第二章运动定律和力学中的守恒律

牛顿第二章运动定律和力学中的守恒律

前言§2-1牛顿运动定律*§2-2非惯性系惯性力§2-3动量动量守恒定律

§2-4功动能势能机械能守恒定律

*§2-5角动量角动量守恒定律*§2-6刚体的定轴转动*§2-7理想流体的伯努利方程1§2－1牛顿运动定律2.1.1惯性定律惯性参照系在运动的描述中，各种参考系都是等价的。但实验表明，动力学规律并非是在任何参考系中都成立。这就引出了惯性参考系的问题。1、惯性定律“孤立质点”的模型：不受其它物体作用或离其他物体都足够远的质点。例如，太空中一远离所有星体的飞船。惯性定律：一孤立质点将永远保持其原来静止或匀速直线运动状态。2BA静止时AB惯性和惯性运动惯性运动：物体不受外力作用时所作的运动。问题的提出：惯性定律是否在任何参照系中都成立？惯性：任何物体都有保持其原有运动状态的特性，惯性是物质固有的属性。惯性和第一定律的发现，使人们最终把运动和力分离开来。２、惯性系和非惯性系左图中，地面观察者和车中观察者对于惯性定律运用的认知相同吗？3

什么是惯性系：孤立物体相对于某参照系为静止或作匀速直线运动时，该参照系为惯性系。如何确定惯性系──只有通过力学实验。*1地球是一个近似程度很好的惯性系但相对于已知惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。一切相对于已知惯性系作加速运动的参照系为非惯性系。*2太阳是一个精度很高的惯性系太阳对银河系核心的加速度为马赫认为：所谓惯性系，其实质应是相对于整个宇宙的平均加速度为零的参照系──因此，惯性系只能无限逼近，而无最终的惯性系。4※牛顿第二定律：物体受到外力作用时，它所获得加速度的大小与合外力的大小成正比；与物体的质量成反比；加速度的方向与合外力F

的方向相同。比例系数k与单位制有关，在国际单位制中k=1。2.1.2牛顿第二定律惯性质量引力质量其数学形式为２o物体之间的四种基本相互作用；arxiv:1001.07851、关于力的概念１o力是物体与物体间的相互作用，这种作用可使物体产生形变，也可使物体获得加速度。力的概念是物质的相互作用在经典物理中的一种表述。53o

力的叠加原理若一个物体同时受到几个力作用，则合力产生的加速度，等于这些力单独存在时所产生的加速度之矢量和。力的叠加原理的成立，不能自动地导致运动的叠加。2、关于质量的概念

3、牛顿第二定律给出了力、质量、加速度三者间瞬时的定量关系１o质量是物体惯性大小的量度：２o引力质量与惯性质量的问题：调节引力常数Ｇ，使m引，m惯的比值为1。惯性质量与引力质量等价是广义相对论的出发点之一。62.1.3牛顿第三定律

1o作用力与反作用力是分别作用在两个物体上的，不是一对平衡力。2o作用力与反作用力是同一性质的力。3o若A给B一个作用，则A受到的反作用只能是B给予的。*：牛顿第三定律只在实物物体之间，且运动速度远小于光速时才成立。72.1.4牛顿定律的应用1、牛顿定律只适用于惯性系；在平面直角坐标系在平面自然坐标系2、牛顿定律只适用于质点模型；3、具体应用时，要写成坐标分量式。8若F=常量，则若F=F(v)

，则

若F=F(r)

，则

４、要根据力函数的形式选用不同的方程形式运用举例：9

[例题1]

阿特伍德机可求得加速度与物体质量以及重力加速度的关系，用于验证牛顿定律。

[解]由牛顿第二定律因绳子不伸长，有求导，得，又因得到最后解出10一个有趣的例子：谁先到达？11

例2：质量为m的小球，在水中受的浮力为常力F，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f=kv

(k为常数），证明小球在水中竖直沉降的速度v与时间t的关系为fFmgax式中t为从沉降开始计算的时间证明：取坐标，作受力图。根据牛顿第二定律，有12初始条件：t=0时v=013

