2023届吉林省吉林市示范中学高三（最后冲刺）数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．点在曲线上，过作轴垂线，设与曲线交于点，，且点的纵坐标始终为0，则称点为曲线上的“水平黄金点”，则曲线上的“水平黄金点”的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．32．已知函数（），若函数在上有唯一零点，则的值为（）A．1 B．或0 C．1或0 D．2或03．执行如图所示的程序框图，则输出的（）A．2 B．3 C． D．4．已知函数是上的偶函数，是的奇函数，且，则的值为（）A． B． C． D．5．已知函，，则的最小值为（）A． B．1 C．0 D．6．设是定义域为的偶函数，且在单调递增，，则（）A． B．C． D．7．设是虚数单位，则“复数为纯虚数”是“”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件8．已知向量，满足||＝1，||＝2，且与的夹角为120°，则＝（）A． B． C． D．9．已知集合，定义集合，则等于（）A． B．C． D．10．已知，且，则（）A． B． C． D．11．下列四个图象可能是函数图象的是（）A． B． C． D．12．已知函数，若恒成立，则满足条件的的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在直角坐标系中，某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为，函数的图象经过该三角形的三个顶点，则的解析式为___________.14．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值为________.15．从2、3、5、7、11、13这六个质数中任取两个数，这两个数的和仍是质数的概率是________（结果用最简分数表示）16．点是曲线（）图象上的一个定点，过点的切线方程为，则实数k的值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设为等差数列的前项和，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若满足不等式的正整数恰有个，求正实数的取值范围．18．（12分）已知函数，当时，有极大值3；（1）求，的值；（2）求函数的极小值及单调区间.19．（12分）已知是各项都为正数的数列，其前项和为，且为与的等差中项．（1）求证：数列为等差数列；（2）设，求的前100项和．20．（12分）已知，函数.（1）若函数在上为减函数，求实数的取值范围；（2）求证：对上的任意两个实数，，总有成立.21．（12分）管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为的清洁棒在弯头内恰好处于位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，）.（1）请用角表示清洁棒的长；（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度.22．（10分）唐诗是中国文学的瑰宝.为了研究计算机上唐诗分类工作中检索关键字的选取，某研究人员将唐诗分成7大类别，并从《全唐诗》48900多篇唐诗中随机抽取了500篇，统计了每个类别及各类别包含“花”、“山”、“帘”字的篇数，得到下表：爱情婚姻咏史怀古边塞战争山水田园交游送别羁旅思乡其他总计篇数100645599917318500含“山”字的篇数5148216948304271含“帘”字的篇数2120073538含“花”字的篇数606141732283160（1）根据上表判断，若从《全唐诗》含“山”字的唐诗中随机抽取一篇，则它属于哪个类别的可能性最大，属于哪个类别的可能性最小，并分别估计该唐诗属于这两个类别的概率；（2）已知检索关键字的选取规则为：①若有超过95%的把握判断“某字”与“某类别”有关系，则“某字”为“某类别”的关键字；②若“某字”被选为“某类别”关键字，则由其对应列联表得到的的观测值越大，排名就越靠前；设“山”“帘”“花”和“爱情婚姻”对应的观测值分别为，，.已知，，请完成下面列联表，并从上述三个字中选出“爱情婚姻”类别的关键字并排名.属于“爱情婚姻”类不属于“爱情婚姻”类总计含“花”字的篇数不含“花”的篇数总计附：，其中.0.050.0250.0103.8415.0246.635

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

设,则,则,即可得,设,利用导函数判断的零点的个数,即为所求.【详解】设,则,所以,依题意可得,设,则,当时,,则单调递减；当时,,则单调递增,所以,且,有两个不同的解,所以曲线上的“水平黄金点”的个数为2.故选:C【点睛】本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用.2、C【解析】

