微积分-经管类.-第四版-(吴赣昌)-第一章

1.微积分学:一元微积分2.线性代数

大学数学主要内容多元微积分3.概率与统计如何学习高等数学1.认识高等数学的重要性,培养浓厚的学习兴趣.2.做好预习复习，多做习题3.作业：每两周第一次课上课前提交要求：1）不能抄作业

2）解题过程尽量详细参考书目《高等数学》，高等教育出版社，同济大学数学系编《高等数学精品课堂》，厦门大学出版社，林建华等编著《托马斯微积分》第十版，高等教育出版社，叶其孝等译考试安排期中考试（待定）期末考试，闭卷考，最后两周，1月5日-10日评分：平时（出勤、作业等）20%、期中考试10%，期末考试占70%第一章函数、极限与连续1.1函数一、实数与区间二、邻域三、函数的概念四、函数的特性五、数学建模—函数关系的建立一、实数与区间集合具有某种特定性质的事物的总体.元素组成这个集合的事物称为该集合的元素.集合与元素的关系:由无限个元素组成的集合称为无限集.由有限个元素组成的集合称为有限集.

集合的概念集合举例年在广东地区出生的人.方程的根.全体奇数.抛物线上的所有点.集合的表示方法列举法:即在中按任意顺序、不遗漏、不重复地列出集合的所有元素.例如若仅由有限个元素组成,可记为由方程的根构成的集合,可记为描述法:所具有的特征由方程的根构成的集合,可记为全体奇数的集合,可记为就称集合和相等,若且记为记为则称集合是的真子集,若且空集不包含任何元素的集合,记为规定:空集为任何集合的子集.集合之间的关系若则称是的子集,记为集合的运算设是两个集合,定义与的并集(简称并)与的交集(简称交)与的差集(简称差)或AxxÎ|{BA=U且AxxÎ|{BA=IBA=-且AxxÎ|{集合的运算当所研究的问题限定在一个大的集合中进行,所研究的其他集合都是的子集.定义的余集或补集例如,在实数集中,集合的余集就是或集合的基本运算规律设为任意三个集合,则有下列法则成立:交换律结合律分配律对偶律数集分类:自然数集实数集整数集有理数集数集间的关系:注:如无特别说明,本课程中提到的数都是实数.数集元素都是数的集合称为数集.区间闭区间半开半闭区间特别地,全体实数的集合也可表示为无限区间开区间二、邻域定义设与是两个实数,且数集称为点的邻域.记为记为即点的去心的邻域,以为中心的任何开区间均是点的邻域,记为).(aU三、函数的概念定义设和是两个变量,是一个给定的数集.如果对于每个数变量按照一定的法则总有确定的数值和它对应,则称是的函数,记作因变量自变量其中,数集称为函数的定义域,记为即函数值全体组成的集合称为函数的值域,记为或即注:构成函数的要素为:定义域与对应法则两函数相等它们的定义域和对应法则均相同.例判断下面函数是否相同,并说明理由.与与定义域的确定:对实际问题,根据问题的实际意义确定;对抽象函数表达式,约定:定义域是使算式有意义的一切实数组成的集合,这种定义域又称为函数的自然定义域.例如,函数的图形:坐标平面上的点集称为函数的图形.函数的表示法表格法自变量的值与对应的函数值列成表格的方法图像法在坐标系中用图形来表示函数关系的方法公式法(解析法)将自变量和因变量之间的关系用数学表达式(又称为解析表达式)来表示的方法.例如,某水文站统计了某河流在40年内的平均月流量如下表:月平均月流量(亿立方米)30.039.075.035.044.072.03.44.48.10.172.050.0定义域为数集为自然数}函数的表示法根据函数的解析表达式的形式不同,函数也可分为以下三种:显函数函数由的解析表达式直接表示.例如隐函数关系由方程来确定.例如,函数的自变量与因变量的对应分段函数函数在其定义域的不同范围内,具有不同的解析表达式.完例1绝对值函数定义域值域注:常用绝对值的运算性质:设则或完其他分段函数举例符号函数当当当取整函数表示不超过的最大整数.狄利克雷函数当是有理数时当是无理数时四、函数的特性设函数的定义域为数集若使得恒有成立,则称函数在上有上界若使得恒有成立,则称函数在上有下界4.1函数的有界性由上述定义易见有下列结论:有下界.