平面向量线性运算C

精锐教育学科教师辅导讲义年级：初三 科目数学 课时数：3课题平面向量的线性运算教学目的理解实数与向量乘积的意义，掌握实数与向量相乘满足的运算律；能够利用实数与向量相乘的意义解决集合中两直线平行及线段长度的问题。教学内容【知识梳理】(一)实数与向量相乘设k是一个实数，a是向量，那么k与a相乘，所得的积是一个向量，记作ka【说明】如果k，0，且a丰0，那么ka的长度ka=k\^；i — —ka的方向：当k>0时，ka与a同向；——当k<0时，ka与a反向.如果k=0，且a=0，ka=0.实数与向量相乘满足下列运算律：设m、n为实数，则m(n^^=(mn)方；(m+n)a=ma+na；一("—m^a+*=ma+mb平行向量定理：如果向量b与非零向量a平行，那么存在唯一的实数m，使b-ma长度为1的向量称为单位向量，用e表示.【说明】单位向量有无数多个；不同的单位向量是指它们的方向不同.对于任意非零向量a，与它同方向的单位向量记作a0,则有：a=aa0,-‘ 1一ao=aa-(二)向量的线性运算：向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算如果是两个不平行的向量，x、y是实数，那么场+yb叫做的线性组合.【典型例题分析】【例1】用单位向量e表示下列向量：———a与e方向相同，且长度为3,a=.b与e方向相反，且长度为'克,b=..c与e方向相反，c=2e，c=.【答案】(1)3e；(2)-<2e；(3)-2e【方法总结】根据方向是否相同确定正负号，根据长度关系确定倍数.【借题发挥】1.向量2a与向量-3a方向.1丁向量-b与向量一5b方向.【答案】相反；相同—►用单位向量e表示下列向量：b与e方向相同，且长度为0.5，b=.c与e方向相同，长度相等，C=.a3-a与e方向相同，有=7；，a= .|e| 2【答案】0.5e；e；3e【例2】计算:(1)(3)a+a+(-a)；(2)(-b)+(-b)+(-b)；

b+(-b)+0；(4)(5)2(3a)；(6)(7)3(a+5b)；(8)+2b-3c)-(2a-3b+C)--b.3【答案】略【借题发挥】(6-、5a--b .k573(3a-b)+4(2a-b)；3.5(3.5(za-b+c)一a+2b一【答案】略一一一一一一一一 a-【例3】如果a+b=3c,a-b=-c，那么a与b是平行向量吗？如果是，求甬.b【提示】两个等式相加得到“=C，然后代入其中一个等式即可【答案】是；1【例4】如图，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点.(1)用向量AB、AC表示向量EF,用向量DB、DC表示向量HG;(2)由AC-AB=BC,DC-DB=BC，可推出向量EF与HG相等吗？四边形EFGH是平行四边形吗?【答案】(1)ef=—AC-—AB；HG=—DC-—DB；(2)向量EF与HG相等；四边形EFGH是平行四边【借题发挥】

如果2a+b=3c,a+2b=c，那么a与b是平行向量吗？如果是，求=.b【答案】是；5如图，在等腰梯形ABCD中，AD〃BC,AB=CD,E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD边的中点，用向量的方法证明四边形EFGH是菱形.【答案】略【例5】已知非零向量a，求作-2a，寸2a.【例6】如图，已知向量a、b，求作向量-2(a+b)【答案】略【例7】如图，已知向量oA、OB和a、b，求作:(1)向量a分别在OA、OB方向上的分向量;(2)向量b分别在OA、OB方向上的分向量.BB【答案】略【借题发挥】如图，已知两个不平行的向量a、b.求作：2a+3b,2a-3b.一丁 一5了一5二2.已知两个不平行的向量a、b，求作：3a+-b,3a--b.【例8】如果向量a、b满足关系式5a+6G-元）=0，试用a、b表示向量£.【例9】如图，已知口ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD交于点^,设AD=a,:AB=b，分别求向量AE、AF、BF、DF关于a、b的分解式・B£C【答案】AE=1a+b；AF=1a+b2 3【借题发挥】1.如果向量【借题发挥】1.如果向量a、b满足关系式8（a-3£）=7G-4£），试用a、b表示向量£.量量BC表示向量DE.【答案】略2.如图，点D、E分别在△ABC的边BA、CA的延长线上，DE〃BC,AD=2，试用向AB3

