计算机应用数学-高职计算机大类专业基础全书电子教案1-10章全

《计算机应用数学》教案授课对象系别课时安排2年级班次章节题目第1章1.1函数概念及其性质教学目标明确课程学习目的及学习要求提高学习积极性；掌握基本初等函数.教学重点函数的概念及其性质，函数的定义域.教学难点分段函数教学方法讲授法教学用具黑板、粉笔、多媒体新课导入高等数学在专业课程学习中的重要性.重点与难点讲解方法形象引入、数形结合、举例讲解.教学小结知识小结1、理解函数的概念和性质；2、会求函数的定义域.教后札记改进措施课后作业习题1.11.（1）（2）2.（1）（2）3.（2）（4）教学过程：一、知识回顾回顾中学数学的基本初等函数的基本知识.二、新课导入本章将在中学数学已有函数知识的基础上进一步理解函数概念，并介绍反函数、复合函数及初等函数的主要性质，这些内容是学习本课程必须掌握好的基本知识.三、新课内容1、基本知识1）常量与变量一种是在观察过程中保持不变的量，这种量称为常量，通常用字母来表示；另一种在观察过程中会起变化的量，这种量称为变量，通常用字母来表示.2）区间设两个实数且，则满足的实数的全体称为闭区间，记作：；满足的实数的全体称为开区间，记作：；满足或的实数的全体称为半开半闭区间，分别记作：或.上面这些区间称为有限区间，除了有限区间之外，还有无限区间.表示全体不大于的实数，表示全体小于的实数，表示全体不小于的实数，表示全体大于的实数，表示全体实数.3）邻域邻域是在微积分中经常用到的一个概念.在数轴上，以点为中心的任何开区间称为点的邻域，记作：.设为任意一个正数（），则开区间就是点的一个邻域，这个邻域称为点的邻域，记作：，即，其中点称为邻域的中心，称为邻域的半径.2、函数概念1）定义1.1设有两个变量和，若当变量在非空实数集内，任意取定一个数值时，变量按照一定法则，总有唯一确定的数值和它对应，则称是的函数，记作：或者，其中的变化范围称为这个函数的定义域，叫做自变量，叫做因变量.2）函数的定义域与值域的求解方法.3）相同函数.通过对函数定义的分析不难发现，确定一个函数，起作用的两要素是：定义域和对应法则.若两个函数的定义域相同且对应法则也相同，则这两个函数就相同，否则就不同.3、分段函数有的函数要用几个式子来表示.这种在其定义域的不同范围内，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数.注意：（1）分段函数是用几个式子合起来表示一个函数，而不是几个函数；（2）由于分段函数是分段表示的，因此各个式子的定义域必须明确标出；（3）对于分段函数求值时，不同点的函数值应代入相应范围的式子中去求；（4）分段函数的定义域是各项定义域的并集.【例题精讲】例1函数的定义域为，值域是，其图形是一条直线，如图所示：图1.3图1.4例2函数称为绝对值函数，它的定义域为，值域是，它的图形如图1.4所示.例3下列各组函数是否相同？为什么？（1）（2）解：（1）不相同.因为，而，两个函数对应法则不同，所以与不相同.（2）不相同，因为，，两个函数的定义域不同，所以与不相同.【课堂练习】例1函数称为符号函数，请指出它的定义域和值域.解：它的定义域为，值域是.例2求下列函数的定义域.（1）（2）解：（1）要使有意义，必须，解得，所以该函数的定义域为.（2）要使有意义，必须，解得，所以该函数的定义域为.【问题思考】设的定义区间为，求下列各函数的定义域.（1）（2）（3）（4）【知识小结】1、理解函数的概念和性质；2、会求函数的定义域.【课后作业】习题1.11.（1）（2）2.（1）（2）3.（2）（4）四、板书设计课题一、二、三、课堂练习例1例2重点：难点：《计算机应用数学》教案授课对象系别课时安排2年级班次章节题目第1章1.1函数的概念及其性质教学目标了解函数特性；会求反函数与复合函数.教学重点反函数,复合函数.教学难点复合函数教学方法讲授法教学用具黑板、粉笔、多媒体新课导入基本初等函数的图像重点与难点讲解方法数形结合教学小结知识小结1、会利用函数的性质解题；2、会求反函数及复合函数.教后札记改进措施课后作业习题1.15.（1）（2）教学过程：一、知识回顾回顾函数的概念.二、新课导入中学阶段所学的基本初等函数的性质和图像.三、新课内容1、函数的简单性质1）函数的有界性设函数在上有定义，若存在正数，使对于任何，都有，则称函数在上有界；否则，称为无界.若一个函数在它的整个定义域内有界，则称该函数为有界函数.有界函数的图形必位于两条直线与之间.2）函数的单调性设函数在上有定义，任取两点，当时，有，则称函数在上是单调增加的；当时，有，则称函数在上是单调减少的.单调增加或单调减少的函数，它们的图形分别是沿轴正向逐渐上升或下降，分别如图1.5（a）和（b）所示.SHAPE（a）（b）图1.5单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.若函数在其定义域内的某个区间内是单调的，则称这个区间为函数的单调区间.3）函数的奇偶性设函数的定义域关于原点对称.若任取，都有，则称是上的偶函数.若任取，都有，则称是上的奇函数.从几何图形上看，偶函数的图像关于轴对称，奇函数的图像关于原点对称.4）函数的周期性设函数的定义域为，若存在正数,使于任何，有,且，则称函数是为周期函数，称为的周期.通常我们说的周期函数的周期是指其最小正周期.2、反函数和复合函数1）反函数定义1.2设给定是的函数，若把当作自变量，当作函数，则由关系式所确定的函数称为函数的反函数，记作：，也常记作：，.由定义可知，与互为反函数.我们习惯上，用表示自变量，表示因变量，所以反函数常习惯地表示成的形式.注：（1）函数与其反函数是表示同一个函数.（2）求反函数的方法：给出一个函数，要求其反函数，只要把用表示出来，再交换与的位置即可.2）复合函数定义1.3设是的函数，而又是的函数，且当在的定义域（或该定义域的一部分）内取值时，对应的值使有定义，则称是的一个定义于的复合函数，记作：，称为外层函数，为内层函数，为中间变量，为自变量，为因变量.注：（1）函数与函数构成的复合函数通常记为，即.（2）不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的.只有当函数的定义域与函数的值域有公共部分时，两个函数与才能复合成函数；否则，这两个函数就不能复合.（3）有时我们会遇到两个以上的函数构成的复合函数.1.1.4函数的四则运算设函数的定义域分别为，，则我们可以定义这两个函数具有下列运算：和（差）:.积:.商：，.3、基本初等函数1)常数函数（为常数）.2)幂函数（为常数）.3)指数函数（且）.4)对数函数（且）.5)三角函数.6)反三角函数.这六种函数统称为基本初等函数，已在中学数学中学过，它们的定义域、值域、图形、性质等参见附录2.4、初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算所构成的，且可用一个解析式表示的函数称为初等函数.否则，称为非初等函数.今后我们讨论的函数，绝大多数都是初等函数.【例题精讲】例1正弦函数是有界函数，因为它在定义域内，总有.例2是偶函数，因为其定义域为，且；是奇函数，因为其定义域为，且.例3求的反函数.解：由解得，交换与，得，即为所求反函数.可以证明，函数的图形与的图形关于直线对称.例4设，，试写出，的表达式.解：，.【课堂练习】例1在上单调减少，为单调减少区间；在上单调增加，为单调增加区间，但该函数在上不是单调函数.