在上有界在上既有上界又若使得恒有成立,则称函数在上有界,否则称为无界.例4证明函数在上是有界的;函数在上是无界的.证所以故对一切都成立.由上可知题设函数在上是有界函数.因为例证明函数在上是无界的.证对于无论怎样大的总可在内找到相应的例如取使得所以在上是无界函数.完函数的单调性设函数的定义域为区间如果对于区间上任意两点及当时,恒有则称函数在区间上是单调增加函数;如果对于区间上任意两点及当时,恒有则称函数在区间上是单调减少函数;函数的单调性例题分析:在内是单调增加的,在内是单调减少的,在内不是单调的.在内是单调增加的.完例5证明函数在内是单调增加的函数.证

在内任取两点且则因为是内任意两点,所以又因为故所以在内是单调增加的.函数的奇偶性设函数的定义域关于原点对称。若有则称为偶函数；例如，函数是奇函数；函数是偶函数.若有则称为奇函数.例6判断函数的奇偶性.解由定义知为奇函数.例判断函数的奇偶性.解因为故由定义知为偶函数.函数的周期性设函数的定义域为如果存在一个不为零的数使得有且则称为周期函数,称为的周期.通常说的周期函数的周期是指其最小正周期.例如,都是以为周期的周期函数.例7因为解故按周期函数的定义,设函数是周期的周期函数,数的周期,其中为常数,且的周期为试求函例若对其定义域上的一切恒有则称对称于试证明:则是以为周期的周期函数.对称于及若证由对称于及则有在式中,把换为得由式可见,以为周期.五、数学建模函数关系的建立在解决实际应用问题时,首先要将所要解决的问题量化,从而建立起该问题的数学模型,即建立函数关系.要把实际问题中变量之间的函数关系正确抽象出来,首先应分析哪些是常量,哪些是变量,然后确定选取哪个为自变量,哪个为因变量,最后根据题意建立它们之间的函数关系,同时给出函数的定义域.注:应用问题的定义域,除考虑函数的表达式外还要考虑变量在实际问题中的意义.例8某工厂生产某型号车床,年产量为台,干批进行生产,每批生产准备费为元,设产品均匀投入市场,且上一批用完后立即生产下一批,库存量为批量的一半.设每年每台库存费为元.然,生产批量大则库存费高;生产批量少则批数增多,因而生产准备费高.年中库存费与生产准备费的和为了选择最优批量,与批量的函数关系.分若即平均显试求出一解设批量为库存量与生产准备费的和为因年产量为所以每年生产的批数为(设其为整数).则生产准备费为因库存量为故库存费为因此可得定义域为(台数)只取定义域中的正整数因子.例9某运输公司规定货物的吨公里运价为:在公里以内,每公里元,超过部分每公里为元.求运价和里程之间的函数关系.解根据题意可列出函数关系如下:这里运价和里程的函数关系示的,定义域为是用分段函数表内容小结1.预备知识集合的概念，集合的运算，区间，邻域.2.函数的概念函数的定义，函数的运算，求函数的定义域，求函数表达式等.3.函数的特性有界性，单调性，奇偶性，周期性.1.用分段函数表示函数2.判别函数的奇偶性.课堂练习1.用分段函数表示函数解根据绝对值定义可知当即时,当即时,因此有即.2.判别函数的奇偶性.解当时,有当时,有故是奇函数.作业习题1-1Ex.1(1)(3)(5)Ex.2(2)(4)Ex.4(2)Ex.7(3)Ex.8(1)1.2初等函数一、反函数二、基本初等函数三、复合函数四、初等函数一、反函数设函数的定义域为值域为一般地,如果在上不仅单值,调,则把看作自变量,看新函数作因变量,称为的反函反函数的定义域为值域为相对反函数,原来的函数称为直接函数.而且单得到的数.注意(1)习惯上仍将反函数记为(2)在同一个坐标平面内,直接函数和反函数的图形关于直线是对称的.例1求函数的反函数.例已知(符号函数)求的反函数.解由题设,易得解故所求反函数为.二、基本初等函数1、幂函数2、指数函数3、对数函数4、三角函数正弦函数余弦函数正切函数余切函数5、反三角函数

幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.三、复合函数引例设定义设函数的定义域为而函数的值域为若则称函数为的复合函数.注:(1)函数与函数构成的复合函数即通常记为(2)不是任何两个函数都可以复合成一个复合函例如数的.(3)复合函数可以由两个以上的函数经过复合构例如成的.例2设解求例3设求解分段函数的复合运算例5设求解解当时,或或当时,或或所以.例4将下列函数分解成基本初等函数的复合:解是由四个函数是由三个函数复合而成;复合而成;是由六个函数复合在而成.4.初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数

.并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.分段函数一般不是初等函数，如符号函数，取整函数.1.反函数2.复合函数3.基本初等函数幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数.4.函数的分类内容小结1.下列函数能否复合为函数若能,写出其解析式、定义域、值域.课堂练习2.分析函数的复合结构.1.下列函数能否复合为函数若能,写出其解析式、定义域、值域.解不能.的值域与的定义域之交集是空集.完2.分析函数的复合结构.解所给函数是由复合而成.补充题求解法1令则取代入得设取同样可得解法2因为所以所以作业P26Ex.1(2)Ex.2,Ex.4,Ex.5,Ex.91.3常用经济函数单利复利多次付息贴现需求函数，供给函数……一、单利与复利利息是指借款者向货款者支付的报酬,它是根据本金的数额按一定比例计算出来的.单利计算公式设初始本金为(元),银行年利率为则第一年末本利和为则第二年末本利和为第年末的本利和为复利计算公式设初始本金为(元),银行年利率为则第一年末本利和则第二年末本利和本金利息若年末的本利和为例1现有初始本金100元,若银行年储蓄利率为7%,问:(1)按单利计算,3年末的本利和为多少?(2)按复利计算,3年末的本利和为多少?(3)按复利计算,需多少年能使本利和超过初始本金解(1)已知由单利计算公式得(元)即3年末的本利和为121元.(2)由复利计算公式得(元)的一倍?例1现有初始本金100元,若银行年储蓄利率为7%,问:(3)按复利计算,需多少年能使本利和超过初始本金解的一倍?即需11年本利和可超过初始本金一倍.(3)若年后的本利和超过初始本金的一倍,即要单利付息情况因每次的利息都不计入本金,故若一年分次付息,则年末的本利和为即年末的本利和与支付利息的次数无关.二、多次付息设初始本金为(元),年利率为息.若一年分次付复利付息情况一年末的本利和为易见本利和是随的增大而增加的.本利和为而年末的三、贴现票据的持有人,为在票据到期以前获得资金,从票面金额中扣除来到期期间的利息后,得到所余金额的现金称为贴现.贴现考虑更一般的问题:确定第年后价值为元钱的现值.假设在这年之间复利年利率不变.利用复利计算公式有得到第年后价值为元钱的现值为式中表示第年后到期的票据金额,表示贴现率,而表示现在进行票据转让时银行付给的贴现金额.例2某人手中有三张票据,其中一年后到期的票据金额是500元,二年后到期的是800元,五年后到期的是2000元,已知银行的贴现率6%,现在将三张票据向银行做一次性转让,银行的贴现金额是多少?解由贴现计算公式,贴现金额为其中故(元).四、需求函数需求函数是指在某一特定时期内,市场上某种商品的各种可能的购买量间的数量关系.和决定这些购买量的诸因素之其中,表示需求量,价格.需求函数的反函数表示习惯上将价格函数也统称为需求函数.称为价格函数,而减少,因此,调减少函数.例如,函数称为线性需求函数(如图).一般地,商品的需求量随价格随价格的上涨的下降而增加,需求函数是单五、供给函数供给函数是指在某一特定时期内,市场上某种商品的各种可能的供给量和诸因素之间的数量关系.其中,表示需求量,表示价格.供给函数以决定这些供给量的供给函数一般地,商品的供给量随价格的上涨而增加,随价格的下降而减少,因此,供给函数是单调增加函数.