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文档简介
2023年中考数学模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.1﹣的相反数是()A.1﹣ B.﹣1 C. D.﹣12.下列运算正确的()A.(b2)3=b5 B.x3÷x3=x C.5y3•3y2=15y5 D.a+a2=a33.如图,在平面直角坐标系xOy中,点C,B,E在y轴上,Rt△ABC经过变化得到Rt△EDO,若点B的坐标为(0,1),OD=2,则这种变化可以是()A.△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移5个单位长度B.△ABC绕点C逆时针旋转90°,再向下平移5个单位长度C.△ABC绕点O顺时针旋转90°,再向左平移3个单位长度D.△ABC绕点O逆时针旋转90°,再向右平移1个单位长度4.抛物线y=mx2﹣8x﹣8和x轴有交点,则m的取值范围是()A.m>﹣2 B.m≥﹣2 C.m≥﹣2且m≠0 D.m>﹣2且m≠05.下列各数:π,sin30°,﹣,其中无理数的个数是()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.在六张卡片上分别写有,π,1.5,5,0,六个数,从中任意抽取一张,卡片上的数为无理数的概率是()A. B. C. D.7.在平面直角坐标系中,函数的图象经过()A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限8.如图数轴的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c.若|a﹣b|=3,|b﹣c|=5,且原点O与A、B的距离分别为4、1,则关于O的位置,下列叙述何者正确?()A.在A的左边 B.介于A、B之间C.介于B、C之间 D.在C的右边9.化简-32A.﹣23B.﹣23C.﹣610.若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表:x﹣2﹣1012y830﹣10则抛物线的顶点坐标是()A.(﹣1,3) B.(0,0) C.(1,﹣1) D.(2,0)11.cos60°的值等于()A.1 B. C. D.12.如图是我市4月1日至7日一周内“日平均气温变化统计图”,在这组数据中,众数和中位数分别是()A.13;13 B.14;10 C.14;13 D.13;14二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13.如图,已知O为△ABC内一点,点D、E分别在边AB和AC上,且,DE∥BC,设、,那么______(用、表示).14.如图,设△ABC的两边AC与BC之和为a,M是AB的中点,MC=MA=5,则a的取值范围是_____.15.分解因式:ax2﹣2ax+a=___________.16.若正六边形的内切圆半径为2,则其外接圆半径为__________.17.下图是在正方形网格中按规律填成的阴影,根据此规律,则第n个图中阴影部分小正方形的个数是.18.若分式方程的解为正数,则a的取值范围是______________.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.(6分)老师布置了一个作业,如下:已知:如图1的对角线的垂直平分线交于点,交于点,交于点.求证:四边形是菱形.某同学写出了如图2所示的证明过程,老师说该同学的作业是错误的.请你解答下列问题:能找出该同学错误的原因吗?请你指出来;请你给出本题的正确证明过程.20.(6分)某乡镇实施产业扶贫,帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚.到了收获季节,已知该蜜柚的成本价为8元/千克,投入市场销售时,调查市场行情,发现该蜜柚销售不会亏本,且每天销售量(千克)与销售单价(元/千克)之间的函数关系如图所示.(1)求与的函数关系式,并写出的取值范围;(2)当该品种蜜柚定价为多少时,每天销售获得的利润最大?最大利润是多少?(3)某农户今年共采摘蜜柚4800千克,该品种蜜柚的保质期为40天,根据(2)中获得最大利润的方式进行销售,能否销售完这批蜜柚?请说明理由.21.(6分)已知:如图,E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE.求证:(1)△AFD≌△CEB.(2)四边形ABCD是平行四边形.22.