例2函数可以看成由哪些函数复合而成？解：原函数可以看成下列三个函数的复合：，，，其中与为中间变量.【问题思考】设函数的定义域为，求函数的定义域.【知识小结】1、会利用函数的性质解题；2、反函数及复合函数.【课后作业】习题1.15.（1）（2）四、板书设计课题一、二、三、课堂练习例1例2重点：难点：《计算机应用数学》教案授课对象系别课时安排2年级班次章节题目第1章1.2函数的极限教学目标理解数列的极限，理解函数的极限，会求左右极限.教学重点极限存在的充要条件教学难点函数极限的概念教学方法讲授法教学用具黑板、粉笔、多媒体新课导入极限概念是自始至终贯穿于微积分的重要概念，它是研究微积分的重要工具，如微积分中的导数、定积分等概念都是通过极限来定义的，因此，掌握极限的思想与方法是学好微积分的前提条件.重点与难点讲解方法（1）；（2）；（3）都是数列，它们的通项分别为，，.对于数列，我们主要关注的是，当它的项数无限增大时，它的变化趋势.教学小结知识小结1、会求左右极限；2、极限存在的充要条件.教后札记改进措施课后作业习题1.21.2.教学过程：一、知识回顾数列的概念二、新课导入极限概念是自始至终贯穿于微积分的重要概念，它是研究微积分的重要工具，如微积分中的导数、定积分等概念都是通过极限来定义的，因此，掌握极限的思想与方法是学好微积分的前提条件.三、新课内容1、数列的极限1）数列的概念定义1.4定义在正整数集上的函数，其函数值按自变量增大的次序排成一列数称为数列，记作：.其中称为数列的首项，称为数列的一般项或通项.2）数列的极限定义1.5设有数列和常数.若当无限增大时，无限趋近于，则称是数列的极限（或称数列收敛于），记作：或，否则，则称数列的极限不存在，或者说数列是发散的.数列极限的几何解释：将常数和数列的各项在数轴上用对应的点表示，若数列收敛于，则表示随着项数越来越大，在数轴上表示的点从点的一侧（或两侧）就越来越接近，如图1.6所示.图1.6SHAPE若数列收敛，则该数列有如下性质：性质1（唯一性）若数列收敛，则该数列的极限唯一.性质2（有界性）若数列收敛，则该数列一定有界.定理1.1（单调有界原理）单调有界数列必有极限.推论无界数列一定发散.注：有界数列不一定收敛，发散数列不一定无界.2、函数的极限对于给定的函数，因变量随着自变量的变化而变化.若当自变量无限接近于某个目标（数或无穷大）时，因变量无限接近于一个确定的常数A，则称函数以A为极限.下面我们根据自变量无限接近于不同的目标，分别介绍函数的极限.1）当时，函数的极限定义1.6设函数对于绝对值无论多大的是有定义的，若当无限增大（即）时，函数无限趋近于一个确定的常数，则称常数为函数当时的极限，记作：或.有时需要区分趋于无穷大的符号，我们将取正值无限增大，记作：；将取负值其绝对值无限增大，记作：.类似地，若当（或）时，函数无限趋近于一个确定的常数，则称常数为函数当（或）时的极限，记作：（或）.定理1.2的充分必要条件是且.2）当时，函数的极限定义1.7设函数在点的某邻域内有定义（可以除外），若当无限趋近于（）时，函数无限趋近于一个确定的常数，则称常数为函数当时的极限，记作：或.注：（1）极限研究的是当时，的变化趋势，与在处有无定义无关.（2）是指从的左右两侧趋近于.定义1.8若当从的左侧无限趋近于（即）时，函数无限趋近于一个确定的常数，则称常数为函数当从左侧无限趋近于（即）时的左极限，记作：或.类似地，若当从的左侧无限趋近于（即）时，函数无限趋近于一个确定的常数，则称常数为函数当从左侧无限趋近于（即）时的左极限，记作：或.左极限和右极限通称为单侧极限.定理1.3的充分必要条件是且.【例题精讲】例1将下列数列在数轴上表示出来，并讨论其收敛性.（1）（2）（3）解：将数列（1）（2）（3）在数轴上分别表示出来，如图所示：从数轴上可以看出，数列（1）（3）的极限不存在，它们是发散数列；数列（2）的极限是常数1，记作：.例2函数的图形如图所示，试判断其极限情况.解：从图可以看出，，，所以，即当时，以0为极限.例3当与时，的变化趋势，并判断当时，的极限是否存在？解：由图可得，，，由定义1.6可知，当时，无法与一个确定的常数接近，所以当时，的极限不存在.例4设函数，画出该函数的图形，并判断是否存在？解：如图1.12所示，，，由定理1.3可知，不存在.【课堂练习】例1设函数，判断是否存在？解：，，由定理1.3可知，例2设函数，讨论和是否存在？解：因为，，所以；又，，所以不存在.【问题思考】思考①，②③在时的极限值以及函数值的情况。【知识小结】1、会求左右极限；2、极限存在的充要条件.【课后作业】习题1.21.2.四、板书设计课题一、二、三、课堂练习例1例2重点：难点：《计算机应用数学》教案授课对象系别课时安排2年级班次章节题目第1章1.2函数的极限教学目标理解函数极限的性质，无穷小量与无穷大量.教学重点理解和判断无穷小量与无穷大量教学难点无穷小量的比较教学方法讲授法教学用具黑板、粉笔、多媒体新课导入求极限；；，我们发现共同点即极限值为0.重点与难点讲解方法数形结合教学小结知识小结1、函数极限的性质；2、无穷小量与无穷大量的概念.教后札记改进措施课后作业习题1.23.（1）（2）（3）（4）（5）（6）教学过程：一、知识回顾函数极限的概念二、新课导入求极限；；，我们发现共同点即极限值为0.三、新课内容1、函数极限的性质性质1（唯一性）若存在，则该函数的极限唯一.性质2（有界性）若存在，则存在点的某个去心领域，在该去心邻域内函数有界.性质3（保号性）若且（或），则存在点的某去心邻域，在该去心邻域内（或）.推论若在点的某去心邻域内，（或），且，则（或）.性质4（夹逼准则）若在点的某去心邻域内，有，，则.2、无穷小量与无穷大量1）无穷小量定义1.9在自变量的某一变化过程中（当或时），极限为零的函数称为无穷小量（简称无穷小），即若，则称当（或）时，是无穷小量.注：（1）无穷小量（除0以外）是极限为0的变量，而不是很小的数.（2）常量0是无穷小量，而无穷小量不是0.（3）无穷小量是相对于自变量的变化过程而言的.性质1有限个无穷小量的代数和是无穷小量.性质2有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量.推论常数与无穷小量的乘积是无穷小量.性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量.定理1.4的充分必要条件是，其中是无穷小量（时）.2）无穷大量定义1.10在自变量的某一变化过程中（当或时），绝对值无限增大的函数称为为无穷大量（简称无穷大），即若，则称当（或）时，是无穷大量.当或时为无穷大的函数，按照函数极限的定义来说，它的极限是不存在的，但是为了方便叙述函数这一性质时，我们也可以说“函数的极限是无穷大”，并记作：（或）.注：（1）无穷大量是一种特殊的无界变量，而不是很大的数；（2）无穷大量的代数和未必是无穷大量；（3）无界变量未必是无穷大量；（4）无穷大量是相对于自变量的变化过程而言的.3）无穷小量与无穷大量的关系定理1.5在自变量的同一变化过程中，若是无穷大量，则是无穷小量；若是非零无穷小量，则是无穷大量.4）无穷小量的比较例如，当时，都是无穷小量，而，两个无穷小量之比的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小量趋于零的“快慢”程度.