例如,函数称为线性供给函数(如图).六、市场均衡对一种商品而言,如果需求量等于供给量,则这种商品就达到了市场均衡.以线性需求函数和线性供给函数为例,令这个价格称为该商品的市场均衡价格.称为市场均当市场均衡时有衡数量.例3某种商品的供给函数和需求函数分别为求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.解由均衡条件得即市场均衡价格为7,市场均衡数量为165.例4某批发商每次以160元/台的价格将500台电扇批发给零售商,在这个基础上零售商每次多进100台电扇,则批发价相应降低2元,批发商最大批发量为每次1000台,试将电扇批发价格表示为批发量的函数,并求出零售商每次进800台电扇时的批发价格.解由题意看出所求函数的定义域为[500,1000].已知每次多进100台,价格减少2元,设每次进电扇台,则每次批发价减少元/台,数为即所求函当时,(元/台)七、成本函数产品成本是以货币形式表现的企业生产产品的全部费用支出,成本函数表示费用总额与产量(或销售量)之间的依赖关系,产品成本可分为固定成本和变动成本两部分.一般地,数,即称其为成本函数.当产量时,对应的成本函以货币计值的(总)成本是产量的函和销售数值就是产品的固定成本值.设为成本函数,称为单位成本函数或平均成本函数.成本函数是单调增加函数,其图像称为成本曲线.八、收入函数与利润函数销售某种商品的收入等于商品的单位价格乘以销售量即称其为收入函数.而销售利润等于收入减去成本即当时,生产者盈利;当时,生产者亏损;当时,生产者盈亏平衡;使的点称为盈亏平衡点(又称为保本点).称其为利润函数1.(1)设手表的价格为70元，销售量为10000只，若手表每只提高3元，需求量就减少3000只，求需求函数(2)设手表价格为70元，手表厂可提供10000只手表，当价格每只增加3元时，手表厂可多提供300只，求供应函数(3)求市场均衡价格和市场均衡数量.课堂练习内容小结1.利息的计算2.贴现设在考察的年间复利年利率不变，则第年后价值为元钱的贴现金额为3.常用经济函数如需求函数、供给函数、成本函数、收入函数与利润函数等.作业习题1-3Ex.2,Ex.5,Ex.8,Ex.91.4数列的极限极限概念数列的定义数列的极限收敛数列的性质一、极限概念的引入1、割圆术:割之弥细,所失弥少,割之又割,以至不可割,则与圆周合体而无所失矣.刘徽2、截丈问题:一尺之棰,日截其半,万世不竭.二、数列的定义定义按一定次序排列的无穷多个数称为无穷数列,简称数列.可简记为其中的每个数称为数列的项,称为通项(一般项).数列举例:注:1.它在数轴上依次取值2.数列可看作数轴上一个动点,的函数:数列可看作自变量为正整数三、数列的极限如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：几何解释:其中例1证明证故对任给要使只要即所以,则当时,就有即由若取例证明其中证任给若则若欲使必须即故对任给若取则当时,就有从而证得例3用数列极限定义证明证由于只要即因此,对任给的当时,即要使取有成立,四、收敛数列的有界性定义对数列若存在正数使对一切自然数恒有则称数列有界,否则,称为无界.例如,数列有界;数列无界.几何解释:存在使得数轴上对应于有界数列的点都落在闭区间上.证设由定义,若取则使当时,恒有即:若记则对一切自然数皆有故有界.注意:有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.定理1收敛的数列必定有界.五、极限的唯一性定理收敛数列的极限是唯一的.证用反证法,设由定义,使得当时,恒有当时,恒有取则当时有上式仅当时才能成立.证毕.例4证明数列是发散的.证设由定义,对于使得当时,恒有即当时,区间长度为1.而无休止地反复取1,-1两个数,不可能同时位于长度为1的区间内.因此该数列是发散的.证毕.注:此例同时也表明:有界数列不一定收敛.