(8分)如图,抛物线与x轴相交于A、B两点,与y轴的交于点C,其中A点的坐标为(﹣3,0),点C的坐标为(0,﹣3),对称轴为直线x=﹣1.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P在抛物线上,且S△POC=4S△BOC,求点P的坐标;(3)设点Q是线段AC上的动点,作QD⊥x轴交抛物线于点D,求线段QD长度的最大值.23.(8分)已知AC=DC,AC⊥DC,直线MN经过点A,作DB⊥MN,垂足为B,连接CB.(1)直接写出∠D与∠MAC之间的数量关系;(2)①如图1,猜想AB,BD与BC之间的数量关系,并说明理由;②如图2,直接写出AB,BD与BC之间的数量关系;(3)在MN绕点A旋转的过程中,当∠BCD=30°,BD=时,直接写出BC的值.24.(10分)某商场经营某种品牌的童装,购进时的单价是60元.根据市场调查,在一段时间内,销售单价是80元时,销售量是200件,而销售单价每降低1元,就可多售出20件.写出销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式;写出销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式;若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元,且商场要完成不少于240件的销售任务,则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少?25.(10分)如图,已知点A(﹣2,0),B(4,0),C(0,3),以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过A,B,C三点.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E,P为第一象限内抛物线上一点,过点P作x轴的垂线,交线段BC于点F,若四边形DEFP为平行四边形,求点P的坐标.26.(12分)(1)计算:(﹣2)﹣2+cos60°﹣(﹣2)0;(2)化简:(a﹣)÷.27.(12分)我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题:“一条竿子一条索,索比竿子长一托,折回索子却量竿,却比竿子短一托”其大意为:现有一根竿和一根绳索,用绳索去量竿,绳索比竿长5尺;如果将绳索对半折后再去量竿,就比竿短5尺.求绳索长和竿长.
参考答案一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1、B【解析】
根据相反数的的定义解答即可.【详解】根据a的相反数为-a即可得,1﹣的相反数是﹣1.故选B.【点睛】本题考查了相反数的定义,熟知相反数的定义是解决问题的关键.2、C【解析】分析:直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、单项式乘以单项式和合并同类项法则.详解:A、(b2)3=b6,故此选项错误;B、x3÷x3=1,故此选项错误;C、5y3•3y2=15y5,正确;D、a+a2,无法计算,故此选项错误.故选C.点睛:此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算、单项式乘以单项式和合并同类项,正确掌握相关运算法则是解题关键.3、C【解析】
Rt△ABC通过变换得到Rt△ODE,应先旋转然后平移即可【详解】∵Rt△ABC经过变化得到Rt△EDO,点B的坐标为(0,1),OD=2,∴DO=BC=2,CO=3,∴将△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移3个单位长度,即可得到△DOE;或将△ABC绕点O顺时针旋转90°,再向左平移3个单位长度,即可得到△DOE;故选:C.【点睛】本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移的知识,解题的关键在于利用旋转和平移的概念和性质求坐标的变化4、C【解析】
根据二次函数的定义及抛物线与x轴有交点,即可得出关于m的一元一次不等式组,解之即可得出m的取值范围.【详解】解:∵抛物线和轴有交点,,解得:且.故选.【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的定义以及解一元一次不等式组,牢记“当时,抛物线与x轴有交点是解题的关键.5、B【解析】
