「高中数学异面直线距离(教师用)」

求异面直之间距离的用方法求异面直线之间的距离是立体几何重难点之一常有利用图形性质,直接找出该公垂线然后求解；或者通过空间图形性,将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离,或转化为分别过两异面直线平行平面间的距,转化为求一元二次函数的最值问题,或用等体积变换的方法来解。方法一定义法也叫接法根据定义,找出或作出异面直线的公垂线段,再计算此公垂线段的长这是求异面直线距离的关键。该种方法需要考虑两种情:一是如两条一面直线垂,一般采用的方法找或做：过其中一个直线与另一个直线垂直的平面。若两个直线不垂直,则需要找第三条直线第3条直线与两个异面直线都垂直,平移第3直线使得与两个异面直线都相交。例１已知边长a为的两个正方形ＡBCD和ＣＦ成１20的二面角求异面直线CＤ与AE间的距离。思路分析：由四边形AＢＣ和CDＦ是正方形，得ＣD⊥AD,ＣD⊥DE,即C⊥平面ADE,过DＤH⊥AE于可得DＨ⊥ＡE，DHCD所以ＤH是异面直线ＡE的公垂线⊿ADE中,∠ＡＤE＝120aaDＨ＝。即异面直线CD与ＡE间的距离为。22

,AD=DE=，ABHDCE例2如图，在空间四边AＢCＤ中ＡB=＝CD＝D＝ACBD=ａEF分别是、ＣD的中点．求证：Ｆ是和CD的公垂线;求和C间的距离；（3)求和ＡC成角的大小）证明：连结B,已知可得AF＝．又因为AEB,所以F⊥交ABＥ.同理ＥF⊥ＤC交于点F.所以EF是AB和C的公垂线.(2）在ｔ△Ｆ中，F＝BE

，

例图所以E＝BF-2=2

，即EF=

．由（1)知是AB、C的公垂线段所以和Ｃ间的距离为a

.（3）过E点作∥交BC,因为Ａ的中点，所以G为Ｃ的中点.以∠即为异面直线E和AC所成的角

EFFG21EFFG2111111在△中Ｆ

,Ｇ＝FGaｃｏs∠FＥ＝2

.例3

所以∠FEG＝45°所以异面直线EF与AC成的角为45°.正方体AＢCD-AＢCD棱长为a,求异面直线与BＣ的距离。１１取的中点连结PD，ＰＢ分别交AC，于M，点易证：ＤB⊥AC，DB⊥１１

Ｃ，1∴MN为异面直线ACＢ

1的公垂线段，易证：MＮBD=。例4、正四棱锥S－ABCD中，底面边长为a，侧棱长为＞a)．求：底面对角线AC与侧棱SＢ间的距离.解:作SＯ⊥面AＢCＤ于O,则点O是正方形ＡＣD的中心．∵SO⊥ＡC,BＯ⊥AC,∴AＣ⊥面SOB.在△SOB中，作OH⊥SB于Ｈ①,根据①、②可知OH是ＡC与SB的距离．

E-BCDA1E-BCDA1∵OH·SB=SO·OB,方法二转化为线面离若a、b两条异面直线，过b一点A作a平行线记C与b定的平面α。从而，异面直线a、ｂ间的距离等于线面a、α间的距离。例1直角梯形ABＣD在平面外一点,90

，ＳA⊥平面＝AＢ=BC=，AD=2求异面直线与AB间的距离.解：如图，设Ｆ是AＤ的中点,连结、则ＡBCF．故AB∥平面ＣＳ故直线AB平面ＣFＳ的距离就是异面直线SC与A间的距离,在平面内作AE⊥，垂足为E，易知AB⊥平面Ｓ故CＦ⊥平面SＡＦ.∴⊥AＥ.从而ＡＥ⊥平面,

Ｓ故为直AＢ到平面ＣＦS的距离,即Ｃ与AB距离．2在RtSAF,易得ＡＥ=2思考,与方一的思是否统一

B

A图

C

F

Ｄ例2如图，ＢＦ条异面直线分别在直二面角Ｂ的两个面内和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为求两条异面直线BF、AE间的距离。思路分析:BＦ、ＡＥ两条异面直线分别在直二面角-AB-Q的两个面内，EAB＝α,∠ＦAB＝β，ABｄ，在平面Q内，过Ｂ作BHＥ,将异面直线、AE间的距离转化为AE与平面ＢＤ间的距离即为A平面ＢＣD间的距离因二面角ＡＢ-Q是直二面角A作AC⊥ＡＢ交BF于C,即AＣ⊥平面ＢD，过Ａ作Ｄ⊥BD交于D,连结ＣD。设A到平面BCD的距离为h。由体积法VＡ,得h＝

dsin1

FCβ

B方法三体积法:体积法实质也为线面法

αEHD本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体的高然后体积公式求之。例１：正方体，求ＡC与的距离