定理3(收敛数列的保号性)若且(或),则存在正整数当时,都有(或).证只证的情形.按定义,对正整数当时,有证毕.六、收敛数列的保号性推论若数列从某项起有(或且则(或证只证数列从第项起有情形.用反证法.若则由定理3,正整数有取时,当按假定有但按定理3有矛盾.故必有数列从某项起有的情形,可以类似地证明.当时,定义在数列中任意抽取无限多项项在原数列中的先后次序,这样得到的一个数列称为原数列的子数列(或子列).注:是中的第项,是原数列中第项,定理(收敛数列与其子数列间的关系)如果数列收敛于那么它的任一子数列也收敛,且极限也是并保持这些七、子数列的收敛性注:定理4的逆否命题知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,则数列是发散的.例如,考察数列其子数列收敛于1,而子数列收敛于-1,因此数列是发散的.此例说明:一个发散的数列也可能有收敛的子数列.内容小结1.数列极限的概念理解极限的定义与极限的思想.当时，2.定义论证方法对找使当时，总有具体运用时，常用分析法倒推:具体运用时，常用分析法倒推:即从出发，将不等式左端变形解出取然后用定义叙述和下结论.3.数列极限的主要性质有界性，唯一性，保号性，子数列.2.定义论证方法再令其若干步后内容小结作业P40Ex.1,Ex.2(2),Ex.3,Ex.41.5函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向有限值时函数的极限函数极限的性质一、自变量趋向无穷大时函数的极限观察函数当时的变化趋势.问题:如何用数学语言刻画下述过程:定义:设函数当大于某一正数时有定义.如果对任意给定的正数(不论它多么小),总存在着正数使得对于满足不等式的一切函数“无限接近”确定值)(xfA.当时,®x¥恒有那么常数就叫函数当时的极限,记作或(当注:根据上述定义,可用语言描述如下:“使得时,恒有”定义的几何解释:单侧极限:情形:即使当时,恒有情形:使当时,恒有定理1且即例1证明证因为于是可取则当时,恒有故证毕.例2用极限定义证明证对于任意给定的要使只要即就可以了.因此，对于任意给定的取则当时，恒成立.所以注：同理可证：而当时，时，当二、自变量趋向有限值时函数的极限问题:如何用数学语言描述下述过程:在的过程中,函数无限趋近于确定值定义设函数在点的某一去心邻域内有定义.若对任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数使当时,函数都满足不等式则常数就称为函数当时的极限.记作或(当de-定义使当时,恒有注意:1.无关;2.与任意给定的正数有关.定义的几何解释:在点处是否有定义函数极限与例4(1)证明例4(2)证明证任给取当时，成立，例5证明证函数在点处没有定义,任给要使只要取则当时,就有例证明:当时,证任给要使只要且则当时,就有取,三、左右极限左极限使当时,恒有记作或右极限使当时,恒有记作或注意定理例验证不存在.证左右极限存在但不相等.不存在.例6设求解因为即有所以不存在.例7设求解在处没有定义,而故不存在.四、函数极限的性质唯一性定理若存在,则极限唯一.有界性定理若则存在常数和使得当时,有保号性定理若且(或则使得当时,有(或推论若且在的某去心邻域内(或则(或五、子序列收敛性定义设在过程可以是或中有数列使得时则称数列为函数当时的子序列.定理若数列是当时的一个子序列,则有函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是都存在且相等.例如,设则例如证明不存在.它的任何子列的极限证取且且,而二者不相等,故不存在.2.若且问：能否保证有的结论？试举例说明.课堂练习1.设函数试问函数在处的左、右极限是否存在？当时，的极限是否存在？1.解设函数试问函数在处的左、右极限是否存在？当时，的极限是否存在？左极限存在.右极限存在.不存在.2.若且问：能否保证有的结论？试举例说明.