例3．质量为M＝0.01kg的小环在—刚度系数为20N/m

的弹簧作用下沿一光滑弯管滑下，在图中所示的位置上小环速率为20cｍ/s，求在此处小环的加速度及环对管子的压力．弹簧自然伸展的长度为50cm。142.3.1质点的动量定理１、动量的引入在牛顿力学中，物体的质量可视为常数故即§2-3动量动量守恒定律力的瞬时效应→力的积累效应──加速度：牛顿定律15１）式中 叫做动量，是物体运动量的量度。２）动量 是矢量，方向与 同；动量是相对量，与参照系的选择有关。 ２、冲量的概念１）恒力的冲量２）变力的冲量此时冲量的方向不能由某瞬时力的方向来决定。

指两个物体相互作用持续一段时间的过程中，在物体间传递着的物理量。力在某一段时间间隔内的冲量冲量的方向与力的方向相同。作用力F＝恒量，作用时间t1t2，力对质点的冲量，16即其表示：物体所受外力的冲量等于物体动量的增量。3、质点的动量定理在直角坐标系中的分量式17平均冲力概念１）峰值冲力的估算ff0tt+△tt３）当相互作用时间极短，相互间冲力极大，此时某些有限主动外力（如重力等）可忽略不计。

４、动量定理的应用２）当动量的变化是常量时，有182.3.2质点系的动量定理1、内力与外力

i质点所受的内力i质点所受合力2、i质点动量定理193、质点系的动量定理（对i求和）因为内力成对出现这说明内力对系统的总动量无贡献，但对每个质点动量的增减是有影响的。20质点系合外力的冲量=质点系动量的增量。于是有或212.3.3质点系的动量守恒定律若系统所受的合外力系统总动量守恒

一个孤立的力学系统（即无外力作用的系统）或合外力为零的系统，系统内各质点动量可以交换，但系统的总动量保持不变。这就是动量守恒定律。

注意：动量守恒式是矢量式(1)守恒条件是而不是22若，但若某一方向的合外力零，则该方向上 动量守恒；

(3)必须把系统内各量统一到同一惯性系中；

(4)若作用时间极短，而系统又只受重力作用，则可略去重力，运用动量守恒。(2)若

表示系统与外界无动量交换，表示系统与外界的动量交换为零。则系统无论沿那个方向的动量都守恒；23

例4：一战车置于无摩擦的铁轨上，车身质量为m1，炮弹质量为m2，炮筒与水平面夹角，炮弹以相对于炮口的速度射出，求炮身后坐速率。

[解]水平方向的动量可看作近似守恒，有解出242.4.1功功率1、恒力的功

即某力的功等于力与质点在该力作用下位移的标积。

(中学）力在位移方向上的投影与该物体位移大小的乘积。

由矢量标积定义式，有§2-４功动能势能

252、

变力的功１）力的元功

XYZObaL物体在变力的作用下从a运动到b

b262）变力在一段有限位移上的功功的直角坐标系表示式因为功是标量，所以总功等于各方向上的分量之代数和。27★一对作用力与反作用力的功只与相对位移有关0所以一般情况下

式中drij为相对位移28３、功率

单位时间内所作的功称为功率

功率的单位：在SI制中为瓦特（w）

29

重力的功力函数

元位移

4、保守力的功12y2y130弹簧弹性力的功力函数元位移oXo31万有引力的功

由图知元位移

力函数

Mm321)保守力如重力、弹簧弹性力、万有引力、静电力、分子作用力等均为保守力。即保守力沿任一闭合路径的功为零。abcc/

如果某力的功只与始末位置有关而与具体路径无关，则该力谓之保守力。33LmS+保守力的共同特征：a、力函数或为常数，或者仅为位置的函数；

b、保守力的功总是“原函数”增量的负值。

2)非保守力若力的功值与具体路径有关,则为非保守力，

如摩擦力、爆炸力等。如在一水平面上342.4.2动能定理1、动能是一个独立的物理量，与力在空间上的积累效应对应。★这说明又，m为常数35★是质点作机械运动时所具有的能量的量度，称之为动能；★是状态量，相对量，与参照系的选取有关。

2、动能定理或即，作用于物体上合外力的功等于物体动能的增量。合力对质点作用一段距离所产生的积累作用，从而导致动能的有限变化。36动能与动量的区别引入两种度量作用37例2.10一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地滑动，t＝0时物体静止于原点，(1)若物体在力F＝3＋4tN的作用下运动了3s，它的速度增为多大？(2)物体在力F＝3＋4xN的作用下移动了3m，它的速度增为多大？解(1)由动量定理