定义1.11设、是在自变量的同一变化过程中的两个无穷小量，（1）若，则称是比高阶的无穷小量，记作：；（2）若，则称是比低阶的无穷小量；（3）若（为非零常数），则称与是同阶无穷小量；（4），那么称与是等价无穷小量，记作：.【例题精讲】例1求极限.解：因为，又，，所以由夹逼准则，得.例2设函数和，且它们的图形分别如图1.13和1.14所示，求和.解：从图中可以看出：，.图1.13图1.14例3求（1）；（2）.解：（1）因为，所以；（2）因为，所以.【课堂练习】例1指出下列函数哪些是无穷小量？哪些是无穷大量？（1）（）（2）()（3）()（4）()解：因为，，，，所以（1）和（2）是无穷大量，（3）和（4）是无穷小量.【问题思考】当时，都是无穷小量，而是为什么？【知识小结】1、函数极限的性质；2、无穷小量与无穷大量的概念.【课后作业】习题1.23.（1）（2）（3）（4）（5）（6）四、板书设计课题一、二、三、课堂练习例1例2重点：难点：《计算机应用数学》教案授课对象系别课时安排2年级班次章节题目第1章1.2函数的极限教学目标掌握用极限的运算法则求极限，会利用等价无穷小求极限.教学重点极限的运算法则教学难点利用等价无穷小求极限教学方法讲授法教学用具黑板、粉笔、多媒体新课导入初等函数的多样性决定了极限计算的灵活性.重点与难点讲解方法举例详讲教学小结知识小结1、掌握用极限的运算法则求极限；2、会利用等价无穷小求极限.教后札记改进措施课后作业习题1.24.（1）（3）（5）（7）6.（1）（2）教学过程：一、知识回顾无穷大量与无穷小量二、新课导入初等函数的多样性决定了极限计算的灵活性.三、新课内容1、极限的运算1）极限的运算法则设极限和都存在，则（1）函数和的极限等于极限的和：；（2）函数差的极限等于极限的差：；（3）函数积的极限等于极限的积；；（4）常数倍函数的极限等于函数极限的常数倍：（为常数）；（5）函数商的极限等于极限的商，但要求分母函数的极限不为零：（）；（6）函数乘方的极限等于函数极限的乘方：（其中为正整数）；（7）函数开方的极限等于函数极限的开方：（其中为正整数，当为偶数时，）.注：（1）极限的运算法则中的（1）（2）（3）可推广到有限个函数的情形；（2）利用该运算法则时要求各函数的极限都要存在.2）利用极限的运算法则求极限下面介绍几个基本极限公式：（1）（为常数）；（2）；（3）（由乘方性质可得到，其中为正整数）；（4）（其中为正整数，且当为偶数时，假设）.定理1.7对于多项式函数和有理函数（多项式函数之商），当时，将带入函数式得到的函数值等于函数的极限值，即（其中为多项式函数）；（其中都是多项式函数，并且）.综上所述，我们可以得到这样的结论：当为非负整数，为非零常数时，则有上面的结论在求极限时可直接运用.3、利用等价无穷小因子替换求极限.由定义，那么称与是等阶无穷小量，记作：.关于等价无穷小量，我们有下面等价代换法则.定理1.6若，且存在，则.证明：可以证明，当时，常见的等价无穷小量有：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）利用等价代换法则可以简化极限的计算.【例题精讲】例1求极限.解：.例2求极限.解：.例3求极限.分析：令，因为在处有定义，所以可用直接代入法求出极限.解：.例4求极限.分析：令，因为在处无定义，所以不能用直接代入法求极限，但是可用无穷大和无穷小的关系求出极限.解：，由无穷大与无穷小的关系可知，当时，是无穷大，即.例5求极限.分析：令，因为在处无定义，所以不能用直接代入法求极限，但是我们考虑的是无限趋近于1时的极限，当趋近于1时满足，因此此题可用化简法求出极限.解：.例6求极限.分析：当时，函数的分子分母的极限都为零，所以不能用直接代入法求极限，但是我们可先将分母有理化后再求极限.解：.例8求下列各极限.（1）（2）（3）解：（1）.（2）.（3）因为，所以由无穷大与无穷小的关系，可知.例9.例10.例11.【课堂练习】例1求极限.解：.例2求极限.解：因为当时，是无穷小量，是有界变量，所以.例3求极限.解：因为当时，是无穷小量，是有界变量，所以.例4求.解：.【问题思考】求极限.分析：此例不能直接运用极限运算法则，但只要利用等比数列求和公式求出函数之和后，就能求出极限.【知识小结】1、掌握用极限的运算法则求极限；2、会利用等价无穷小求极限.【课后作业】习题1.24.（1）（3）（5）（7）6.（1）（2）四、板书设计课题一、二、三、课堂练习例1例2重点：难点：《计算机应用数学》教案授课对象系别课时安排2年级班次章节题目第1章1.2函数的极限教学目标利用两个重要极限公式求极限教学重点两个重要极限公式教学难点两个重要极限公式教学方法讲授法教学用具黑板、粉笔、多媒体新课导入等价无穷小的概念.重点与难点讲解方法讲练结合教学小结知识小结1、；2、.教后札记改进措施课后作业习题1.25.（1）（3）（5）教学过程：一、知识回顾极限的运算二、新课导入等价无穷小的概念三、新课内容1、利用两个重要极限公式求极限（1）（2）（其中是无理数，）对于以上两个极限公式，只要求大家会利用这两个极限公式求一些极限.注：在利用重要极限求极限时，关键在于把要求的极限化成重要极限的标准型或它们的变形，这就要抓住重要极限的特征.对于，它表示无穷小量的正弦和它自己的比；对于，它形如，其中无穷小量与无穷大量必须是互为倒数的形式.两个公式还有相关的另外两种形式：（1），（2）.【例题精讲】例1求极限.解：.例2求极限.解：.例3求极限.解：.例4求极限.解：.【课堂练习】例1求极限.解：.例2求极限.解：.【问题思考】已知为常数，且，求的值.【知识小结】1、2、【课后作业】习题1.25.（1）（3）（5）四、板书设计课题一、二、三、课堂练习例1例2重点：难点：《计算机应用数学》教案授课对象系别课时安排2年级班次章节题目第1章1.3函数的连续性教学目标理解连续的概念，会判断间断点的类型.教学重点连续的概念教学难点间断点的类型教学方法讲授法教学用具黑板、粉笔、多媒体新课导入在许多实际问题中，变量的变化都是连续的，连续性是自然界中各种物态连续变化的数学体现，如水的连续流动、身高的连续增长、气温的变化等，这些不间断的现象反映在函数中，就是函数的连续性.重点与难点讲解方法讲练结合教学小结知识小结连续的概念；间断点的类型.教后札记改进措施课后作业习题1.31.2.（1）（2）教学过程：一、知识回顾两个重要的极限公式（1）（2）（其中是无理数，）.二、新课导入在许多实际问题中，变量的变化都是连续的，连续性是自然界中各种物态连续变化的数学体现，如水的连续流动、身高的连续增长、气温的变化等，这些不间断的现象反映在函数中，就是函数的连续性.三、新课内容1、函数连续的定义定义1.13设函数在点的某邻域内有定义，若，则称函数在点处连续.定义1.14设函数在点的某左半邻域（或右半邻域）内有定义（含在内），若，则称函数在点处左连续；若，则称函数在点处右连续.由函数在一点处连续的定义和极限存在的充要条件，有下面的定理：定理1.8函数在点处连续的充分必要条件是函数在点处既左连续又右连续，即.若函数在开区间内的每一点都连续，，则称在开区间内连续.若函数在开区间内连续，且在点处右连续，在点处左连续，则称在闭区间上连续.2、函数的间断点根据函数在点处连续的定义可知，若函数在点处连续，则必须同时满足下面三个条件：1）函数在点处有定义；2）极限存在；3）极限等于.当三个条件中有任何一个不成立时，我们就说函数在点处就不连续，此时点称为函数的间断点或不连续点.设函数在点处间断，我们通常根据在点处的左极限和右极限将间断点分为两大类:1）若和都存在，则称点为的第一类间断点，它包括可去间断点和跳跃间断点.