求出函数的导函数，当时，只需，即，令，利用导数求其单调区间，即可求出参数的值，当时，根据函数的单调性及零点存在性定理可判断；【详解】解：∵（），∴，∴当时，由得，则在上单调递减，在上单调递增，所以是极小值，∴只需，即.令，则，∴函数在上单调递增.∵，∴；当时，，函数在上单调递减，∵，，函数在上有且只有一个零点，∴的值是1或0.故选：C【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，零点存在性定理的应用，属于中档题.3、B【解析】

运行程序，依次进行循环,结合判断框，可得输出值.【详解】起始阶段有，，第一次循环后，，第二次循环后，，第三次循环后，，第四次循环后，，所有后面的循环具有周期性，周期为3，当时，再次循环输出的,，此时，循环结束，输出，故选：B【点睛】本题主要考查程序框图的相关知识，经过几次循环找出规律是关键，属于基础题型.4、B【解析】

根据函数的奇偶性及题设中关于与关系，转换成关于的关系式，通过变形求解出的周期，进而算出.【详解】为上的奇函数，，而函数是上的偶函数，，，故为周期函数，且周期为故选：B【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，函数的周期性的应用，属于基础题.5、B【解析】

，利用整体换元法求最小值.【详解】由已知，又，，故当，即时，.故选：B.【点睛】本题考查整体换元法求正弦型函数的最值，涉及到二倍角公式的应用，是一道中档题.6、C【解析】

根据偶函数的性质，比较即可.【详解】解：显然，所以是定义域为的偶函数，且在单调递增，所以故选：C【点睛】本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题.7、D【解析】

结合纯虚数的概念，可得，再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项.【详解】若复数为纯虚数，则，所以，若，不妨设，此时复数，不是纯虚数，所以“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件.故选：D【点睛】本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题.8、D【解析】

先计算，然后将进行平方，，可得结果.【详解】由题意可得：∴∴则.故选：D.【点睛】本题考查的是向量的数量积的运算和模的计算，属基础题。9、C【解析】

根据定义，求出，即可求出结论.【详解】因为集合，所以，则，所以.故选:C.【点睛】本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题.10、B【解析】分析：首先利用同角三角函数关系式，结合题中所给的角的范围，求得的值，之后借助于倍角公式，将待求的式子转化为关于的式子，代入从而求得结果.详解：根据题中的条件，可得为锐角，根据，可求得，而，故选B.点睛：该题考查的是有关同角三角函数关系式以及倍角公式的应用，在解题的过程中，需要对已知真切求余弦的方法要明确，可以应用同角三角函数关系式求解，也可以结合三角函数的定义式求解.11、C【解析】

首先求出函数的定义域，其函数图象可由的图象沿轴向左平移1个单位而得到，因为为奇函数，即可得到函数图象关于对称，即可排除A、D，再根据时函数值，排除B，即可得解.【详解】∵的定义域为，其图象可由的图象沿轴向左平移1个单位而得到，∵为奇函数，图象关于原点对称，∴的图象关于点成中心对称.可排除A、D项.当时，，∴B项不正确.故选：C【点睛】本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档题.12、C【解析】

由不等式恒成立问题分类讨论：①当，②当，③当，考查方程的解的个数，综合①②③得解．【详解】①当时，，满足题意，②当时，，，，，故不恒成立，③当时，设，，令，得，，得，下面考查方程的解的个数，设（a），则（a）由导数的应用可得：（a）在为减函数，在，为增函数，则（a），即有一解，又，均为增函数，所以存在1个使得成立，综合①②③得：满足条件的的个数是2个，故选：．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

结合题意先画出直角坐标系，点出所有可能组成等腰直角三角形的点，采用排除法最终可确定为点，再由函数性质进一步求解参数即可【详解】等腰直角三角形的第三个顶点可能的位置如下图中的点，其中点与已有的两个顶点横坐标重复，舍去；若为点则点与点的中间位置的点的纵坐标必然大于或小于，不可能为，因此点也舍去，只有点满足题意.此时点为最大值点，所以，又，则，所以点，之间的图像单调，将，代入的表达式有由知，因此.故答案为：【点睛】本题考查由三角函数图像求解解析式，数形结合思想，属于中档题14、【解析】

