平面向量知识点归纳

平面向量知识点归纳1、向量有关概念：（1） 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），则把向量^AB按向量a=（—1,3）平移后得到的向量是 （答：（3,0））（2）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与 共线的单位向量是±_H）；IABI—k—I" —►一（3） 平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a〃b,规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0）；④三点A、B、C共线OAB.~AC共线；向量平行（共线）的充要条件:a//bOa=XbO（a•b）2=（IaIIbI）2oxy-yx=0。⑤若ABCD是平行四边形，则12 12AB=dc。如（1）若向量a=（x,1）,b=（4,x），当x=时a与b共线且方向相同（答：2）；（2）已知a=（1,1）b=（4,%）,u=a+2b,v=2a+b,且u//;,贝%=（答：4）；（3）设PA=（k,12）,PB=（4,5）,PC=（10,k），则k=时，A,B,C共线（答：一2或11）平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数人、\，使a=人e+人e。如（1）若a=（1,1）,b=（L-1）,c=（-1,2），则c= TOC\o"1-5"\h\z1 2 11 22., 1— 3T*（答：&a—2b）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A.[=（0,0）,%=（1,-2）B.\o"CurrentDocument"一一 一— 一一13 ——e1=（—1,2）,e2=（5,7）C.[=（3,5）,e2=（6,10） D.匕=（2,—3）,e2=（^,—了（答：B）；（3）已知AD,BE …- —*——*—-— ―丁、 - … 2-4—分别是AABC的边BC,AC上的中线，且AD=a,BE=b，则BC可用向量a,b表示为 （答：—a+—b）3 3（4）AABC中，点D在BC边上，且CD=2DB,CD=r~Alt+s次，则r+s的值是（答：0）\o"CurrentDocument"—k- ——I- —r ―h — —h- —I- —I- —ha•b的几何意义：数量积a•b等于a的模IaI与b在a上的投影的积。b在a上的投影为IbIcos0，它是一个实数，但不一定大于0。如已知I~aI=3,I否I=5，且3.E=12，则向量万在向量E上的投影为(答：12)a•b.—一.一..一 -5.非零向量a,b夹角6的计算公式：cos。==^；Ia•b1<1aIIbI。如(1)已知a=(X,2入),

abb=(3X,2),如果-与b的夹角为锐角，则X的取值范围是(答：X<—4或X>0且X，1)；⑵b一一1 3一一已知'OFQ的面积为S，且OF・FQ=1，若5<s<*一，则OF,fQ夹角6的取值范围是(答：(厂衣))；(3)已知a=(cosx,sinx),b=(cosj,sinj),a与b之间有关系式Ika+b\=J3|a-kb|,其中k>0，①用k表示a・b；②求a・b的最小值，并求此时a与b的夹角6的大小(答:_——k2+1 _ 1①a・b=岫(k>0):②最小值为二，6=60。)4k 26.向量的运算:(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；(2)向量的“乘法”不满足结合律，即—b—— —b——a(b•c)。(a•b)c，为什么？7.向量垂直的充要条件:a1boa・b=0oIa+bI=Ia-bI=xx+jj=0.特别汁地12 12(i——>|+|—>J1(——|—|——|)。如(1)已知OA=(-1,2),OB=(3,m)，若OA1OB，则m=(答:ABACABAC3-);(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，/B=90°，则点B的坐标是(答:乙(1,3)或(3,—1))(3)已知n=(a,b),向量n1m，且n=m，则m的坐标是(答：(b,-a)或(—b,a))向量中一些常用的结论：一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；IIaI-1bII<Ia土bI<IaI+1bI，特别地，当~a、同向或有0oIa+bI=IaI+1bI当a.b不共线>IIaI-1bii=ia-bI；当a,b反向或有0oia-bi=iai+ibi>iiai-ibii=ia+当a.b不共线oiiai—ibiivia土biviai+ibi(这些和实数比较类似).（3）在AABC中，①若A（x.y\b（x,y）,C（x ）,则其重心的坐标为1 1 2 2 3 3x+x+xy+y+y）,Gt~—,，ig」。如若/ABC的三边的中点分别为（2,1）、（-3,4）、-1,-1）,则AABC13 3 ）24的重心的坐标为（答：）；@PG=^（PA+PB+PC）=G为AA8C的重心，特别地瓦+丽+元=0o尸为AA8C的重心；网•PB=PBPC=PCPA^P^jAABC的垂心；向量从里Q）（人壬0）所在直线过AABC的内心（是/8AC的角平分线所在直线）；\AB\\AC\I序I厅+1BC\PA^\CA\PB=0^P是MBC的内心；向量瓦、应、元中三终点A、B、。共线=存在实数以、E使得PA=ocPB+pPC且oc+P=l.如①平面直角坐标系中，。为坐标原点，已知两点4（3,1）,6（-1,3）,若点C满足如二人枫+人国，1 2其中入，人£7?且X+X=1,则点C的轨迹是 （答：直线AB）②在平面直角坐标系中，。是坐标1 2 1 2原点,两定点A,B满足网=所=成.血=2,则点集饥成=人成+口血,|人|+|*1,人,口矗｝所表示的区域的面积是（答：4^3）③在正六边形A8CQE尸中，点尸在AEDC内（包括三角形边界），AP=aAB+PAF,则oc+P的取值范围是（答：W）⑦OAOB=-XOA^OB）2-（OA-OB）2A如：已知AA5C,A5=7,AC=8,BC=9,点p为平面ABC内一点，满足PAPC=-7,则商的取值范围是（答：kid）解决向量问题的常用策略：⑴向量的转化：把未知向量转化为已知向量（向量的模和夹角已知的或可求的）如：①在平行四边形ABCD中，AD=1,ZBAD=60°,E为CD的中点.若ACBE=1,则AB的长为.②线段A8长度为2,点4,8分别在尤非负半轴和y非负半轴上滑动，以线段A8为一边，在第一象限内作矩形ABCD,BC=1,。为坐标原点，则。乙。万的取值范围是 .③设P^jA2>1ABC内一点，且AP=-AB+-AC,则△ABP的面积与ZkABC的面积之比为 ④设AA5C,%

是边AB上一定点,满足亨=4AB，且对于边曷上任一点P，恒有奇•云2甲•尽.则—(2)几何法：①OA•OB=OA•OCnOA1BC；②OA②OA-xOB表示点A到直线OB上任一点的距离;(a+b)•(a一b)=°(a+b)•(a一b)=°表示以a,b为邻边的平行四边形是菱形;甘=2,a一c=1表示c的终点在a2,a一c一况亍°表示点c在线段ab的中点为圆心，IABI为直径的圆周上；OA一OC•O一OC<°表示点c在线段AB的中点为圆心，IABI为直径的圆内；:;OA一OC,OB一OC=6°。表示点c在线段AB为弦的圆弧上。如：①已知a,b是单位向量，a,b=°.若向量c满足|c—a-b|=1,则|c的取值范围是②AB1AB^,|OB|=|②AB1AB^,|OB|=|OF|=1,AP=AB+AB.若OPa—b,《满足方1 2——to③a=1,