（1）可去间断点：和存在且相等（即存在），但不等于或在点处无定义；注：不论在点处有无定义，但是只要补充定义，就可使在点处连续，“可去”的意义就在于此.（2）跳跃间断点：在点处左右极限存在，但不相等.2）若和至少有一个不存在，称点为的第二类间断点，它包括无穷间断点和振荡间断点.（1）无穷间断点：在点处无定义，且和至少有一个是无穷大；（2）振荡间断点：在点处无定义，且当时，的值在两个常数间变动无限多次.【例题精讲】例1讨论函数在点处的连续性.解：因为，，，即，所以函数在处连续.例2讨论函数在处的连续性.解：因为，但，即，所以点是的可去间断点.若改变在处的定义，令，即，也就是，则此时点就是的连续点.例3讨论函数在点处的连续性.解：因为，，所以点是的跳跃间断点.例4讨论函数在处的连续性.解：因为在处无定义，且，，所以点是的无穷间断点.例5讨论函数在处的连续性.解：因为在处无定义，且当时，的值在和之间变动无限多次，所以点是的振荡间断点.例6讨论函数在处的连续性.解：因为在处无定义，且，，所以点是的无穷间断点.例7讨论函数在处的连续性.解：因为在处无定义，且当时，的值在和之间变动无限多次，所以点是的振荡间断点.【课堂练习】例1讨论函数在处的连续性.解：因为，但在处无定义，所以是的可去间断点.若补充在处的定义，令,即，则此时点就是的连续点.例2讨论函数在点处的连续性.解：因为，，所以点是的跳跃间断点.【问题思考】设函数，问常数为何值时，函数在内连续.【知识小结】1、连续的概念；2、间断点的类型.【课后作业】习题1.31.2.（1）（2）四、板书设计课题一、二、三、课堂练习例1例2重点：难点：《计算机应用数学》教案授课对象系别课时安排2年级班次章节题目第1章1.3函数的连续性教学目标理解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质.教学重点闭区间上连续函数的性质教学难点闭区间上连续函数的性质教学方法讲授法教学用具黑板、粉笔、多媒体新课导入基本初等函数在它们的定义域内都是连续函数；一切初等函数在其定义区间（即包含在定义域内的区间）内都是连续的.重点与难点讲解方法数形结合教学小结知识小结1、初等函数的连续性；2、闭区间上连续函数的性质.教后札记改进措施课后作业习题1.32.3.4.6.教学过程：一、知识回顾1、连续性的概念;2、间断点的类型.二、新课导入基本初等函数在它们的定义域内都是连续函数；一切初等函数在其定义区间（即包含在定义域内的区间）内都是连续的.三、新课内容1、初等函数的连续性基本初等函数在它们的定义域内都是连续函数；一切初等函数在其定义区间（即包含在定义域内的区间）内都是连续的.因此，求初等函数的连续区间，就是求其定义区间.根据初等函数连续性的结论，提供了一个求初等函数极限的简捷方法，即若是初等函数，且是定义区间内的点，则.关于分段函数的连续性，除按上述结论考虑每一段函数的连续性外，还必须讨论分段点处的连续性.2、闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质的证明涉及到的知识面很广，在此，我们只给出结论而不予以证明.定理1.12（最大值和最小值定理）若函数在闭区间上连续，则函数在闭区间上必有最大值和最小值.图1.16例如，如图1.16所示，函数在处取得最小值，在处取得最大值.注：（1）若函数只在开区间上连续，则定理1.12的结论就不一定成立.例如，函数在连续，但它在既无最大值也无最小值.（2）若函数在闭区间上有间断点（即不连续），则定理1.12的结论也不一定成立.由定理可以得到下面的推论：推论若函数在闭区间上连续，则函数在闭区间上有界.定理1.13（介值定理）设函数在闭区间上连续，且，则对于与之间的任何数，至少存在一点，使得.即闭区间上的连续函数，当从变化到时，要经过与之间的一切数值.推论1在闭区间上的连续函数必能取得介于最大值和最小值之间的任何值.推论2（零点存在定理）设函数在闭区间上连续，且,则至少存在一点，使得.证明：由可知，与异号，零是介于与之间的一个数，由介值定理可知，在内至少有一点，使得.推论2中的显然就是方程的一个根，这在解方程时可以帮助我们确定方程根的大体位置或判定方程在某一范围内是否有解.【例题精讲】例1如图所示，函数在闭区间上既无最大值也无最小值.例2证明:方程至少有一个实根介于1和2之间.证明：令，则在上连续.又,，即，由零点存在定理可知，至少有一个实根，使，即，所以方程至少有一个实根介于1和2之间.【课堂练习】例1试证：方程至少有一个实根介于1和2之间.证明：令，则在上连续.又,，即，由零点存在定理可知，至少有一个实根，使，即，所以方程至少有一个实根介于1和2之间.【问题思考】请问初等函数仅在其定义区间内连续，但在其定义域内一定连续吗？【知识小结】1、初等函数的连续性；2、闭区间上连续函数的性质.【课后作业】习题1.32.3.4.6.四、板书设计课题一、二、三、课堂练习例1例2重点：难点：《计算机应用数学》教案授课对象系别课时安排2年级班次章节题目第2章2.1导数的概念教学目标理解导数的概念，会用导数的概念求导函数.教学重点导数的概念教学难点导数的概念教学方法讲授法教学用具黑板、粉笔、多媒体新课导入微分学是高等数学的重要组成部分，它的基本概念是导数和微分，而导数和微分的概念是建立在极限概念的基础上的，其基本任务是解决函数的变化率问题及函数的增量问题.重点与难点讲解方法讲练结合教学小结知识小结1、导数的概念；2、会用导数的定义求导函数.教后札记改进措施课后作业习题2.11.（1）2.教学过程：一、知识回顾极限知识二、新课导入微分学是高等数学的重要组成部分，它的基本概念是导数和微分，而导数和微分的概念是建立在极限概念的基础上的，其基本任务是解决函数的变化率问题及函数的增量问题.三、新课内容1、导数的引入——切线问题图2.1设曲线是函数的图形，如图2.1所示，求在给定点处的切线的斜率.过点及点引割线，则的斜率为当沿着曲线C趋向于时，割线的极限位置是直线，这正是曲线在点处的切线.因此，切线的斜率为.通过上面的考察看到，函数增量与自变量增量之比表示函数的平均变化率，若当自变量增量趋于零，增量之比的极限存在，则这个极限就是函数曲线过定点的切线斜率.当函数是路程函数时，这个极限就是瞬时速度.下面我们把“增量之比的极限”抽象出来作为导数的定义.2、导数的概念：函数在点处的导数定义2.1设函数在点的某邻域内有定义，当自变量在处有增量（）时，相应的函数值有增量，若当时，的极限存在，即（2.1）存在，则称此极限值为函数在处的导数，并称函数在处可导，记作：或或或，即.若不存在，则称函数在点处不可导；若（导数不存在），为方便起见，也称函数在点处的导数为无穷大.称为在区间上的平均变化率，导数也称为在处的瞬时变化率（简称变化率）.由定义2.1可知，前面两个引例中瞬时速度，切线斜率.3、导函数的概念：函数在区间内的导数定义2.2若函数在区间内每一点都可导，则称函数在区间内可导.这时函数对于区间内每一个确定的值，都有一个确定的导数值与之对应，这样就构成了一个新的函数，这个函数称为函数的导函数，记作：或或或，即.显然，函数在处的导数就是导函数在点处的函数值，即，在不致混淆的情况下，导函数可简称为导数.4、根据导数的定义求函数在点处的导数有以下三个步骤：第一步：求增量（函数改变量）.第二步：求比值（平均变化率）.第三步：求极限（瞬时变化率）.导数反应的是函数在点处的变化率.