人教B版必修第一册2.2.3一元二次不等式的解法学案

2.2.3一元二次不等式的解法学习目标.理解一元二次不等式的定义.借助一元二次不等式的概念,培养数学抽象核心素养..能够利用因式分解法和配方法解一元二次不等式.通过学习一元二次不等式的解法,提升数学运算核心素养.,了解简单的分式不等式,并会求其解集,借助简单分式不等式的解法，培养逻辑推理核心素养..一元二次不等式的概念一般地,形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c是常数，而且且.一元二次不等式中的不等号也可以是“2”等.思考1：(1)不等式x2+->0是一元二次不等式吗？X⑵一元二次不等式的一般形式中“aWO”可以省略吗？答案：(1)不是,一元二次不等式一定为整式不等式.⑵不可以,若a=0,就不是二次不等式了..用因式分解法解一元二次不等式一般地,如果xXx2,则不等式(x-x)(x-X2)<0的解集是3,xj,不等式(x-xj(x-x2)>0的解集是(-8,X|)U(X2,+8)..用配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax2+bx+c>0(aW0)通过配方总是可以变为(x-h)2>k或(x-h)2〈k的形式,再由k值情况,可得原不等式的解集如表.易错辨析1——因忽略未知项系数的符号而致误［典例1］解不等式：(x+2)(3-x)〈0.错解:不等式的解集为{x|-2<x<3}.纠错:错解的错误在于没有注意到第二个括号中x的系数为负.正解:原不等式可化为(x+2)(x-3)>0,所以原不等式的解集为{x|x<-2或x>3}.易错辨析2——因不等式两端约分时转化不等价而致误［典例2］解不等式:2x(x+2)<3(x+2).错解:不等式两边同除以x+2,得2x<3,则x<|.故原不等式的解集为{x|x<|}.纠错:对不等式的两边同乘(或除以)相同的负值时.，不等号方向是要改变的.错解中未考虑X+2的正负.若要对不等式两边同除以x+2,就应分情况讨论.正解:法一当x+2>0,即x>-2时，2x<3,所以-2<x<|.当x+2<0,即x<-2时,2x>3,所以无解.故原不等式的解集为{x|-2<x<1}.法二移项整理得(x+2)(2x-3)<0,解得-2<x<|,故原不等式的解集为{x|-2<x<|}..(教材习题改编)不等式x(2-x)>0的解集为(D)A.{x|x>0}B.{xx<2)C.{x|x>2或x<0}D.{x|0<x<2}解析:原不等式化为X(X-2)<0,解得0<x<2.故选D.2.已知集合M={x|x-3x-28^0},N={x|x2-x-6>0)，贝ijMAN为(A){x|-4Wx<-2或3<xW7}{x|-4〈xW-2或3Wx<7}{x|xW-2或x>3}{x|x<-2或x23}解析：因为M={x|x2-3x-28W0}二{x|-4〈xW7},N={x|x2-x_6>0}={x|x<-2或x>3},所以MGN={x|—4Wx<—2或3<xW7}.故选A..下面所给关于x的几个不等式:①3x+4<0;②x'mxTX);③ax2+4x-7>0;@x2<0.其中一定为一元二次不等式的有.(填序号)答案:②④.解下列不等式：(1)x(7-x)^12;(2)x2>2(x-1).解：(1)原不等式可化为x2-7x+12^0,因为方程x2-7x+12=0的两根为X1=3,x2=4,所以原不等式的解集为{x|3Wx<4}.⑵原不等式可以化为x2-2x+2>0,即(x-l)2+l>0,所以原不等式的解集为R.k>0k=0k<0(x-h)2>k转化为1x-h>Vfc,解集为(-8,h-Vfc)U(h+V/c,+8)(-8,h)U(h,+8)R(x-h)2<k转化为x-h<Vfc,解集为(h-Vfc,h+Vfc)00思考2:(1)关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为R,a,b,c满足的条件是什么？⑵关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为0,a,b,c满足的条件是什么？答案：(1){"；：="或{；2>)_八(C>0w£-4ac<0.=或tc<0<0.4.分式不等式解分式不等式的基本思想是将分式不等式转化为整式不等式.即门•g(x)-0，(2)售〉0=f(x)•g(x)>0glx)”)〉0,成如)<0,lg(x)>0Ig(%)<0;⑶售欠"⑴口，g(%)(g(x)丰0;(4)售<0=f(x)•g(x)<0g(%)[/(%)>0,Af(x)<0,Ig(%)<0%(%)>0.

