的几何形状、支座条件、材料性质及各杆刚度EA、EI、GA均对称。

利用结构对称性简化计算，基本思路是减少位移法的基本未知量。一、奇数跨刚架

分析与对称轴相交截面的位移条件，在根据对称性取半边结构时，该截面应加上与位移条件相应的支座。1.对称荷载53

对称结构在对称荷载作用下，其内力和变形均对称。

在取半边结构时，B截面加上滑动支座，但横梁线刚度应加倍。

与对称轴相交截面B的位移条件为:未知量FPFP

Bi2i1i12i2i1BC

FP54

Bii1i2ii1i2i

FP

FPii1i22iBCA未知量

FP552．反对称荷载

对称结构在反对称荷载作用下，其内力和变形均反对称。

FPi2i1BC未知量FP

FP

B

i2i1i1

i256Bi2i1i1

FP

FPB2i2i1

C未知量

FP57二、偶数跨刚架偶数跨刚架不存在与对称轴相交的截面。1.对称荷载

FP

FPBi2iii2i1

FPBi2i582.反对称荷载FPBII1/2I2

将中柱改为跨度为的小跨，则原结构变为奇数跨。利用奇数跨结构在反对称荷载作用下的结论就可以得到图示简化结果。dlFPFPBIII1I2

I2

dlFPFPBIII1/2I1/2I2

I2

FPBII1/2I2

59例8-4-1

作图示结构M

图。三、举例FPi0i0i1i12i1解：

i0i0i1