若在式（2.1）中令，则；当时，有，于是导数定义中式（2.1）可写成：（2.2）注：函数在点处的导数的两种表示方法（2.1）和（2.2）是等价的，后面我们会经常用到.【例题精讲】例1设函数，求和.解：由导数的定义，得，所以.【课堂练习】例1求曲线在点处的导数.解：因为，所以.【问题思考】导数存在的充分必要条件？【知识小结】1、导数的定义,；2、根据导数的定义求导。【课后作业】四、板书设计课题一、二、三、课堂练习例1例2重点：难点：《计算机应用数学》教案授课对象系别课时安排2年级班次章节题目第2章2.1导数的概念教学目标理解单侧导数的概念，理解导数的几何意义，理解可导与连续的关系.教学重点可导与连续的关系教学难点可导与连续的关系教学方法讲授法教学用具黑板、粉笔、多媒体新课导入单侧极限重点与难点讲解方法讲练结合教学小结知识小结1、单侧导数和导数的几何意义；2、可导与连续的关系.教后札记改进措施课后作业习题2.14.5.8.教学过程：一、知识回顾1、导数的定义,；2、根据导数的定义求导。二、新课导入单侧极限三、新课内容1、单侧导数定义2.3若存在，则称此极限值为在点处的左导数，记作：；若存在，则称此极限值为在点处的右导数，记作：.左导数和右导数统称为在点处的单侧导数.在中，若令，则；当时，有，于是；同理，可得.由函数在一点处导数的定义和极限存在的充要条件可知，函数在点处可导的充分必要条件是左导数与右导数都存在且相等，即（其中为有限数）.若函数在开区间内可导，且和都存在，则在闭区间上可导.2、导数的几何意义由前面的讨论可知，函数在点处的导数就是曲线在点(其中)处的切线的斜率，即，其中是该点处切线与轴的夹角.根据导数的几何意义并运用直线的点斜式方程可知，曲线在点处的切线方程为.过点且与该点处的切线垂直的直线，称为曲线在点处的法线.若，则曲线在点处的法线的斜率的为，且法线方程为.若，则曲线在点处的切线平行于轴，切线方程为，法线方程为；若，则曲线在点处的切线垂直于轴，切线方程为，法线方程为.3、函数的可导性与连续性的关系定理2.1若函数在点处可导，则在点处连续.注：此定理的逆命题不一定成立，即可导一定连续，连续不一定可导.【例题精讲】例1求曲线在点处的切线方程和法线方程.解：因为，所以.由导数的几何意义可知，曲线在点处的切线斜率为，所以所求的切线方程为，即，法线方程为，即.例2证明：函数在处连续但不可导.证明：因为函数在内连续，显然该函数在处连续.又，所以函数在处不可导.【课堂练习】例1讨论函数在处的连续性和可导性.解：因为，，即.又，于是，所以由连续的定义可知，函数在处连续.又在处的左右导数分别为：，，即，所以在点处不可导.【问题思考】可导与连续的关系？【知识小结】1、单侧导数和导数的几何意义；2、可导与连续的关系.【课后作业】习题2.14.5.8.四、板书设计课题一、二、三、课堂练习例1例2重点：难点：《计算机应用数学》教案授课对象系别课时安排2年级班次章节题目第2章2.2导数的基本公式与运算法则教学目标灵活运用导数基本公式求导，会用求导法则求导.教学重点导数的运算教学难点导数的运算教学方法讲授法教学用具黑板、粉笔、多媒体新课导入根据导数的定义，求函数的导数有以下几个步骤：第一步：求增量.第二步：求比值.第三步：求极限.下面我们按照导数的定义求一些基本初等函数的导数.重点与难点讲解方法讲练结合教学小结知识小结1、基本初等函数的导数公式；2、函数的和、差、积、商的求导法则.教后札记改进措施课后作业习题2.21.（1）（2）（3）（4）（5）（6）教学过程：一、知识回顾1、单侧导数和导数的几何意义；2、可导与连续的关系.二、新课导入根据导数的定义，求函数的导数有以下几个步骤：第一步：求增量.第二步：求比值.第三步：求极限.下面我们按照导数的定义求一些基本初等函数的导数.三、新课内容1、基本初等函数的导数公式1）基本初等函数的导数序号导数公式序号导数公式1（为常数）23（且）45（且）6789101112131415162）反函数的求导法则定理2.2若函数在点的某邻域内单调连续，且，则它的反函数在对应点处可导，且.上面的定理可简述为：反函数的导数等于直接函数的导数（不为零）的倒数.我们可以利用反函数的求导法则求反三角函数的导数或指数函数的导数.2、函数的和、差、积、商的求导法则定理2.3若函数及都在点处可导，则它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点处可导，且（1）；（2）；（3）.法则（1）、（2）可推广到任意有限个可导函数的情形，见推论1和推论2.推论1若函数，，，在点处可导，则.推论2若函数，，，在点处可导，则.推论3若函数在点处可导，且为常数，则.推论4若函数在点处可导，且，则.【例题精讲】例1求函数（为常数）的导数.解：因为，，，所以.例2求函数（且）的导数.解：因为，，，所以.特别地，当时，.例3求函数的导数.解：因为，，，所以.类似地，可求出.例4求函数的导数.解：.例5求函数的导数.解：.例6求函数的导数.解：.【课堂练习】例1求函数（且）的导数.解：因为，，，令，则；当时，，于是，所以.特别地，当时，.例2求函数的导数.解：.【问题思考】如何求复合函数的导数？【知识小结】1、基本初等函数的导数公式；2、函数的和、差、积、商的求导法则【课后作业】习题2.21.（1）（2）（3）（4）（5）（6）四、板书设计课题一、二、三、课堂练习例1例2重点：难点：《计算机应用数学》教案授课对象系别课时安排2年级班次章节题目第2章2.2导数的基本公式与运算法则教学目标会对复合函数求导教学重点复合函数求导教学难点复合函数求导教学方法讲授法教学用具黑板、粉笔、多媒体新课导入复合函数的分解，函数可以看成由哪些函数复合而成？重点与难点讲解方法讲练结合教学小结知识小结复合函数求导教后札记改进措施课后作业习题2.22.（1）（3）（5）（7）教学过程：一、知识回顾1、基本初等函数的导数公式；2、函数的和、差、积、商的求导法则.二、新课导入函数可以看成由哪些函数复合而成？解：原函数可以看成下列三个函数的复合：，，，其中与为中间变量.三、新课内容复合函数的求导法则定理2.4若在点处可导，而在点处可导，则复合函数在点处可导，且其导数为或或.例如，设函数，则是否正确？显然，这是错误的.事实上，由函数乘积的求导法则，有.导致错误的原因是什么？这是因为是关于的复合函数，复合函数有自己的求导法则.在求复合函数的导数时，其关键是弄清楚复合函数的结构，把它分解成基本初等函数或基本初等函数的四则运算，并恰当地设中间变量，然后再用复合函数的求导法则求出导数.由定理2.4可知，复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.复合函数的求导法则可以推广多个中间变量的情形，下面以两个中间变量为例.设，，，则，而，所以复合函数的导数为.当然，这里要求上式所需的可导条件都满足.复合函数求导熟练后，就不必再写中间变量，但是在求导时，每一步都必须弄清楚谁是中间变量，谁是自变量.【例题精讲】例1求函数的导数.解：这个函数可以看作是由，复合而成，则.例2求函数的导数.解：这个函数可以看作是由，复合而成，则.例3求函数的导数.解：.【课堂练习】例1求函数的导数.解：例2求函数的导数.解：.【问题思考】如何求隐函数的导数？【知识小结】复合函数求导【课后作业】习题2.22.