，得(2)由动能定理，得382.4.3势能描述机械运动的状态参量是

对应于：

弹簧弹性力的功

万有引力的功重力的功

1、势函数为此我们回顾一下保守力的功39

由上所列保守力的功的特点可知，其功值仅取决于物体初、终态的相对位置，故可引入一个由相对位置决定的函数；由定积分转换成不定积分，则是

式中c为积分常数，在此处是一个与势能零点的选取相关的量。

又由于功是体系能量改变量的量度。因此，这个函数必定具有能量的性质；而这个具有能量性质的函数又是由物体相对位置所决定，故把这种能量称之为势能（或曰位能），用ＥＰ表示。则有：402、已知保守力求势能函数

弹性势能：

保守力的力函数若取坐标原点，即弹簧原长处，为势能零点，则c=0于是

重力势能保守力的力函数若取坐标原点为势能零点，则c=0

41引力势能保守力的力函数

若取无穷远处为引力势能零点，则

势能函数的一般特点rij1)对应于每一种保守力都可引进一种相关的势能；2)势能大小是相对量，与所选取的势能零点有关；3)一对保守力的功等于相关势能增量的负值；4)势能是彼此以保守力作用的系统所共有。

422.4.4质点系的动能定理与功能原理1、质点系的动能定理

质点系的内力和外力对于单个质点

43

对i

求和—质点系的动能定理质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内部保守力的功、非保守力的功三者之和。44若引入(机械能）则可得

系统机械能的增量等于外力的功与内部非保守力功之和。2、功能原理由于内力总是成对出现的，而对每一对内部保守力均有

45２）功能原理只适用于惯性系（从牛顿定律导出)；3)具体应用时，一是要指明系统，二是要交待相关的势能零点；注意的问题：１）功能原理是属于质点系的规律（因涉及ＥP），与质点系的动能定理不同；质点系动能定理质点系功能原理4）当质点系内各质点有相对运动时，注意将各量统一到同一惯性系中。462.4.5机械能守恒定律由功能原理可知机械能守恒的条件：系统与外界无机械能的交换；系统内部无机械能与其他能量形式的转换。

当系统机械能守恒时，应有即系统内，动能的增量＝势能增量的负值若和,则系统的机械能保持不变。472.4.6能量转换与守恒定律在一个孤立的系统内，各种形态的能量可以相互转换，但无能怎样转换，这个系统的总能量将始终保持不变。48解由题知，虽然力的大小不变，但其方向在不断变化，故仍然是变力做功.如题图所示，以岸边为坐标原点，向左为x轴正向，则力F在坐标为x处的任一小段元位移dx上所做元功为即

例2.8在离水面高为H的岸上，有人用大小不变的力F拉绳使船靠岸，如图2.21所示，求船从离岸

处移到

处的过程中，力F对船所做的功.由于，所以F做正功.49解如图2.26所示，设子弹对沙箱作用力为f′，沙箱位移为s；沙箱对子弹作用力为f，子弹的位移为s＋l，f＝－f′.A＝－f(s＋l)＋f′s＝－fl≠0说明沙箱对子弹做功－f(s＋l)与子弹对沙箱做的功f′s＝－f

s两者不相等；而这一对内力做功之和不为零，它等于子弹与沙箱组成的系统的机械能的损失.损失的机械能转化为热能.则这一对内力的功例2.13在光滑的水平台面上放有质量为M的沙箱，一颗从左方飞来质量为m的弹丸从箱左侧击入，在沙箱中前进一段距离l后停止.在这段时间内沙箱向右运动的距离为s，此后沙箱带着弹丸以匀速运动.求此过程中内力所做的功.(假定子弹所受阻力为一恒力)50例2.15试分析航天器的三种宇宙速度.解(1)第一宇宙速度.航天器绕地球运动所需的最小速度称为第一宇宙速度.以地心为原点，航天器在距地心为r处绕地球作圆周运动的速度为

，则有式中为地球表面处的重力加速度.若r＝R时，则这就是第一宇宙速度.51这就是第二宇宙速度.(2)第二宇宙速度.在地球表面处的航天器要脱离地球引力范围而必须具有的最小速度，称为第二宇宙速度.以地球和航天器为一系统，航天器在地球表面处的引力势能为，动能为，航天器能脱离地球时，地球的引力可忽略不计，系统势能为零，动能的最小量为零，由机械能守恒定律，有52力学第四章动能和势能*对心碰撞·非对心碰撞

一、碰撞的特点和简化处理①碰撞时间短，相互作用强，可不考虑外界的影响；

②碰撞前后状态变化突然且明显，可以认为：速度发生变化，但位置不发生变化。二、对心碰撞1.