【答案】略3.如图，点B、B、B在AB上，C、C、C在AC上，BB=BB=BB=BA,CC=CC=CC1 2 3 1 2 3 1 12 23 3 1 12 23试用向量AB表示向量B]C]、Bq、BC3.【提示】结合三角形一边平行线性质解决【随堂练习】填空题:1.已知m、n是实数，a、b是向量，对于命题:①m(a-b)=ma-mb②(m-n)a=ma-na———③若ma=mb，则a=b④若ma=na，则m=n其中正确命题为-【答案】①②5一-c=2-3-(2)—a-2b+。4—Ea+b-25一-c=2-3-(2)—a-2b+。4—Ea+b-23【答案】略3.已知菱形ABCD的边长为1，ZABC=60°，AB=a，AC=C，【答案】24.已知向量a,b，且3(x+a)+2(x—2a)—4(x—a+b)=0，则x=【答案】］=4b-3aTOC\o"1-5"\h\z5.若向量x、y满足2x+3:y=a,3x—2亍=b,a、b为已知向量，则x4 6. 32.【答案】 a+—b；—a—b13 13；13 13选择题：1将—［2（2a+8b）—4（4a—2b）］化简成最简式为（ ）12A・2a—b； B・b—a； C・a—b； D・2b—a・下列说法正确的是（ ）A.向量AB与BA是两平行向量； B.若a、b都是单位向量，则a=b；C.若AB=DC，则A、B、C、D四点构成平行四边形；D.两向量相等，那么它们的始点、终点相同.设四边形ABCD中，有DC=1AB且|AD|=|BC|,则这个四边形是（）2A.平行四边形； B.矩形； C.等腰梯形； D.菱形已知0是乙人'。所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA+OB+OC=0，那么（ ）A・aO=0D； B・AO=20D； C・AO=30D； D.2~AO=OD解答题：1.如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点0,设OA=a,OB=b，分别求向量OC、OD、、BC关于a、b的分解式.—►—►试用a、b表示向量X=—►A.a//C，b//C；已知两个不平行的向量a,b.7-求作：(a+b)—(^a—2b).【课后作业】一、基础巩固训练填空题：1.在四边形ABCD中，AB=DC，且|AB|=|AD|，则四边形ABCD是.2.若a=3力与。的方向相反，且b—5，则a3.E,F在平行四边形ABCD的对角线BD上，且有EB=DF中，设EC=a,EA=b,1AD=C，则：a+b=作出a+c—__— —已知AD、BE分别是△ABC的边BC、AC上的中线，AD=a,BE=b，则BC=—► —► —►5.如果向量a、b满足关系式4a+5（b—2X）=0，选择题:—►1.下列条件中，不能判定a//b的是（-1CB.a-—2C，b——C；2—►D.|a|=3|b|.2.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）A・^aB=DC； B,aD+AB=A・^aB=DC； B,aD+AB=京；c,AB-aD=bD；D,AD+CB=6.3.若0、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )A.EF=OF+OE；B.EF=OF-OE；c.EF=-OF+OE；D.EF=-OF-OE4.已知a、b是两个非零向量，e是一个单位向量，下列等式中正确的是aab-=e； B.—二—aabA.5.已知G是^ABC的重心，如图1所示，则GA+GB-GC=( )B.4GE；C.4GD；解答题:1.已知向量a,b,c；求作：(1)5a—2b+3c(2)a-—b-2c52.如图，AM=1AB，AN=1AC.求证：MN=1bC.如图，已知平行四边形ABCD，点M、N是边DC、BC的中点，设AB=a，:AD=b分别求向量MN、B关于a、b的分解式.?N4.如图，△ABC中，F为AC的中点，D、E分别在BA.CA的延长线上，且DE//BC,AE=1AC，设FB=a，AC=b，试用a、b的线性组合表示.5.如图，D是^ABC的边AC上的一点，AD=1DC，E、F、G分别是AD、BD、BC的中点，设AB=a，Ac=b，试用a、b的线性组合表示6.在梯形ABCD中，AB//DC，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线与点F，已知AB=a， (■ — 1- —DC=2a，AD=b，求向量AF、AE、DE关于a、b的分解式. A