席位公平分配

席位公平分配的“绝对+优化”摘要：为了使席位分配达到更高的公平度.本文采用了“绝对+优化”选择法.不是像以往那样直接地用Q值法或d’Hondt法进行分配.而是在分配之前又做了一次“深加工”，即将所有的组数随机的分为两组选出最优的,进行分配,再在选出的两组中每组再分成两组选出最优的再分配依次进行直到分配结束，整个过程都是在优选中完成的.充分的展示了优化组合的合理性、公平性.关键词：公平度;优化组合;绝对值;深加工;最优0引言席位分配的公平与否历来受到人们的普遍关注，特别是在政治学、管理、对策论和能源利用等领域具有广泛的应用.1974年,M.L.Balinski和H.P.Young引入了席位分配问题的公理化体系，认为合理的分配方法f应该包含五条公理:人口单调性公理、无偏性公理、席位单调性公理、公平分摊性公理和接近份额性公理B.其中席位单调性和公平分摊性由于在美国众议院引起诸多悖论而广受关注.我们知道,不存在绝对公平的分配方案，于是，人们便致力于研究席位分配的相对公平问题,寻找不同公平原则下的分配方法,如比例+惯例法、Q值法、x2拟合法、0-1规划法、最大熵法、最小极差法、最大概率法等'29L究竟如何分配才算是最为公平的呢?本文为此提出了一种新方法一一“绝对+优化”.1席位公平分配问题的数学模型1.1席位分配问题的描述假设m方，第i方的人数为ni(i=1,2,3…,m),共有n=Zm=1ni人从中选出k个代表，第i方的席位为w.(i=1,2,3…,m),如何寻找一组非负整数^，^，…巧，使k=Zmw,并尽可能公平.I 1 2 m i=1i理想的公平分配方案是按人数比例分配，即第i方应分配w,・=(nj/n)k个席位，但在实际中此数往往不是整数，这是如果按四舍五入或上下取整的方法可能导致分配更不公平.1.2绝对+优化记t=[m/2],将m按t:m-t随机的组合为1组,2组,共有w=cm种情况，当m=2时,直接按Q值法进行分配，I当m>2时,直接按Q值法不满足平均分配的公理一,记^=I(n1a-[kn1a/n][n/k]-(n2-[kn2/n][n/k]I(n1^,n2a为第a次组合时1组,2组的总人数,a=1,2,„w).当△=0时为最优组合，当△>0时，从所有组合中选取最大的为最优组合，然后按Q值法进行分配，再在选出的两组中再组合、分配，直到结束.1.3理论证明(a):当^=0时，显然知两组的相对不公平度为零.(b):当△*时，则有[knia/n]+[kn2a/n]=k-1,即余下一位未分配，令x1=n1•-[knii/n][n/k],x2=n2l[kn2l/n][n/k],不妨设x1<x2，则x2/(x1+x2)所占的比例越大，对1组来说失去这一席位的不公平度越小，如1组2组的比例分别为(0.1,0.9),(0.4,0.6)显然按第一种情况分配更公平.2实例分析例1:某学校共1000名学生,235人住在A单元,333人住在B单元，432人住在C单元，学生们要组织一个15人的委员会，请给出具体的分配方案?当增加为20时的分配结果？

2.1模型求解有题知种情况分别是:[*蛆)-(％-[牛kD差的绝对值为:知法^也为最优组合.按组合比例法对其分配如下:, 总的分配结果:直接按Q值法求得的结果为:Hondt法分配结果:2.1模型求解有题知种情况分别是:[*蛆)-(％-[牛kD差的绝对值为:知法^也为最优组合.按组合比例法对其分配如下:, 总的分配结果:直接按Q值法求得的结果为:Hondt法分配结果:14、当为20名委员时：R—JI』」奴-［一瑚削为I20'知*%为最优组合.分配结果:Q值法分配结果:d’Hondt法分配结果:分配结果:Q值法分配结果:d’Hondt法分配结果:表1 三种方法的分配结果比较席位数1520方案ABCABC人数235333432235333432Q值法456578d’Hondt357479优化法456578表2WfA15s20ABCsBCQ值法58.566.67213.54747.57547d’Hondt78.3366.661.7116.6258.7547.574811.18优化法58.566.67213.54747.57547

$表示其值越大表示分配时越不公平，显然可以看出优化法还是比较公平的,虽然和Q值法较接近,但当数据和组数较多时优化法显然要优于Q法.经过下面的较量，优化法的优越性,公平性，合理性能的到更好的展示.$表示3模型的优越性较量此过程将证明为什么先组合再分配是最优的，若所有的 都等于z时则最公平，但这种结果是在极少的情况下才会出现的，那么对于一般的情况而言，只有"「充分接近Z时分配才是最公平的，即*T越小越公平.那么也就是说将”「 连续化做成图形其波动越小越公平.例2当n=1500,i=16,k=50时，各单位人数如表3所示.表3:单元ABCDEFGHni801163279100982458单元IJKLMN0P20818628871556956124有表3中的数据可得表4,表5,表6,表7,图1.表4:单元ABCDEFGH80116327910098245834133312wf26.66729.00032.00026.33333.33332.66724.00029.000单元IJKLMN0P20818628871556956124

76135224*r29.71431.00028.00029.00031.00034.50028.00031.000表5随机进行两两组合分为八组所得数据:17660125244178179211324624866711NI*f29.33330.00031.25030.50029.66729.83330.14329.455表6随机的分为四组所得数据:2394493624508151215NI*f29.87529.93330.16730.000表7随机地分为两组所得数据:6898112327£*f29.97530.037图1:从图中可以清晰地看出分的组数越少曲线越平缓.当分两组时曲线近似接近直线，也即是说两者之间的不公平性非常的小，席位分配的也就越合理,越公平.从而证明了优化组合分配的优越性，公平性.8组、4组、28组、4组、25结束语本模型打破了原有的老路，利用了优化组合的思想，使每一次分配都达到了最优,最公平.若将其应用到能源的分配、资金投资、人员安排上将会达到物尽其用，人尽其才的效果.参考文献吴建国.数学建模案例精编.北京：中国水利水电出版社,2005.林健良.席位公平分配的最小极差法的改良.华南理工大学学报：自然科学版，2002,30(3):22