对心碰撞：碰撞前后的速度都沿两球的连心线，也叫一维碰撞。53力学第四章动能和势能2.碰撞过程：

①压缩过程：从两小球开始接触到两小球达到共同速度。（b）和（c）图，特点：②恢复过程：从共同速度到分离的过程。（d）（e）图，特点：（恢复冲量）54力学第四章动能和势能3.牛顿碰撞公式实验表明：对于材料一定的球，碰撞后分开的相对速度与碰撞前接近的相对速度成正比，比值称为恢复系数：完全弹性碰撞：弹性形变→动势能相互转化非完全弹性碰撞：塑性形变→机械能有损失完全非弹性碰撞：→机械能有损失55力学第四章动能和势能4.完全弹性碰撞（）动量守恒：（1）机械能守恒：（2）56力学第四章动能和势能5.完全非弹性碰撞（）动量守恒：损失的动能：57力学第四章动能和势能6.非完全弹性碰撞（）动量守恒：58力学第四章动能和势能三、非对心碰撞定义：如果两球相碰之前的速度不沿它们的中心连线，叫非对心碰撞，也叫斜碰。x

方向：y方向：59力学第四章动能和势能例题：

1、一质量为200g的框架，用一弹簧悬挂起来，使弹簧伸长10cm，今有一质量为200g的铅块在高30cm处从静止开始落进框架。求此框架向下移动的最大距离。弹簧质量不计，空气阻力不计。60力学第四章动能和势能61力学第四章动能和势能

2、质量为m1=0.790kg和m2=0.800kg的物体以刚度系数为10N/m的轻弹簧相连，置于光滑水平桌面上。最初弹簧自由伸张、质量为0.01kg的子弹以速度v=100m/s沿水平方向射于m1内，问弹簧最多压缩了多少？

62力学第四章动能和势能63第五章刚体的定轴转动5.1刚体的运动学5.2刚体定轴转动定律

5.3转动惯量的计算5.4刚体定轴转动定律的应用5.5*转动中的功和能

5.6*对定轴的角动量守恒5.7*进动

64§5.1刚体和刚体的基本运动描述刚体是这样的一种特殊质点系统，它在外力作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变大小、形状不变前面：质点（理想模型，无大小）现考虑物体大小，但不考虑受力形变-----刚体（理想化的模型）；二、刚体的运动一、刚体刚体的运动形式：平动、转动或结合。平动（translation）：各个点的运动都一致，位移、速度、加速度等。当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫平动。65刚体转动（rotation）：刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线圆周运动，这种运动就叫做转动，这一直线就叫做转轴。

平动d转动复杂运动=平动+转动66刚体的定轴转动（转轴固定）

刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运动，且在相同时间内转过相同的角度。67特点：

质点在垂直转轴的平面内作圆周运动；角位移，角速度和角加速度均相同；但质点的线速度，线加速度？？角位移角速度角加速度角量与线量的关系：S=r68特例：匀加速转动，即角加速度β不变假定t=0时刻，角速度为ω0，角位置θ

为0；t时刻分别为ω、θ类似地，与质点做匀加速直线运动公式比较！。O69

沿Z

轴分量为对Z轴力矩对O点的力矩：一.力矩§5.2力矩刚体定轴转动定律转动平面70

力不在转动平面内1）在定轴转动问题中，所指的力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。只能引起轴的变形,对转动无贡献(Mz=0)。讨论：转动平面Z71

是转轴到力作用线的距离，称为力臂。2）

3）

对转轴的力矩为零，在定轴转动中不予考虑。

4）在转轴方向确定后，力对转轴的力矩方向可用+、-号表示。转动平面d72二.刚体定轴转动定律应用牛顿第二定律，可得：对刚体中任一质量元-外力-内力沿切向分量式为：ωOO’73用乘以上式左右两端：

设刚体由N

个点构成，对每个质点可写出上述类似方程，将N

个方程左右相加，得：

根据内力性质(每一对内力等值、反向、共线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：74得到：上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以M

表示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚体转动惯量，以J表示。于是得到刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律75讨论：

（3）J和质量分布、转轴有关

J（1）一定，则，M

是