离散数学(3.5关系及其表示)

2023/2/51离散数学(DiscreteMathematics)第三章集合与关系（SetsandRelations)

3.6关系的闭包运算(ClosureOperations)3.7集合的划分与覆盖(Partition&CoverofSets)3.8等价关系(EquivalentRelations)3.9相容关系(Compatibility

Relations)3.10序关系(OrderedRelations)3.1集合及其运算(Sets&Operationswithsets)

3.2序偶与笛卡尔积(OrderedPairs&CartesianProduct)3.3关系

(Relations)3.4关系的性质(ThePropetiesofRelations)3.5复合关系与逆关系(CompoundRelations&InverseRelations)3.3关系(Relations)3.3.1

关系的定义(ThedefinitionofRelation)3.3.2几种特殊的关系(SeveralspecialRelations)

3.3.3关系的表示(TheexpressionofRelations)第三章集合与关系(Sets&Relations)第三章集合与关系(Sets&Relations)3.3.1

关系的定义(ThedefinitionofRelation)定义3.3.1

笛卡尔积的任意一个子集R称为是由A到B的一个二元关系，R中任意序偶

,可记作或.不在R中任意序偶,可记作或.当A=B时，称R是集合A上的二元关系。例1

设A={a,b}，B={2,5,8}则令因为，，。所以，,和均是由A到B的关系。例2>=例3Q=例4第三章集合与关系(Sets&Relations)例5

设。

由到的关系定义为：当且仅当a整除b时，

有。AB

定义3.3.2

设是由A到B的一个关系，的定义域或前域记作dom，的值域记作ran，分别定义为：显然有

于是

的定义域，值域.3.3.2几种特殊的关系(SeveralspecialRelations)

空关系对任意集合.

所以是由A到B的关系，也是A上的关系，称为空关系。

全域关系因为,,所以是一个由到

的关系,称为由到

的全域关系。是

上的一个关系,称为上的全域关系。常将记作

是上的恒等关系。

恒等关系定义集合上的恒等关系例6

设则是上的全域关系。3.3.3关系的表示(TheexpressionofRelations)第三章集合与关系(Sets&Relations)1.集合表示法用表示集合的列举法或描述法来表示关系。

例7

设A={2,3,4,8},B={1,5,7},用描述法定义由A到B的关系，试用列举法将表示出来。解

例8

有王、张、李、何是某校的老师，该校有三门课程：语文、数学和英语，已知王可以教语文和数学，张可以教语文和英语，李可以教数学，何可以教英语，若记A={王，张，李，何}，B={语文，数学，英语}。那么这些老师与课程之间的对应关系就可以用由A到B的一个关系中的序偶来表示。

={〈王,语文〉,〈王,数学〉,〈张,语文〉,〈张,英语〉,〈李,数学〉,〈何,英语〉}2.矩阵表示法

例7中由A到B的关系可以用一个的矩阵来表示。

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定义3.3.3

设A、B都是有限集，,

，由A到B的关系可以用一个的矩阵来表示，的第i行第j列的元素取值如下：矩阵称为的关系矩阵。1234例9

设，A上的关系

解

则可以用一个的矩阵来表示。3.关系图表示法关系图由结点和边组成例如

例7中的，,则ρ的关系图如下AB例如

例9