专题18双曲线的简单几何性质（知识精讲）（原卷版）

专题十八双曲线的简单几何性质一知识结构图内容考点关注点双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质性质运用双曲线的渐近线渐进线方程直线与双曲线的位置关系判断直线与双曲线位置关系二.学法指导.由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(I)把双曲线方程化为标准形式；(2)由标准方程确定焦点位置，确定.，。的值；(3)由/=/+〃求出。值，从而写出双曲线的几何性质..由几何性质求双曲线标准方程的解题思路由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为"谓一町>0)..常见双曲线方程的设法(1)渐近线为)，=咪x的双曲线方程可设为5=乂入工0,5>0,h>0)；如果两条渐近线的方程为加±亦=0,那么双曲线的方程可设为*/一脱/=皿加20,A>0,B>0).(2)与双曲线,一苓=1或5一方=15>0,〃>())共渐近线的双曲线方程可设为无一方=人或力一方=入(入#0).099，22，⑶与双曲线,一次=1(4>0">0)离心率相等的双曲线系方程可设为/一方=入(入>0)或力一方=X(X>0),这是因为由离心率不能确定焦点位置.(4)与椭圆忘邛=1(〃>心0)共焦点的双曲线系方程可设为£一当=1(〃—..求双曲线离心率的方法(1)若可求得。，c,则直接利用得解.(2)若已知a,b,可直接利用e=\/l+(§2得解•(3)若得到的是关于a,c的齐次方程〃/+<7次:+忆2=0(〃，夕，广为常数，且〃#()),则转化为关于e的方程〃『+gc+r=0求解..直线与双曲线位置关系的判断方法(1)方程思想的应用把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ad+bx+c=O的形式，在〃W()的情况下考察方程的判别式.①/>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点.②4=0时，直线与双曲线只有一个公共点.③/<0时，直线与双曲线没有公共点.当。=0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点.(2)数形结合思想的应用①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系.②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.三.知识点贯通知识点1根据双曲线方程研究几何性质标准方程/b2~[(。>0,Z?>0)J"CTb-(67>O,Z?>0)图形y培性质范围x2a或xW—〃\W-〃或)，泊对称性对称轴：坐标轴,对称中心：原点顶点(―4,0),(4,0)(0,-6/),(0,4)轴长实轴长=3,虚轴长=%离心率Ce==>la-渐近线产备a例题1.求双曲线9.F—以2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.

知识点二由几何性质求双曲线的标准方程标准方程“Ja2L(a>0,b>0)>I>——1CTb-(67>O,Z?>0)图形y说性质范围或xW—〃〃或y24对称性对称轴：坐标轴,对称中心：原点顶点(—4,0),(4,0)(0,—a),(0,a)轴长实轴长=3,虚轴长=%离心率C,e==>la-渐近线a例题2：求适合下列条件的双曲线的标准方程：⑴焦点在不轴上，虚轴长为8,离心率为|；（2）与双曲线方-得二1有共同的渐近线，且过点（-3,2小）.知识点三求双曲线的离心率例题3.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线力＞（））的右焦点/（。,（））到一条渐近线的距离为亍C,求其离心率的值.知识点四直线与双曲线的位置关系将），=丘+〃7与，一£=1联立消去y得一元方程（/一/F）/一2/八山一。2（〃+/）=0.力的取值位置关系交点个数攵=±与时相交只有一个交点攵且/>0有两个交点Aw［且/=()相切只有一个交点反［且J<()相离没有公共点例题4.已知双曲线C：f-），2=l及直线/：y=kx-\.（1）若直线/与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；（2）若直线/与双曲线C交于A,B两点,。是坐标原点，且AAOB的面积为也，求实数上的值.五易错点分析易错一由双曲线方程求性质例题5.求双曲线4/-9），2=-4的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率