11，即33111，即331当求ＡC与B的距离转化为求AＣ与平面AB的距离后设C到平面Ａ１1

ＣＢ的距离为ｈ，则1∵

h·(a)=·a·a，

∴h=，即Ａ与B的距离为ａ。１例2设长方体的三边长为=5，ＢC４，BB=3,求AB和之间的距离1解:如图4,由AB∥,知∥平面．111

D

1

Ｃ故要求ＡＢ和之间的距离，1只要求出A到平面ADB的距离即可.1连结D,1

AA

1

D图３

B

B

1

C则三棱锥ABD的也就是AB平面的距离．11而

A1

1S••ABDD11

,

12可求得h．5故ＡB和之间的距离为.评注:等体积法是解决距离问题的常用方法,用它可避免作一些复杂的辅助线，关键是找到容易计算面积的底面。方法四转化为面面离若a、ｂ是两条异面直线,则存在两个平行平面α、β,且a∈α、b∈β。求、b两条异面直线的距离转化为平行平面α、β间的距离。例1

棱长a的正方体ABCD中，求两对角线B与BC间的距离．1111解:连结AD,BD,,D，11∵D∥B,∥D，ADD，11∴平面D∥平CD．111

A

1

D

1

ＯＮ

B

C1

1连结ACC,则C⊥，由三垂线定理,111

A

DＭ

B

E

C图

1111知AC⊥BD．同理,BC∴⊥平面CD111111同理⊥平面AD．∴平CD∥平面ABＤ11设与平面ADCD的交点分别为ＭN,则Ｍ的长即为平面CD111与平面D距离,也就是异面直AB间的距离11设与BD的交点为Ｏ,连结ON,在平中A⊥,1111ON⊥,则AON1OC，∴MNCN同MNAM．11∴MNACa．故与B的距离为a．33评注:把求异面直线间的距离转化为求直线与平面或平面与平面间的距离是求异面直线间距离时最常用的两种转化手段.例2已知：三棱锥SＡ中，SA=BC=1３，＝AC＝＝１5,求异面直线AD与Ｂ的距离。思路分析这是一不易直接求解的几何把它补成一个易求解的几何体的典型例子常常有时还常把残缺形体补成完整形体不规则形体补成规则形体不熟悉形体补成熟悉形体等所以把三棱锥的四个面联想到长方体割去四个直三棱锥所得,此，将三棱锥补形转化为长方体,设长方形的长、宽、高分别为x、y、S

CSABBy21522

A

z

x

BC

132解得，y＝2,z=１。由于平‖平面Ｂ平面ＳA、平间的距离是2,所以异面直线AD与Ｂ的距离是2。例3正方体，求ＡＣ与ＢC的距离

1111111111111111111111111111111111111111ｉ11解法:（转化法∵平面ACＤ//面ACＢ∴AC与的距离等于平面AＣD与平面Ａ１CB的距离,如图3所示）∵

DB⊥平面ACD被平面ACD和平面AB三等分∴所距离为１BD＝

。

小结:这种解法是将线线距离转化为面面距离。方法五构造函数法极值法根据异面直线间距离是分别在两条异面直线上的两点间距离的最小值,可用求函数最小值的方法来求异面直线间的距离。例1知正方体BD的棱长１为求ＡBDB的距离。１思路分析:在AB任取一点M，作１MP⊥ＡBPN⊥ＢD则ＭＮ⊥BD１１１只要求出MＮ的最小值即可。设A则１

D1NAPB1

122ＭｘＡP=x以=ａ–x，22

MD2=(a–452

０

（2，

AB

2

2例2

23(x)a。当ｘ22正方体，求AC的距离。

2a时=。3任取点Q∈,作QR⊥于点，作Ｋ⊥ＡCK点，如图4示,

设RC=x,则OK2=x+(a-ｘ)2=（x－a２+ａ2,故QK的小值，即与的距离等于１

a。小结：这种解法是恰当的选择未知量构造一个目标函数通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距离。例3已知正方形ACD正方形AＤ在平面互相垂直并相交于直线．这两个正方形的边长均求异面直线ＡE和ＢD的距离．解:Ｐ是AE上任意一点，过Ｐ作PQ垂直AD垂足为Q,∵平面ＡＤEF平面ABC,

且平面ADEＦ

平面ABCD＝Ａ∴⊥平面ABCD.过Ｑ作QR⊥BD垂足为连结PＲ,则QR是ＰＲ在平面ABＣ上的射影由Ｑ⊥BD知BD∴的长度是上任意一点Ｐ到BD距离设ＡQx则QD=x.APQPAQ45

0

,

0

，AQx,则x.在DQR中45

0

,90

0

,DQa则ＱR

(-x∵⊥平面ABCD,平ＡＢＤ

∴ＰQQR.在

PQR,PR

PQ

x)]

,

E23aa2(x)3∴当=时,PR取最小值a

.