（1）（3）（5）（7）四、板书设计课题一、二、三、课堂练习例1例2重点：难点：《计算机应用数学》教案授课对象系别课时安排2年级班次章节题目第2章2.3特殊函数求导法及高阶导数教学目标会对隐函数求导、会用对数求导法求导数教学重点隐函数求导法,对数求导法教学难点对数求导法教学方法讲授法教学用具黑板、粉笔、多媒体新课导入将隐函数化为显函数，称为隐函数的显化.但是有些隐函数的显化却很困难甚至不可能，例如由方程确定的隐函数就不能化为显函数.对于求由方程所确定的隐函数关于的导数，当然不能完全寄希望于把它显化，关键是要能从直接把求出来.重点与难点讲解方法讲练结合教学小结知识小结1、隐函数求导法；2、对数求导法.教后札记改进措施课后作业习题2.31.（1）（3）2.（2）（4）教学过程：一、知识回顾复合函数的分解与求导二、新课导入将隐函数化为显函数，称为隐函数的显化.但是有些隐函数的显化却很困难甚至不可能，例如由方程确定的隐函数就不能化为显函数.对于求由方程所确定的隐函数关于的导数，当然不能完全寄希望于把它显化，关键是要能从直接把求出来.三、新课内容1、隐函数求导法前面我们遇到的函数，例如，等，这种函数的表达方式总是用自变量的一个表达式来表示因变量,我们把形如的函数称为显函数.有些函数的表达方式却不是这样，例如方程，等都表示函数，但是这里的函数关系是隐含在方程中的，我们把形如的函数称为隐函数.将隐函数化为显函数，称为隐函数的显化.例如，可以由方程解出，这样就把隐函数化成了显函数，但是有些隐函数的显化却很困难甚至不可能，例如由方程确定的隐函数就不能化为显函数.对于求由方程所确定的隐函数关于的导数，当然不能完全寄希望于把它显化，关键是要能从直接把求出来.下面通过具体例子来说明这种方法.一般地，在隐函数的导数表达式中，既含有自变量，又含有因变量，通常不能也不须求得只含自变量的表达式.隐函数求导的方法：在方程中，将看作是的函数，方程两边对求导，得到一个关于，与的方程，解出，即所求隐函数的导数.2、对数求导法根据隐函数求导法，我们还可以得到一个简化求导的运算方法，它适合于由几个因子通过乘、除、乘方、开方运算所构成的比较复杂的函数（包括幂指函数）的求导问题.这个方法是先通过取对数化乘（除）为加（减），化乘（开）方为乘积，使其成为隐函数，再利用隐函数求导法求导，我们称这种方法为对数求导法.【例题精讲】例1求由方程所确定的隐函数的导数.解：假设从方程中可解出，代入原方程，有，把看成的函数，上式两边都对求导，则有，从上式中解出，得，即.例2求由方程所确定的隐函数的导数.解：方程两边分别对求导，得，解得.例3求函数的导数.解：该函数是幂指函数，虽然是显函数的形式，但是不能直接用初等函数的求导方法来求导.可以先在两边取对数变成隐函数，再用隐函数求导的方法就可以求出这种函数的导数.方程两边分别取对数，得，上式两边分别对求导，得，解得，所以.【课堂练习】例1求曲线在点处的切线方程.解：方程两边分别对求导，得，解得.由导数的几何意义可知，所求切线的斜率为，所以所求的切线方程为，即.例2求函数的导数.解：方程两边分别取对数，得，上式两边分别对求导，得，解得，所以.【问题思考】如何求参数方程的导数？【知识小结】1、隐函数求导法；2、对数求导法。【课后作业】习题2.31.（1）（3）2.（2）（4）四、板书设计课题一、二、三、课堂练习例1例2重点：难点：《计算机应用数学》教案授课对象系别课时安排2年级班次章节题目第2章2.3特殊函数求导法及高阶导数教学目标会对由参数方程所确定的函数求导，会求高阶导数.教学重点对由参数方程所确定的函数求导；高阶导数。教学难点对由参数方程所确定的函数求导教学方法讲授法教学用具黑板、粉笔、多媒体新课导入一般地，若参数方程（为参数）确定与的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数.例如，圆的参数方程、椭圆的参数方等.重点与难点讲解方法讲练结合教学小结知识小结1、对由参数方程所确定的函数求导；2、高阶导数.教后札记改进措施课后作业习题2.33.（1）（3）4.（2）（4）教学过程：一、知识回顾1、隐函数求导法；2、对数求导法.二、新课导入一般地，若参数方程（为参数）确定与的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数.例如，圆的参数方程为（），椭圆的参数方程为（）.三、新课内容1、由参数方程所确定的函数的求导法一般地，若参数方程（为参数）确定与的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数.例如，圆的参数方程为（），椭圆的参数方程为（）.下面我们来讨论由参数方程所确定的函数的求导方法.由参数方程（为参数）所确定的函数可以看成是由函数复合而成的函数.假定函数，都可导，且，根据复合函数的求导法则与反函数的求导法则，有，即.这就是由参数方程所确定的函数的求导公式.2、高阶导数从前面已讲的知道，变速直线运动的速度是距离对时间的导数，即，而速度也是时间的函数，它对时间的导数则是物体在时刻的瞬时加速度，即.一般地，函数的导数仍是的函数，称为函数的一阶导数.若一阶导数仍可导，则称的导数为的二阶导数，记作：，，或.类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，三阶导数的导数称为四阶导数，….一般地，函数的阶导数的导数称为阶导数，三阶以上的导数分别记作：或.函数具有阶导数，也说成函数为阶可导.二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.由上述可知，求高阶导数只需应用一阶导数的基本公式和求导法则重复进行求导运算即可.【例题精讲】例1设椭圆的参数方程是（为参数），求.解：因为，，所以.例2求函数的二阶导数.解：，.例3求函数（为常数）的阶导数.解：，，，…，.【课堂练习】例1已知（为参数），求.解：因为，，所以.例2求函数的阶导数.解：，，，…，.【问题思考】如何求函数的微分？【知识小结】1、对由参数方程所确定的函数求导；2、高阶导数.【课后作业】习题2.33.（1）（3）4.（2）（4）四、板书设计课题一、二、三、课堂练习例1例2重点：难点：《计算机应用数学》教案授课对象系别课时安排2年级班次章节题目第2章2.4函数的微分教学目标理解微分的概念和几何意义，会求函数的微分.教学重点微分的概念和几何意义、微分的计算教学难点微分的概念教学方法讲授法教学用具黑板、粉笔、多媒体新课导入我们在研究实际问题中，不仅需要知道自变量变化引起函数变化的快慢问题，而且还需要了解当自变量取得了微小的改变量时，函数取得的相应改变量的大小.一般来说，计算函数改变量的精确值是比较繁难的，因此，往往需要为计算它的近似值而找出简便的计算方法.重点与难点讲解方法讲练结合教学小结知识小结微分的概念和几何意义；微分的计算.教后札记改进措施课后作业习题2.41.（1）（2）（3）（4）教学过程：一、知识回顾1、对由参数方程所确定的函数求导；2、高阶导数.二、新课导入我们在研究实际问题中，不仅需要知道自变量变化引起函数变化的快慢问题，而且还需要了解当自变量取得了微小的改变量时，函数取得的相应改变量的大小.一般来说，计算函数改变量的精确值是比较繁难的，因此，往往需要为计算它的近似值而找出简便的计算方法.三、新课内容1、微分的概念1）微分的引入我们在研究实际问题中，不仅需要知道自变量变化引起函数变化的快慢问题，而且还需要了解当自变量取得了微小的改变量时，函数取得的相应改变量的大小.