解不能保证.例如，设有但1.函数极限的概念内容小结时刻，从该时刻以后，恒有过程时刻过程时刻从此时刻以后从此时刻以后内容小结2.定义论证方法对找（或使当（或时，总有具体运用时，常用分析法倒推:即从出发，将不等式左端变形若干步后再令其解出(或取(或然后用定义叙述和下结论.内容小结2.定义论证方法3.函数极限的主要性质函数极限的唯一性局部有界性局部保号性.内容小结作业P46Ex.2，Ex.3Ex.4（2）（4）1.6无穷小与无穷大无穷小无穷大运算性质无穷小与无穷大的关系一、无穷小定义极限为零的变量(函数)称为无穷小.例如:时的无穷小.函数是当时的无穷小.函数是当时的无穷小.函数是当注意:(1)无穷小是变量,不能与很小的数混淆.(2)零是可以作为无穷小的唯一常数.其中是给出了函数在邻近处的近似表达式:无穷小与函数极限的关系定理时的无穷小.当注:该定理在后续课程中有重要的应用,其意义在于:(1)(2)误差为将一般极限问题转化为无穷小问题;当时例证根据定义证明：为无穷小.要使只须取时，则当

恒有证毕.二、无穷小的运算性质定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.例如,是无穷小,但个之和为1,不是无穷小.时,定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.常数与无穷小的乘积是无穷小.例如当时,变量都是无穷小.完例1解所以,求因为而当时,是无穷小量,是有界量三、无穷大在某一变化过程中,绝对值无限增大的变量称为无穷大.定义如果对于任意给定的正数(不论它多么大)总存在正数(或正数),使对于满足不等式(或)的一切所对应的函数值都满足不等式则称函数当(或)时为无穷大,记作特殊情形:正无穷大,负无穷大:注意1.不能与很大的数混淆;3.反之不然.无穷大是变量,2.认为极限存在;切勿将无穷大是一种特殊的无界变量.例2证证明要使只要取就有则当时,所以例3证但不是无穷大.取的两个子列：是一个无界变量，当时，且则故使即是无界的；但所以不是无穷大.四、无穷小与无穷大的关系定理4在自变量变化的同一变化过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.意义无穷大的讨论可归结为关于无穷小的讨论.例4解求因为根据无穷小与无穷大的关系有1.求2.(1)设时，是有界量，是无穷大量，证明：是无穷大量.(2)设时，是无穷大量.证明：是无穷大量.课堂练习是一个正的常数)，1.求解因为于是，根据无穷小与无穷大的关系有2.(1)设时，是有界量，是无穷大量，证明：是无穷大量.(2)设时，是一个正的常数)，是无穷大量.证明：是无穷大量.证(1)因为当时，是有界量，是无穷小量，故是无穷小量.又当时，是无穷小量与有界量之积.故是无穷小量.从而当时，是无穷大量.(2)因为当时，(有界量),是无穷小量，所以是无穷小量.为无穷大量.从而当时是内容小结1.无穷小及其基本性质定义:极限为零的变量(函数)称为无穷小.无穷小与函数极限的关系:无穷小的运算性质:两个定理三个推论.2.无穷大及其基本性质绝对值无限增大的变量称为无穷大.即（或无穷小与无穷大的关系:在同一过程中，无穷大的倒数为无穷小；3.几点注意（1）无穷小(大)是变量，不能与很小(大)的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和(乘积)未必是无穷小；（3）无界变量未必是无穷大.作业EX.1,Ex.2,Ex.41.7极限运算法则四则运算法则复合函数运算法则定理设则(1)(2)(3)证其中由无穷小运算法则,得(1)成立.(2)成立.注意到又于是存在某个时刻,从该时刻起故有界,(3)成立.推论1如果存在,而为常数,则即:常数因子可以提到极限记号外面.推论2如果存在,而是正整数,则例1求解注：设则有例2求解注：设且则有当时，则商的法则不能应用.例3求解又由无穷小与无穷大的关系，得商的法则不能用.