FA

DQ图４

Ｒ

B

C即异面直线AE和Ｂ的距离为．评注因异面直线的距离是异面直线上两点间距离最短的从而可将异面直线的距离转化为二次函数的最值求解.

在求异面直BC间的距离时,可先在ＳＡ任取一点Ｄ,作ＤＥ⊥直径AC于Ｅ，则⊥底面圆.再作EF⊥BＣ于F,则有DF⊥BC,于是的最小值就是SＡ与间的距离.方法六:公法如图已知异面直线a所的角为q,公垂线段AA＇AF＝ｎﻫ

应用此公式时,要注意正、负号的选择．ﻫ

当∠ＤAＦ=q时负号当F(或点Ｅ)在点（A的另一侧时取正

A

Oﻫ．

O

/B例５已知圆柱的底面半径为３为4AB点分别在两底面圆周上并且AB＝5，求异直线AB轴/间的距离。思路分析：在圆柱底面上AO⊥Ｏ/,BＯ

⊥ＯＯ/又OO圆柱的高，ＡB=

AB1111111//图1AB1111111//图1５，所以d=

332

。即异面直线AB与轴ＯO/之间的距离为

332

。方法七射影将两条异面直线射影到同一平面内,射影分别是点和直线或两条平行,那么点和直线或两条平行线间的距离就是两条异面直线射影间距离。例6在正方体ABCD-ABD中AB=1M、1１１N分别是棱AB、ＣC的中点，E是的中点。１求异面直线DＭ、间的距离。思路分析：两条异面直线比较难转化为线面、

D

1

1

1N面面距离时，可采用射影到同一平面内，把异面直线DM射影到同一平面Ｂ内，转化为Ｃ１2QN的距离然,易知BＣ的距离为。4

DCEQAMB所以异面直线DM、EN间的距离为

24

。8、向量求条异面直线的距离下面介绍一种利用向量进行计算的简易方我们先来看看空间向量在轴上的射设向量AＢ，那么它在轴上的投影为AB从１可以看出为了作出u轴上的射影,可以过点AB分作u轴直的ABuA'B'

两个平面么点Ａ在ｕ轴上的射影分别为A’、’，且点A’、Ｂ’必定在平面显然，就是在u上的射影．从另一方面看，线段就是异面直线A’A和B’B如果它们不平行的话)的公垂线段，也就是两异面直线间的距离.所以,异面直线上任意两点所连接的向量在公垂线方向上射影的模亦即投影的绝对值就是两异面直线间的距离.为所|A

/

/

|AB|cos

|A

/

/

|表示两异面直线间的距离．由于们之间的距离处处相等，所以ｕ轴的选取不一定要是公垂线而只要同时与两异面直线垂直,也就是说只要与垂线方向向量共线即可下面看个例子．

111111111111111111例5正方体ABCD－AＢＣD的棱长为a,求异面直线Ａ与的距离．１１解:如图以直线DA为x轴，DCy,Ｄ为z轴，Ｄ为原点,立空间直角坐标系.有D(0，0，0)、A(，０,0C(0,a,０、(０，，且＝（-a,a,０=(-ａ＝(0,ａ,0).１设=(x,ｙ，由·＝·=0,得ａy＋0·z＝0解得ｘ.=(k,k,k）(k≠0)

-a

∴d=

＝

=

O

(D)

．

yC答:异面直线Ａ与的距离是

.

x

A

图2

B综合题:例.如图知正方体ABCDC的棱长,两异面直C11111的距离.解法一（面面平行法)如附图，两异面直、B间的距离1

两平行平BDA、BCD间的11距离d,且由三垂线定理知AC与这两个平行平面垂直。1由平面几何知识易证AC被这两平行平面三等分，1

d

33

a.解法公垂线段法）由上可知面直BD、B的公垂线段平行且等于AC，由这一特殊的比3例关系联想到三角形的重心，启发我们去构造重心!故找寻交线的中点P,设PC1

BCM,PABD证M、N分别为BCC和的重心，由1PM＝平行且等于AC，则即为两异面直线BD、公3PA3垂线段!思维发散空间四边形的四个内角,最多有多少个直角?如附图在空间四边CMNOCMNNOC90对是否为直角呢？不妨假90则异面直线、BC有两条公垂线段MN、OC这与1公垂线段的唯一性矛盾！

直角最多只能有

3。解法三最小值法)在BC任取M在BC内作,再在底面11

222222ABCD内作BD，MHx

BHHN

22

则在直角三角形MHN中，有

2

2

13x,2当x

a3

，即点为一个三等分点时，d1

33

a解法四线面平行等积法):C1

／/

面ABD,则两异面直BDBC11间的距离B面BD距点到面ABD的距离111故可由等积法得:V

BD

＝Ｖ

11＝33