一般来说，计算函数改变量的精确值是比较繁难的，因此，往往需要为计算它的近似值而找出简便的计算方法.例如，一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长为由变为，如图2.4所示，问此薄片的面积改变了多少？图2.4设此薄片的边长为，面积为，则与存在函数关系.当薄片受温度变化的影响时，面积的改变量可以看成是当自变量自取得增量时，函数相应的增量，即.从上式可看出，分成两部分，第一部分，它是的线性函数，即图中带斜线的两个矩形面积之和，第二部分在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积.显然，如图2.4所示，是面积增量的主要部分，而是次要部分，当时，第二部分是比高阶的无穷小，即.由此可见，若边长改变很微小，即很小时，面积的改变量可近似地用第一部分来表示，，以此作为的近似值，略去是部分是比高阶的无穷小，即.若函数在点处可导，则有，所以，其中是当时的无穷小量，于是有.上式说明，函数的增量可以表示为两项之和，第一项是的线性函数，我们把它称为的线性主部，第二项是当时比高阶的无穷小量.当很小时，我们称第一项为函数的微分.2）微分的定义定义2.4设函数在点有导数，则称为函数在点处的微分，记作，即.这时也称函数在处是可微分的，或称函数在点处可微.此定义可简述为：函数的微分等于函数的导数与自变量增量的乘积.通常把自变量的增量称为自变量的微分，记作，因此函数可以写成，从此式可得到，即函数的导数就是函数的微分和自变量的微分之商，因此导数也称为微商.3）微分的几何意义为了对微分有比较直观的了解，我们来说明一下微分的几何意义.图2.5设函数的图形，如图2.5所示，是曲线上点处的切线，设的倾斜角为，当自变量有改变量时，得到曲线上另一点，从图2.5可知，，，则，即.由此可知，微分是当有改变量时，曲线在点处的切线的纵坐标的改变量.用近似代替就是用点处的切线的纵坐标的改变量来近似代替曲线的纵坐标的改变量，并且有.4）可微与可导的关系函数在点处可微的充要条件是函数在点处可导，即一元函数可微与可导是等价的.2、微分的计算由微分的定义知：一个函数的微分就是它的导数与自变量微分的乘积．由可知，从前面的导数公式可得出相应的微分公式，例如，，这里不再列出微分的公式表.【例题精讲】例1求函数的微分.解：因为，所以.例2求函数的微分.解：因为，所以.【课堂练习】例1求函数的微分.解：因为，所以.例2设参数方程为（为参数），利用微分求.解：因为，，所以.【问题思考】微分有哪些应用？【知识小结】1、微分的概念和几何意义；2、微分的计算.【课后作业】习题2.41.（1）（2）（3）（4）四、板书设计课题一、二、三、课堂练习例1例2重点：难点：《计算机应用数学》教案授课对象系别课时安排2年级班次章节题目第2章2.4函数的微分教学目标利用微分在近似计算中的应用求函数值的近似值教学重点微分在近似计算中的应用教学难点微分在近似计算中的应用教学方法讲授法教学用具黑板、粉笔、多媒体新课导入在实际问题中，经常利用微分作近似计算.重点与难点讲解方法讲练结合教学小结知识小结微分在近似计算中的应用教后札记改进措施课后作业习题2.43.（1）（2）（3）（4）教学过程：一、知识回顾1、微分的概念和几何意义；2、微分的计算.二、新课导入在实际问题中，经常利用微分作近似计算.三、新课内容1、微分在近似计算中的应用在实际问题中，经常利用微分作近似计算.由微分的定义可知，（很小），即，，此式为求函数值的近似公式，即已知之值，求附近的函数值.令且，则可写成（很小），此式为求附近函数值的近似公式.当很小时，常用的近似公式有1）2）3）4）5）【例题精讲】例1计算的近似值.解：设，.由，有，取，，有.例2求的近似值.解：设，则.由，有，取，，有.【课堂练习】例1半径为的金属圆片加热后，半径伸长了，问：金属圆片面积增大的精确值为多少？其近似值又为多少？解：金属圆片面积增大的精确值：设圆面积为，半径为，则.已知，，所以金属圆片面积的增量为（）.金属圆片面积增加的近似值：（），比较这两种结果可知，其误差还是较小的.【问题思考】多元函数的微分是怎样的？【知识小结】微分在近似计算中的应用【课后作业】习题2.43.（1）（2）（3）（4）四、板书设计课题一、二、三、课堂练习例1例2重点：难点：《计算机应用数学》教案授课对象系别课时安排2年级班次章节题目第3章3.1中值定理和洛必达法则教学目标了解几个中值定理的证明过程，灵活利用洛必达法则求极限教学重点利用洛必达法则求极限教学难点利用洛必达法则求极限教学方法讲练结合教学用具黑板、粉笔、多媒体新课导入我们可否利用导数与微分这一方法来分析和研究函数的性质、图形以及各种形态？重点与难点讲解方法数形结合，通过图形来讲解说明相关定理教学小结知识小结了解几个中值定理的证明过程洛必达法则教后札记改进措施课后作业习题3.11.（1）（2）（3）（4）2.3.教学过程：一、知识回顾导数的几何意义？导数的求法？二、新课导入我们可否利用导数与微分这一方法来分析和研究函数的性质、图形以及各种形态？三、新课内容1、拉格朗日（Lagrange）中值定理若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在内至少有一点，使成立.罗尔(Rolle)中值定理若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，则在内至少有一点，使成立.柯西(Cauchy)中值定理若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且在开区间内，则在内至少有一点，使成立.令，则，，，这时柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理，可见拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情形.2、(洛必达法则I)若(1)，；(2)与在的某去心邻域内可导，且；(3)存在，（或为），则．(洛必达法则Ⅱ)若(1)，；(2)与在的某去心邻域内可导，且；(3)存在，（或为），则．在定理4.2.1和4.2.2中，若把换成，，，或时，只需对两定理中的假设(2)作相应的修改，结论仍然成立．【例题精讲】例1验证拉格朗日中值定理对函数在闭区间上的正确性.解：显然函数在上连续，又在内可导，即满足拉格朗日中值定理的条件，所以该函数在内至少存在一点，使，即，得，这就说明了拉格朗日中值定理对函数在闭区间上是正确的.例2验证罗尔中值定理对函数在闭区间上的正确性.解：显然函数在上连续，又在内可导，且，即满足罗尔中值定理的条件，所以该函数在内至少存在一点，使，即，得，这就说明了罗尔定理对函数在闭区间上是正确的.例3求极限.解：这是型不定式，由洛必达法则，得.例4求极限.解：这是型不定式，由洛必达法则，得.例5求极限.解：这是型不定式，由洛必达法则，得.【课堂练习】例1求极限.解：这是型不定式，由洛必达法则，得.例2求极限.解：这是型不定式，由洛必达法则，得.例3求极限.解：这是型不定式，由洛必达法则，得.【问题思考】求极限【知识小结】1、了解几个中值定理的证明过程；2、洛必达法则.【课后作业】习题3.11.（1）（2）（3）（4）2.3.