例4求解时，分子和分母的极限都是零先约去不为零的无穷小因子后再求极限.消去零因子法例5求解时，分子和分母的极限都是无穷大先用去除分子分母，分出无穷小，再求极限.无穷小因子分出法注：当和为非负整数时，有无穷小因子分出法：以分母中自变量的最高次幂除分子和分母，以分出无穷小，然后再求极限的方法.例6计算时，分子分母均趋于此类极限也不可把分子分母同除以绝对再用极限运算法则.解能直接用极限运算法则，值最大的项，例7求解本题考虑无穷多个无穷小之和.先变形再求极限例9已知求解先求因为所以此外，易求得例计算解因分母的极限为0，故不能应用极限运算法则，而要先对函数做必要的变形，因分子中含有根式，通常用根式有理化，然后约去分子分母中的公因子.例计算下列极限：(1)(2)解(1)由于而是有界量，由有界量与无穷小之积知为无穷小解(2)因为又从而即为有界量，所以复合函数的极限运算法则设函数是由函数与函域内有定义,若在点的某去心邻当时,有则且存在注:(1)将换成或而把换成可得到类似定理;定理2复合而成,数(2)若函数和满足该定理的条件,则作代换可把求化为求其中定理表明:例10求极限解一令则当时，故原式解二例计算解时，与的极限均不存在，要先用三角公式变形：但不能认为它们差的极限也不存在，综合题已知求之值.解因故解得1.求极限：课堂练习2.在某个过程中，若有极限，无极限，那么是否有极限？为什么？1.求极限：解(1)原式（2）2.在某个过程中，若有极限，无极限，那么是否有极限？为什么？解没有极限.假设有极限，有极限，由极限运算法则可知：与已知矛盾，故假设错误.必有极限,内容小结1.极限的四则运算法则设则2.复合函数的极限设且又则3.极限求法小结a.多项式与分式函数代入法求极限；b.消去零因子法求极限；c.无穷小因子分出法求极限；d.利用无穷小运算性质求极限；e.利用左右极限求分段函数极限.内容小结作业EX.1(单号题）Ex.2（3）Ex.3Ex.51.8极限存在准则两个重要极限夹逼准则单调有界准则两个重要极限连续复利一、夹逼准则准则Ⅰ如果数列及满足下列条件:(1)(2)那么数列的极限存在,且准则Ⅰ`如果当或时,有(1)(2)那么存在,且等于例1解求又由夹逼准则得例解求设显然,又由夹逼准则知即例2解求由易见又所以例解求其中因此而所以例解求令则因此,由于所以故例解求证(1)当时,故(2)当时,设显然当时,由例3知所以(3)当时,总存在一个正数使得由知(2)所以综合上述证明可知例求解由易见对任意自然数有故而所以例3求极限解因为故由准则I,故得例解求极限当时,因此,当时,由夹逼定理可得当时,有由夹逼定理可得从而二、单调有界准则如果数列满足条件单调增加单调减少单调数列准则Ⅱ单调有界数列必有极限.例如,单调增加数列:单调减少数列:例4证设有数列求显然是单调递增的.下面利用数学归纳法证明有界.因为假定则所以是有界的.从而存在.由递推关系得即故解得(舍去).所以例解设为常数,数列由下列定义:其中为大于零的常数,求先证明数列的极限的存在性.由即由知因此又界.即有下故数列单调递减,由极限存在准则知存在.不妨设对式子两边取极限得:解之得即三、两个重要极限(1)例5解求例解求例6解求原式例解下列运算过程是否正确:这种运算是错误的.当时,本题所以不能应用上述方法进行计算.正确的作法如下.令则当时,于是例解计算例解计算例解计算(2)定义类似地,例8解求例9解求例解求例11解求例解求例解计算例解求极限令则当时,又故四、连续复利设初始本金为(元),年利率为按复利付息,一年分次付息,则第年末的本利和为若利用二项展开式,有因而因为所以,本金为按名义年利率不断计算复利,则年后的本利和注:连续复利的计算公式在其它许多问题中也常有应用，如细胞分裂、树木增长等问题.例一投资者欲用1000元投资5年,设年利率为试分别按单利、复利、每年按4次复利和连续复利付息方式计算,到第5年末,该投资者应得的本利和解按单利计算(元).按复利计算(元).按每年计算复利4次计算(元).