元二次不等式与相应的方程的关系如表至探究点一一元二次不等式的解法判别式A=b2-4ac△>0△二0A<0没有一元二次方程有两相异实根有两相等实根实ax2+bx+c=0(a>0)的根Xl,X2(X1<X2)bxH2二一孤数根ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|x〈X］或x>x』{x|x#喂}2aRax2+bx+c<0(a>0)的解集{x1X1<X<X2}00［例1］解下列不等式:(1)2x2+7x+3>0;(2)x2-4x-5^0;(3)-4x2+18x--^0.4解：(1)因为△=7-4X2X3=25>0,所以方程2x2+7x+3=0有两个不等实根x.=-3,1X2.所以原不等式的解集为{xIx>—或x<-3}.⑵原不等式可化为(x-5)(x+1)W0,解得-1近x《5,所以原不等式的解集为{x|-1WxW5}.⑶原不等式可化为(2x《)2wo,解得x=2.4所以原不等式的解集为｛：｝.解一元二次不等式的方法方法一:若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为两个一次因式的乘积形式,则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集；方法二:若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式,不论取何值,完全平方式始终大于或等于零,则不等式的解集易得；方法三:若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法,即判别式法.针对训练:解下列不等式：(l)-1x'+3x-5>0;(2)-2x2+3x-2<0;(3)-x2+7x>6.解：(1)原不等式可化为x2-6x+10〈0,而x2-6x+10=(x-3)2+11,所以原不等式的解集为。.⑵原不等式可化为2x2-3x+2>0,因为A=9-4X2X2=-7<0,所以方程2x2-3x+2=0无实根，所以原不等式的解集为R.(3)原不等式可化为x2-7x+6<0.解方程X?-7x+6=0,得x)=l,x2=6.所以原不等式的解集为｛x|l<x<6｝.［备用例1］解不等式：-2<x2-3xW10.解:原不等式等价于不等式组:®U2-3x<10,②不等式①可化为x2-3x+2>0,解得x〉2或x〈L不等式②可化为x2-3x-10^0,解得-2WxW5.故原不等式的解集｛x|-2<x<l或2<xW5｝.至探究点二解含参数的一元二次不等式［例2］解关于x的不等式:ax?-222x-ax(a<0).解:原不等式移项得ax2+(a-2)x-220,化简为(x+1)(ax-2)20.因为水0,所以(x+l)(xq)WO当—2<a<0时,;WxWT;当a=-2时,x=-l;当水-2时，-IWxW2a综上所述，当-2<a<0时,解集为｛xlaWxWT｝;a当a=-2时,解集为｛x|x=-l);当a<-2时,解集为｛x卜a解含参数的一元二次不等式时⑴若二次项系数含有参数,则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；⑵若求对应时一元二次方程的根需用公式,则应对判别式△进行讨论；⑶若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论.针对训练：解关于X的不等式:ax2-（a-Dx-l<0（aeR）.解:原不等式可化为（ax+1）（x-l）〈O.当a=0时,x<l;当a>0时，（x+工）（xT）CO,所以-乂x〈l;aa当a=-l时，,xWl;当-时，（x+工）（xT）>0,a所以x>△或X<1；a当a<-l时,\<1,a所以X>1或x<--.a综上,原不等式的解集是当a>0时，｛x|-乂x〈l｝;a当a=0时，｛xx<l｝;当-l<a<0时，｛x|x<l或x>--｝;a当a="l时，｛x|xWl｝;当a<-l时，｛x|x<,或x>l｝.a

［备用例2］若关于x的不等式ax2+2x+2>0在R上恒成立,求实数a的取值范围.解:当a=0时，原不等式可化为2x+2>0,其解集不为R,故a=0不满足题意,舍去；当aWO时,要使原不等式的解集为R,只需a>0,/=22-4x2a<0,解得a>；.综上,所求实数a的取值范围为(i+8).⑨探究点三一元二次不等式与相应方程的关系［例3］已知ax2+2x+c>0的解集为｛x|-2夺，试求a,c的值,并解不等式-cx'+2x-a>0.解:由ax"+2x+c>0的解集是｛x|,知a<0,且方程ax2+2x+c=0的两根为xi=qx24由根与系数的关系知_-2ac=—>a解得｛:二2"，此时，-cx2+2x-a>0,即2x-2x-12<0,整理得x2-x-6<0,解得-2<x<3,故不等式-cx，2x-a>0的解集为｛x|-2<x<3｝.一元二次不等式ax2+bx+c>0(aWO)的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c=O的根.针对训练：已知一元二次不等式x24-px+q<0的解集为｛xlgx©,求不等式qx2+px+l>0的解集.解：因为x2+px+q<0的解集为｛x|,所以x尸一言X2三是方程x2+px+q=0的两个实数根，｛11I孑x(w)=q，(p=［,解得|61所以不等式qx2+px+l>0即为二x2+4+l>0,整理得x2-x-6<0,解得66-2<x<3.即不等式qx2+px+l>0的解集为｛x|-2<x<3｝.解简单分式不等式［例4］解下列不等式：⑴殁川；⑵注<3.x-3x+1解：(1)根据商的符号法则，不等式二20可转化成不等式组x-3(%+1)(x-3)>0,303,解这个不等式组,可得xWT或x>3.即原不等式的解集为｛x|xWT或x>3).(2)不等式曳匚<3可化为2-3<0,X+lX+1即工!〈..X+1可将这个不等式转化成2(X-1)(x+l)<0,解得-所以原不等式的解集为｛x|-1<x<1｝.对于分子、分母均含X的不等式,若一侧为0,则可利用符号法则转化为整式不等式或不等式组求解,一定要注意等价转化,特别注意等号能否取到.若有一侧不为0,要先移项将一侧化为0,再转化为整式不等式求解,要注意不可在两边同乘分母,直接去掉分母，因为分母的符号不确定.针对训练：(1)不等式pwo的解集为()2-X{x|T〈x<2}{x|-l^x<2}C.{x|xWT或x22}D.