四、板书设计课题一、二、三、课堂练习例1例2重点：难点：《计算机应用数学》教案授课对象系别课时安排2年级班次章节题目第3章3.1中值定理和洛必达法3.2函数的单调性和极值教学目标灵活利用洛必达法则求极限，会求函数的单调区间教学重点利用洛必达法则求极限，函数的单调性教学难点利用洛必达法则求极限，函数的单调性教学方法讲练结合教学用具黑板、粉笔、多媒体新课导入极限重点与难点讲解方法一定要先把定理说清楚，再把各种类型的例题精讲，精练.教学小结知识小结1、洛必达法则；2、函数的单调性.教后札记改进措施课后作业习题3.11.（13）（14）习题3.23.（1）（3）教学过程：一、知识回顾洛必达法则和型未定式的求法二、新课导入极限三、新课内容1、如，，，，等不定式也可通过适当转化，化成型或型的不定式后再计算.（1）型若，，则就构成了型不定式，它可以作如下变换：（型）或（型）.（2）型此类型可以通过通分转化为型或型不定式.（3），，型此类型可以通过取对数进行如下转化：.2、定理（函数单调性判别定理）设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则1）若对任意，有,则在上严格单调增加；2）若对任意，有,则在上严格单调减少.【例题精讲】例1求极限.解：.例2求极限.解：.例3求极限.解：因为，而，所以.例4讨论函数的单调性.解：如图3.4所示，函数的定义域为，当时，；当时，函数的导数不存在．当时，；当时，，故函数在内单调减少，在内单调增加.例5求函数的单调区间.解：函数的定义域为.又，令，得.列表分析如下：所以函数的单调增加区间为，单调减少区间为.【课堂练习】例1求极限.解：因为，而，所以.例2求极限.解：（利用等价无穷小量代换）.例3求函数的单调区间.解：函数的定义域为，函数在整个定义域内可导，且.令，得.当时，；当时，，所以函数在上单调减少，在上单调增加.例4求函数的单调区间.解：函数的定义域为．又，令，得，.列表分析如下：1200所以函数的单调增加区间为和，单调减少区间为.【问题思考】例5中导数为0的点是最大值和最小值吗？【知识小结】1、洛必达法则；2、函数的单调性.【课后作业】习题3.11.（13）（14）习题3.21.（1）（2）四、板书设计课题一、二、三、课堂练习例1例2重点：难点：《计算机应用数学》教案授课对象系别课时安排2年级班次章节题目第3章3.2函数的单调性和极值教学目标会求函数的极值点和单调区间教学重点函数的极值点和单调区间教学难点函数的极值点和单调区间教学方法讲练结合教学用具黑板、粉笔、多媒体新课导入例5中导数为0的点是最大值和最小值吗？重点与难点讲解方法一定要说明极值点和最值点的区别与联系，重点讲解第一充分条件.教学小结知识小结函数的极值点和单调区间教后札记改进措施课后作业习题3.23.（1）（3）教学过程：一、知识回顾函数的单调区间的求法。二、新课导入例5中导数为0的点是最大值和最小值吗？三、新课内容定义设函数在的某邻域内有定义．若对该邻域内任意一点（），都有（），则称为的一个极大值（极小值），称为极大值点（极小值点）．极值存在的必要条件若函数在点的某邻域内可导且在处取得极值，则必有.定义使成立的点称为的驻点.定理（极值的第一充分条件)设函数在点的某邻域内可导且，则1）若当时，，而当时，，则在处取得极大值，是极大值点，为极大值.2)若当时，，而当时，，则在处取得极小值，是极小值点，为极小值.3)若当（）时，不变号，则不是极值点，不是极值.根据以上定理，我们可以归纳出求函数的单调性和极值的步骤如下：1）确定函数的定义域；2）求出一阶导数以及在定义域内的驻点（）和不存在的点；3）列表分析在驻点和不可导点的左右附近的符号情况；4）根据分析和定理确定出函数的单调区间和极值.定理（极值的第二充分条件）设函数在点处具有二阶导数，且,，则1)当时，函数在点处取得极大值；2)当时，函数在点处取得极小值.【例题精讲】例1例3.16中函数在处导数不存在，但其导数在该点左右两侧的符号由负变正，所以是函数的极小值点.例3.17中函数在处导数为零且其导数在左右两侧的符号由负变正，所以是函数的极小值点．例2求函数的单调增减区间和极值.解：函数的定义域为．又，令，得.列表分析如下:↘极小值↗所以函数的单调增加区间为，单调减少区间为；函数在处取得极小值.例3求函数的极值.解：函数的定义域为．又,，令，得,,且,，所以函数在处取得极大值，在处取得极小值.【课堂练习】例1求函数的单调区间和极值.解：函数的定义域为．又，令，得，当时，不存在.列表分析如下:不存在0↗极大值0↘极小值↗所以函数的单调增加区间为、,单调减少区间为；函数在点处有极大值,在点处有极小值.【问题思考】知道函数的单调性和极值，能准确把握函数的图像吗？【知识小结】函数的极值点和单调区间。【课后作业】习题3.23.（1）（3）四、板书设计课题一、二、三、课堂练习例1例2重点：难点：《计算机应用数学》教案授课对象系别课时安排2年级班次章节题目第3章3.3函数的凹凸区间和拐点教学目标会求函数的凹凸区间和拐点教学重点函数的凹凸区间和拐点教学难点函数的凹凸区间和拐点教学方法讲练结合教学用具黑板、粉笔、多媒体新课导入知道函数的单调性和极值，能准确把握函数的图像吗？重点与难点讲解方法函数凹凸性的定义要慢讲，细讲，多画图，让学生能直观的认识到凹凸性表现在图像上样子.教学小结知识小结函数的凹凸区间和拐点教后札记改进措施课后作业习题3.31.（1）（3）教学过程：一、知识回顾函数的单调区间和极值的求法。二、新课导入知道函数的单调性和极值，能准确把握函数的图像吗？三、新课内容定义若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的下方，则称这段弧是凹的；若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的上方，则称这段弧是凸的.定理设函数在上连续，在内具有二阶导数，则1）若在内，,则的图形在上是凹的；2）若在内，,则的图形在上是凸的.定义连续曲线上的凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点.求曲线的凹凸性和拐点的一般步骤为：1）确定函数的定义域；2）求出的二阶导数以及在定义域内的点和不存在的点；3）列表分析的点和不存在的点左右附近的符号情况；4）根据分析和定理确定出函数的凹凸区间和拐点.【例题精讲】例1判断曲线的凹凸性.解：函数的定义域为.又，，当时，，所以曲线在上是凹的.例2求曲线在的拐点.解：，，令,得.列表分析如下：拐点所以曲线的拐点为.例3求曲线的凹凸区间及拐点.解：函数的定义域为.又，，令,得,.列表分析如下：000拐点拐点所以曲线的凹区间为，,凸区间为,拐点为,.【课堂练习】例1判断曲线的凹凸性.解：函数的定义域为.又，，当时，，所以曲线在上是凹的.例2判断曲线的凹凸性.解：函数的定义域为.又，，令，得，当时，，当时，，所以曲线在上是凸的，在上是凹的.例3求曲线的凹凸区间和拐点.解：函数的定义域为.又，，令,得.列表分析如下：拐点所以曲线的凹区间为，凸区间为，拐点为.【问题思考】函数的极值点是最值点吗？【知识小结】函数的凹凸区间和拐点【课后作业】习题3.31.（1）（3）四、板书设计课题一、二、三、课堂练习例1例2重点：难点：《计算机应用数学》教案授课对象系别课时安排2年级班次章节题目第3章3.4函数的最值教学目标会求函数的最值教学重点函数的最值教学难点函数的最值教学方法讲练结合教学用具黑板、粉笔、多媒体新课导入函数的极值点是最值点吗？重点与难点讲解方法回忆极值的定义、求法和区别的联系。通过极值的求法引出最值的求法.教学小结知识小结函数的最值的求法.教后札记