由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，模拟程序的运行，即可得到答案.【详解】根据题中的程序框图可得：,执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，此时，满足条件，退出循环，输出的值为.故答案为：【点睛】本题主要考查了程序和算法，依次写出每次循环得到的，的值是解题的关键，属于基本知识的考查.15、【解析】

依据古典概型的计算公式，分别求“任取两个数”和“任取两个数，和是质数”的事件数，计算即可。【详解】“任取两个数”的事件数为，“任取两个数，和是质数”的事件有（2,3），（2,5），（2,11）共3个，所以任取两个数，这两个数的和仍是质数的概率是。【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法。16、1【解析】

求出导函数，由切线斜率为4即导数为4求出切点横坐标，再由切线方程得纵坐标后可求得．【详解】设，由题意，∴，，，即，∴，．故答案为：1．【点睛】本题考查导数的几何意义，函数图象某点处的切线的斜率就是该点处导数值．本题属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）．【解析】

（1）设等差数列的公差为，根据题意得出关于和的方程组，解出这两个量的值，然后利用等差数列的通项公式可得出数列的通项公式；（2）求出，可得出，可知当为奇数时不等式不成立，只考虑为偶数的情况，利用数列单调性的定义判断数列中偶数项构成的数列的单调性，由此能求出正实数的取值范围．【详解】（1）设等差数列的公差为，则，整理得，解得，，因此，；（2），满足不等式的正整数恰有个，得，由于，若为奇数，则不等式不可能成立.只考虑为偶数的情况，令，则，．.当时，，则；当时，，则；当时，，则.所以，，又，，，，.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查正实数的取值范围的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18、（1）；（2）极小值为，递减区间为：，递增区间为.【解析】

（1）由题意得到关于实数的方程组，求解方程组，即可求得的值；（2）结合（1）中的值得出函数的解析式，即可利用导数求得函数的单调区间和极小值.【详解】（1）由题意，函数，则，由当时，有极大值，则，解得.（2）由（1）可得函数的解析式为，则，令，即，解得，令，即，解得或，所以函数的单调减区间为，递增区间为，当时，函数取得极小值，极小值为.当时，有极大值3.【点睛】本题主要考查了函数的极值的概念，以及利用导数求解函数的单调区间和极值，其中解答中熟记函数的极值的概念，以及函数的导数与原函数的关系，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）利用已知条件化简出，当时，，当时，再利用进行化简，得出，即可证明出为等差数列；（2）根据（1）中，求出数列的通项公式，再化简出，可直接求出的前100项和．【详解】解：（1）由题意知，即，①当时，由①式可得；又时，有，代入①式得，整理得，∴是首项为1，公差为1的等差数列．（2）由（1）可得，∵是各项都为正数，∴，∴，又，∴，则，，即：.∴的前100项和．【点睛】本题考查数列递推关系的应用，通项公式的求法以及裂项相消法求和，考查分析解题能力和计算能力.20、（1）（2）见解析【解析】

（1）求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离得在上恒成立.设，求出即可得到参数的取值范围；（2）不妨设，，，利用导数说明函数在上是减函数，即可得证；【详解】解：（1）∵∴，且函数在上为减函数，即在上恒成立，∴在上恒成立.设，∵函数在上单调递增，∴，∴，∴实数的取值范围为.（2）不妨设，，，则，∴.∵，∴，又，令，∴，∴在上为减函数，∴，∴，即，∴在上是减函数，∴，即，∴，∴当时，.∵，∴.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，利用导数证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21、（1）；（2）.【解析】

（1）过作的垂线，垂足为，易得，进一步可得；（2）利用导数求得最大值即可.【详解】（1）如图，过作的垂线，垂足为，在直角中，，，所以，同理