机械振动3强迫振动1-4

第三章受迫振动在外部持续激励作用下所产生的振动从外界不断获得能量补偿阻尼消耗的能量，使系统得以维持振动。研究的次序从简到繁：简谐激励、周期激励、非周期激励本章内容：3.1对简谐激励的响应3.2复频率响应3.3隔振3.4振动测量仪器3.5简谐力与阻尼力的功3.6等效粘性阻尼3.7系统对周期激励的响应·傅里叶级数3.8系统对任意激励的响应·卷积积分3.9系统对任意激励的响应·傅里叶积分3.10用拉普拉斯变换法求系统响应·传递函数3.11复频率响应与脉冲响应之间的关系3.1对简谐激励的响应xkcF(t)mkxF(t)（3.1.1）外力幅值外力的激励频率立动力学方程：非齐次微分方程通解齐次微分方程通解非齐次微分方程特解＝＋阻尼自由振动逐渐衰减瞬态振动持续等幅振动稳态振动本节内容先求稳态响应即方程的特解。它也是简谐振动（3.1.2）其中X为稳态响应的振幅，代入方程，得到：由方程非齐次项的形式判断，特解也是简谐函数，设为：φ为相位差，是待定常数。比较方程等号两边同类项系数，得到：分子分母同除以k，并利用频率比（3.1.2）从特解看出（1）线性系统对简谐激励的稳态响应是简谐振动，振动频率等同于激振频率、而相位滞后激振力。（2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质（m,k,c）和激励力的大小和频率，而与初始条件无关.（3.1.7）（3.1.10）得到：常值力F0作用下的静变形放大因子（幅频特性）幅频特性曲线

0123012345随λ

的增大，β

先由小变大，后从大变小.

响应的振幅与静变形相当.引入：稳态响应特性激振频率远大于系统固有频率结论：响应的振幅可能很小.0123012345结论：在λ远离1时，系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的对应于不同值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著在λ

远离1时，稳态响应特性结论：共振，振幅无穷大.（3）当对应于较小值，迅速增大当但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在λ=1附近的区域内，增加阻尼使振幅明显下降,阻尼较强时振幅变化平缓。

0123012345振幅无极值当稳态响应特性（4）对于有阻尼系统，并不出现在λ=1处，而且稍偏左共振峰0123012345相频特性相频特性曲线以λ为横坐标画出曲线相位差响应与激振力近乎同相响应与激振力反相（3）当共振时的相位差为，与阻尼无关0123090180有阻尼单自由度系统几个图形比较外部作用力规律：假设系统固有频率：从左到右：无阻尼时，若λ=1，强迫振动动力学方程为：特解为：无阻尼系统共振时，振幅随时间无限增大；共振现象是工程中需要研究的（3.1.18）响应初相位滞后于激励π/2.重要课题，工程中通常取的区间为共振区，在共振区内振动会很强烈，会导致机械变形过大，甚至破坏。共振时振幅增大过程Otx无阻尼质量-弹簧系统，方程和初始条件为：求系统响应。将初始条件代上式：例3.1-1解：方程的通解为得：方程的解（系统的响应）为方程的全解：初始条件响应自由伴随振动强迫响应特点：以系统固有频率为振动频率如果是零初始条件自由伴随振动强迫响应即使在零初始条件下，也有自由振动与受迫振动相伴发生讨论有阻尼系统对简谐激励的响应(过渡阶段)初始条件响应自由伴随振动，也是衰减的强迫振动利用前述相同的方法，有：①初始条件响应和自由伴随振动x2tx1t两种振动叠加的结果如图。随着时间的推移，暂态响应逐渐消失，而转化为稳态响应。xt瞬态过程稳态过程②稳态振动两部分都是衰减的自由振动暂态振动包括两部分：图示振动系统，刚性杆不计重量，在水平位置平衡，端部受激励例3.1-2解：设钢杆摆角为θ，由动力学得：系统的稳态响应为试列出振动微分方程，并求当ω=ωn时质点的振幅。令质点的振幅为3.2复频率响应xkcF(t)mkxF(t)动力学方程（非齐次微分方程）：（2.1.2）

激励为复变量，其实部和虚部分别表示对系统作用的是余弦激励和正弦激励。外力幅值外力的激励频率F为复数形式复数形式的求解有时更方便

响应x也为复变量，其实部和虚部分别表示系统对余弦激励和正弦激励的响应。稳态响应也是简谐振动（复数形式）：（3.2-3）其中X为稳态响应的复振幅，φ为相位差。代入方程，得到：（3.2-5）H(ω)为激励频率ω的复函数，称为复频率响应（函数）。显见x(t)与F(t)/k成正比，比例系数为：（3.2-6）H(ω)的绝对值是振幅与静变形之比，即放大因子。（3.2-7）为求出相位差，由（3.2-6）式得：对比等号两边同类项系数得：也称相频特性H(ω)又称为幅频特性。不平衡质量激发的强迫振动。P41图3.2-2两个偏心质量m/2以角速度ω按相反方向转动，偏心距e，例3.2-1解：设机器的铅直方向位移为x，动力学方程：求系统强迫振动.机器总质量M。机器的振幅可改为：机械的振动为0.250.5

0.751.02.010100190180支承激励引起的强迫振动。例3.2-2解：设质量只能作铅直方向运动，位移为x，支承的运动为y:幅频曲线01100.10.250.350.51.0可看出：当时，振幅恒为支承运动振幅Y当时，振幅恒小于Y这时，增加阻尼反而使振幅增大3.3隔振

机器设备运行会产生振动，为减少对环境的影响，通常在机器底部加装弹簧、橡胶等，相当于弹簧和阻尼。隔振前机器传到地基的力：隔振材料：k，c隔振后系统响应x：m隔振前kcm隔振后隔振后通过弹簧和阻尼传到地基的力：通过k、c传到地基上的力：kcm隔振后这是实际传递力的力幅与激励力幅之比，称为传递率.也称隔振系数01100.10.250.350.51.0(1)不论阻尼大小，只有当阻尼比时，才有隔振效果.(2)(3)

3.4振动测量仪器基础位移动力方程：振幅：kcm设x

为

m

相对于外壳的相对位移解为：0.250.5