按连续复利计算(元).1.求极限课堂练习2.求极限1.求极限解2.求极限解内容小结1.夹逼准则如果数列及满足下列条件:那么数列的极限存在，且2.单调有界准则单调有界数列必有极限，即单调增加有上界或减少有下界的数列必有极限.单调3.两个重要极限1.夹逼准则2.单调有界准则内容小结作业EX.1(单号题）Ex.2(单号题）Ex.5(1)Ex.6Ex.91.9无穷小的比较无穷小比较的概念等价无穷小一、无穷小比较的概念引例当时,都是无穷小.比要快得多;比大致相同;无穷小比的极限不同,反映了趋向于零的快慢程度不同.定义设是同一过程中的两个无穷小,且(1)称是比高阶的无穷小,记作(3)同阶的无穷则称与小.特别地,若则称与是等价的若若(2)若称是比低阶的无穷小.记作穷小.无(4)则称是的k阶无穷小.若例1证明：当时，为的四阶无穷小.解故当时，为的四阶无穷小.例2当时，求关于的阶数.解当时，为的三阶无穷小.完二、常用等价无穷小根据等价无穷小的定义,可以证明,当时,有下列常用等价无穷小关系:例3证明：证令则且时，因此即有等价关系上述证明同时也证明了等价关系定理1（等价无穷小替换定理）存在,则证注:(1)(2)完不能滥用等价无穷小代换;对于代数和中各无穷小不能分别替换.设是同一过程中的无穷小,且例4求解当时，故例求解当时，故例5求错解当时，原式正解当时，故完例求解先用对数性质化简分子，得原式因为当时，有所以原式例6计算解由于时，故例计算解注意到当时，所以例计算解原式定理2与是等价无穷小的充分必要条件是证必要性设则因此,即充分性设则因此,例7求解原式1.求极限课堂练习2.任何两个无穷小量都可以比较吗?1.求极限解(令2.任何两个无穷小量都可以比较吗?解不能.当时,都是无穷小量,但不存在且不为无穷大,故当时,和不能比较.例如,作业Page67EX.4Ex.51.10函数的连续与间断函数的连续性左连续与右连续函数的间断点定义3设函数在内有定义,如果当时的极限存在,且等于它在点处的函数值即那么就称函数在点处连续.定义设函数在内有定义,若使当时,恒有那么就称函数在点处连续.一、函数的连续性函数的增量设函数在内有定义,称为自变量相对于点的增量.称为函数相对于的增量.或那么就称函数在点处连续,称为的连续点.连续的定义定义1如果当自变量的增量趋向于零时,对应的函数的增量设函数在内有定义,也趋向于零,即例1试证函数在处连续.证又由定义2知，函数在处连续.例设解为使在处连续，与应如何取值？因为为使在处连续，只要而要使存在，须即得代入即当时，在连续.例是定义于上的单调增加函数，若存在，证设由于单调增加，则当时，当时，由此可见，即因此在连续.证明在连续.二、左右连续若函数在内有定义,且则称在点处左连续;若函数在内有定义,且则称在点处右连续.定理函数在处连续的充要条件是函数在处既左连续又右连续.例2已知函数在点处连续，求的值.解因为点处连续，则即例取何值时，在处连续.解要使必须故当且仅当时，函数处连续.在三、连续函数与连续区间在区间内每一点都连续的函数,叫做在该区间内的连续函数,或者说函数在该区间内连续.如果函数在开区间内连续,并且在左端点处右连续,在右端点处左连续,则称连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,有理整函数在区间内是连续的.函数在闭区间],[ba上连续.,例3证即函数对任意都是连续的.证明函数在区间内连续.当时，四、函数的间断点函数在点处连续必须满足的三个条件:在点处有定义;存在;若上述三个条件中有一个不满足,则称函数在点处不连续(或间断),连续点(或间断点).并称点为

的不第一类间断点设点为的间断点.但左极限及右极限都存在,则称为的第一类间断点.当时,间断点.当定义,则称点为的可去间断点.称为的跳跃或在点处无第二类间断点如果在点处的左、右极限至少有一个不存在,则称点为函数的第二类间断点.常见的第二类间断点有(在的过程中,无限振荡,极限不存在).(例)振荡间断点和无穷间断点例