根据无理数的三种形式:①开方开不尽的数,②无限不循环小数,③含有π的数,找出无理数的个数即可.【详解】sin30°=,=3,故无理数有π,-,故选:B.【点睛】本题考查了无理数的知识,解答本题的关键是掌握无理数的三种形式:①开方开不尽的数,②无限不循环小数,③含有π的数.6、B【解析】
无限不循环小数叫无理数,无理数通常有以下三种形式:一是开方开不尽的数,二是圆周率π,三是构造的一些不循环的数,如1.010010001……(两个1之间0的个数一次多一个).然后用无理数的个数除以所有书的个数,即可求出从中任意抽取一张,卡片上的数为无理数的概率.【详解】∵这组数中无理数有,共2个,∴卡片上的数为无理数的概率是.故选B.【点睛】本题考查了无理数的定义及概率的计算.7、A【解析】【分析】一次函数y=kx+b的图象经过第几象限,取决于k和b.当k>0,b>O时,图象过一、二、三象限,据此作答即可.【详解】∵一次函数y=3x+1的k=3>0,b=1>0,∴图象过第一、二、三象限,故选A.【点睛】一次函数y=kx+b的图象经过第几象限,取决于x的系数和常数项.8、C【解析】分析:由A、B、C三点表示的数之间的关系结合三点在数轴上的位置即可得出b=a+3,c=b+5,再根据原点O与A、B的距离分别为1、1,即可得出a=±1、b=±1,结合a、b、c间的关系即可求出a、b、c的值,由此即可得出结论.解析:∵|a﹣b|=3,|b﹣c|=5,∴b=a+3,c=b+5,∵原点O与A、B的距离分别为1、1,∴a=±1,b=±1,∵b=a+3,∴a=﹣1,b=﹣1,∵c=b+5,∴c=1.∴点O介于B、C点之间.故选C.点睛:本题考查了数值以及绝对值,解题的关键是确定a、b、c的值.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据数轴上点的位置关系分别找出各点代表的数是关键.9、C【解析】试题解析:原式=-32故选C.考点:二次根式的乘除法.10、C【解析】分析:由表中所给数据,可求得二次函数解析式,则可求得其顶点坐标.详解:当或时,,当时,,,解得,二次函数解析式为,抛物线的顶点坐标为,故选C.点睛:本题主要考查二次函数的性质,利用条件求得二次函数的解析式是解题的关键.11、A【解析】
根据特殊角的三角函数值直接得出结果.【详解】解:cos60°=故选A.【点睛】识记特殊角的三角函数值是解题的关键.12、C【解析】
根据统计图,利用众数与中位数的概念即可得出答案.【详解】从统计图中可以得出这一周的气温分别是:12,15,14,10,13,14,11所以众数为14;将气温按从低到高的顺序排列为:10,11,12,13,14,14,15所以中位数为13故选:C.【点睛】本题主要考查中位数和众数,掌握中位数和众数的求法是解题的关键.二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13、【解析】
根据,DE∥BC,结合平行线分线段成比例来求.【详解】∵,DE∥BC,∴,∴==.∵,∴∴.故答案为:.【点睛】本题考查的知识点是平面向量,解题的关键是熟练的掌握平面向量.14、10<a≤10.【解析】
根据题设知三角形ABC是直角三角形,由勾股定理求得AB的长度及由三角形的三边关系求得a的取值范围;然后根据题意列出二元二次方程组,通过方程组求得xy的值,再把该值依据根与系数的关系置于一元二次方程z2-az+=0中,最后由根的判别式求得a的取值范围.【详解】∵M是AB的中点,MC=MA=5,∴△ABC为直角三角形,AB=10;∴a=AC+BC>AB=10;令AC=x、BC=y.∴,∴xy=,∴x、y是一元二次方程z2-az+=0的两个实根,∴△=a2-4×≥0,即a≤10.综上所述,a的取值范围是10<a≤10.故答案为10<a≤10.【点睛】本题综合考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线及根的判别式.此题的综合性比较强,解题时,还利用了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式的知识点.15、a(x-1)1.【解析】
先提取公因式a,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.【详解】解:ax1-1ax+a,
=a(x1-1x+1),
=a(x-1)1.【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.16、【解析】
根据题意画出草图,可得OG=2,,因此利用三角函数便可计算的外接圆半径OA.【详解】解:如图,连接、,作于;则,∵六边形正六边形,∴是等边三角形,∴,∴,∴正六边形的内切圆半径为2,则其外接圆半径为.故答案为.【点睛】本题主要考查多边形的内接圆和外接圆,关键在于根据题意画出草图,再根据三角函数求解,这是多边形问题的解题思路.17、n1+n+1.【解析】试题解析:仔细观察图形知道:每一个阴影部分由左边的正方形和右边的矩形构成,分别为:第一个图有:1+1+1个,第二个图有:4+1+1个,第三个图有:9+3+1个,…第n个为n1+n+1.考点:规律型:图形的变化类.18、a<8,且a≠1【解析】分式方程去分母得:x=2x-8+a,解得:x=8-a,根据题意得:8-a>2,8-a≠1,解得:a<8,且a≠1.故答案为:a<8,且a≠1.【点睛】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,根据分式方程解为正数求出a的范围即可.此题考查了分式方程的解,需注意在任何时候都要考虑分母不为2.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19、(1)能,见解析;(2)见解析.【解析】
(1)直接利用菱形的判定方法分析得出答案;
(2)直接利用全等三角形的判定与性质得出EO=FO,进而得出答案.【详解】解:(1)能;该同学错在AC和EF并不是互相平分的,EF垂直平分AC,但未证明AC垂直平分EF,需要通过证明得出;(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴∠FAC=∠ECA.∵EF是AC的垂直平分线,∴OA=OC.∵在△AOF与△COE中,,∴△AOF≌△COE(ASA).∴EO=FO.∴AC垂直平分EF.∴EF与AC互相垂直平分.∴四边形AECF是菱形.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质,菱形的判定,全等三角形的判定与性质,正确得出全等三角形是解题关键.20、(1)();(2)定价为19元时,利润最大,最大利润是1210元.(3)不能销售完这批蜜柚.【解析】【分析】(1)根据图象利用待定系数法可求得函数解析式,再根据蜜柚销售不会亏本以及销售量大于0求得自变量x的取值范围;(2)根据利润=每千克的利润×销售量,可得关于x的二次函数,利用二次函数的性质即可求得;(3)先计算出每天的销量,然后计算出40天销售总量,进行对比即可得.【详解】(1)设,将点(10,200)、(15,150)分别代入,则,解得,∴,∵蜜柚销售不会亏本,∴,又,∴,∴,∴;(2)设利润为元,则==,∴当时,最大为1210,∴定价为19元时,利润最大,最大利润是1210元;(3)当时,,110×40=4400<4800,∴不能销售完这批蜜柚.【点睛】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用,弄清题意,找出数量间的关系列出函数解析式是解题的关键.21、证明见解析【解析】证明:(1)∵DF∥BE,∴∠DFE=∠BEF.又∵AF=CE,DF=BE,∴△AFD≌△CEB(SAS).(2)由(1)知△AFD≌△CEB,∴∠DAC=∠BCA,AD=BC,∴AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).(1)利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等(SAS),这一判定定理容易证明△AFD≌△CEB.(2)由△AFD≌△CEB,容易证明AD=BC且AD∥BC,可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.22、(1)y=x2+2x﹣3;(2)点P的坐标为(2,21)或(﹣2,5);(3).【解析】
(1)先根据点A坐标及对称轴得出点B坐标,再利用待定系数法求解可得;(2)利用(1)得到的解析式,可设点P的坐标为(a,a2+2a﹣3),则点P到OC的距离为|a|.然后依据S△POC=2S△BOC列出关于a的方程,从而可求得a的值,于是可求得点P的坐标;(3)先求得直线AC的解析式,设点D的坐标为(x,x2+2x﹣3),则点Q的坐标为(x,﹣x﹣3),然后可得到QD与x的函数的关系,最后利用配方法求得QD的最大值即可.【详解】解:(1)∵抛物线与x轴的交点A(﹣3,0),对称轴为直线x=﹣1,∴抛物线与x轴的交点B的坐标为(1,0),设抛物线解析式为y=a(x+3)(x﹣1),将点C(0,﹣3)代入,得:﹣3a=﹣3,解得a=1,则抛物线解析式为y=(x+3)(x﹣1)=x2+2x﹣3;(2)设点P的坐标为(a,a2+2a﹣3),则点P到OC的距离为|a|.∵S△POC=2S△BOC,∴•OC•|a|=2×OC•OB,即×3×|a|=2××3×1,解得a=±2.当a=2时,点P的坐标为(2,21);当a=﹣2时,点P的坐标为(﹣2,5).∴点P的坐标为(2,21)或(﹣2,5).(3)如图所示:设AC的解析式为y=kx﹣3,将点A的坐标代入得:﹣3k﹣3=0,解得k=﹣1,∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣3.设点D的坐标为(x,x2+2x﹣3),则点Q的坐标为(x,﹣x﹣3).∴QD=﹣x﹣3﹣(x2+2x﹣3)=﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3=﹣x2﹣3x=﹣(x2+3x+﹣)=﹣(x+)2+,∴当x=﹣时,QD有最大值,QD的最大值为.【点睛】本题主要考查了二次函数综合题,解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和应用.23、(1)相等或互补;(2)①BD+AB=BC;②AB﹣BD=BC;(3)BC=或.【解析】
(1)分为点C,D在直线MN同侧和点C,D在直线MN两侧,两种情况讨论即可解题,(2)①作辅助线,证明△BCD≌△FCA,得BC=FC,∠BCD=∠FCA,∠FCB=90°,即△BFC是等腰直角三角形,即可解题,②在射线AM上截取AF=BD,连接CF,证明△BCD≌△FCA,得△BFC是等腰直角三角形,即可解题,(3)分为当点C,D在直线MN同侧,当点C,D在直线MN两侧,两种情况解题即可,见详解.【详解】解:(1)相等或互补;理由:当点C,D在直线MN同侧时,如图1,∵AC⊥CD,BD⊥MN,∴∠ACD=∠BDC=90°,在四边形ABDC中,∠BAD+∠D=360°﹣∠ACD﹣∠BDC=180°,∵∠BAC+∠CAM=180°,∴∠CAM=∠D;当点C,D在直线MN两侧时,如图2,∵∠ACD=∠ABD=90°,∠AEC=∠BED,∴∠CAB=∠D,∵∠CAB+∠CAM=180°,∴∠CAM+∠D=180°,即:∠D与∠MAC之间的数量是相等或互补;(2)①猜想:BD+AB=BC如图3,在射线AM上截取AF=BD,连接CF.又∵∠D=∠FAC,CD=AC∴△BCD≌△FCA,∴BC=FC,∠BCD=∠FCA∵AC⊥CD∴∠ACD=90°即∠ACB+∠BCD=90°∴∠ACB+∠FCA=90°即∠FCB=90°∴BF=∵AF+AB=BF=∴BD+AB=;②如图2,在射线AM上截取AF=BD,连接CF,又∵∠D=∠FAC,CD=AC∴△BCD≌△FCA,∴BC=FC,∠BCD=∠FCA∵AC⊥CD∴∠ACD=90°即∠ACB+∠BCD=90°∴∠ACB+∠FCA=90°即∠FCB=90°∴BF=∵AB﹣AF=BF=∴AB﹣BD=;(3)①当点C,D在直线MN同侧时,如图3﹣1,由(2)①知,△ACF≌△DCB,∴CF=BC,∠ACF=∠ACD=90°,∴∠ABC=45°,∵∠ABD=90°,∴∠CBD=45°,过点D作DG⊥BC于G,在Rt△BDG中,∠CBD=45°,BD=,∴DG=BG=1,在Rt△CGD中,∠BCD=30°,∴CG=DG=,∴BC=CG+BG=+1,②当点C,D在直线MN两侧时,如图2﹣1,过点D作DG⊥CB交CB的延长线于G,同①的方法得,BG=1,CG=,∴BC=CG﹣BG=﹣1即:BC=或,【点睛】本题考查了三角形中的边长关系,等腰直角三角形的性质,中等难度,分类讨论与作辅助线是解题关键.24、(1);(2);(3)最多获利4480元.【解析】
(1)销售量y为200件加增加的件数(80﹣x)×20;(2)利润w等于单件利润×销售量y件,即W=(x﹣60)(﹣20x+1800),整理即可;(3)先利用二次函数的性质得到w=﹣20x2+3000x﹣108000的对称轴为x=75,而﹣20x+1800≥240,x≤78,得76≤x≤78,根据二次函数的性质得到当76≤x≤78时,W随x的增大而减小,把x=76代入计算即可得到商场销售该品牌童装获得的最大利润.【详解】(1)根据题意得,y=200+(80﹣x)×20=﹣20x+1800,所以销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为y=﹣20x+1800(60≤x≤80);(2)W=(x﹣60)y=(x﹣60)(﹣20x+1800)=﹣20x2+3000x﹣108000,所以销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式为:W=﹣20x2+3000x﹣108000;(3)根据题意得,﹣20x+1800≥240,解
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