土木工程制图第七章截交线与相贯线

教学提示：本章主要介绍立体表面截交线和相贯线的形成、基本性质及作图方法。学习要求：通过本章的学习，掌握立体表面交线的形成、性质；学会截交线、相贯线的投影分析，掌握截交线、相贯线的基本作图方法。第7章截交线与相贯线本章主要内容7.1概述7.2平面立体的截交线7.3曲面立体的截交线7.4两平面立体相交7.5平面立体和曲面立体相交7.6两曲面立体相交7.1概述一、建筑物表面的交线悉尼歌剧院二、立体表面的截交线截交线：平面与立体的交线。平面立体的截交线曲面立体的截交线二、立体表面的相贯线两平面体相交平面体与曲面体相交两曲面体相交相贯线：立体与立体的交线。截平面截断面截交线截平面截断面截交线截交点截交线7.2平面立体的截交线一、基本概念截平面：假想用来截割立体的平面。截交点：截平面与立体棱线的交点。截交线段：截平面与立体棱面的交线。截断面：截交线段围成的断面。截交线：截平面与立体表面的交线。二、平面体截交线的特点和性质（1）任何基本体的截交线都是一个封闭的平面图形（平面折线、平面曲线或两者的结合）。此平面图形的各顶点是平面体棱线与截平面的交点，各条边线是平面体棱面与截平面的交线。（2）截交线是截平面与基本体表面的共有线。三、求作平面体的截交线的方法（1）交点法先求出平面体的各棱线与截平面的交点，然后把位于同一棱面上的两交点连成线。（2）交线法真接作出平面体的各棱面与截平面的交线。在投影图中，截交线的可见性取决于平面体各棱面的可见性，位于可见棱面上的交线才可见，应画成实线，否则，交线不可见，应画成虚线。但苦立体被截断后，截交线成为投影轮廓线时，则该段截交线是可见的。7.2.1棱锥上的截交线【例7.1】如图所示，求正垂面P与三棱锥S-ABC的截交线。分析：截平面P与三棱锥的三条棱线SA、SB、SC均相交，可利用交点法求作截交点作图步骤：

①由于截平面P的V面投影有积聚性，故截交线的V面投影为已知，即1’、2’、3’。

②从1’和3’点向下作投影连系线，得1和3点。由于II点在平行于W’面的棱线SB上,需用分比法或经由W投影才能求出2点。③从1’、2‘、3’各点向右作投影连系线，分别与s’’a’’、s’’b’’、s’’c’’相交于1’’、2’’、3’’，所得△1’’2’’3’’为截交线的W’面投影。

sca123ps312baabc321bcsca123ps312baabc321bc④截交线的可见性判别如下：在H投影中，三个侧棱面均是可见的，故△123可见，应画实线；在W面投影中，右侧棱面SBC不可见，故2’‘3’‘不可见，应画虚线，整理如图所示。【例7.2】已知正四棱锥及其上缺口的V面投影，求H和W投影。分析：从给出的V投影可知，四棱锥的缺口是由正垂面和水平面截割四棱锥而形成的。只要分别求出正垂面和水平面与四棱锥的截交线，以及两平面的交线即可。dhemnbcadhemncbadb(c)n(m)h(e)aQPvv作图步骤：①在V面投影上确定出控制截交线的点的投影，a’、b’、c’、d’’、e’、h’、m’、n’。②A、B、C、D、E、H为特殊点，可直接作出其另外两面投影，如图所示。③M、N为棱面上的点，可利用

BN、CM平行于地面棱线的性质，求出另两面投影。④依次连接截交线上各点的同名投影，并判断其可见性，整理如图所示。dhemnbcadhemncbadb(c)n(m)h(e)a7.2.2棱柱上的截交线【例7.3】求作截切后六棱柱的投影。

分析：如图所示，立体的六条棱线和六个棱面均垂直H面，截平面垂直V面，则截交线的V投影已知。截平面与立体的五条棱线相交，形成五个截交点，与顶面相交，形成两个截交点。1(2)7(3)6(4)523456711234567bb作图步骤：①如图所示，截交点的V投影1’、2’、3’、4’、5’、6’、7’，可作为已知条件，截交点的H投影1、2、3、4、5、6、7，进而求得截交点的W投影；②依次连接成截交线，并判断可见性；最后完成立体轮廓线的投影，如图所示。1(2)7(3)6(4)5234567112345672345671【例7.4】求作截切后四棱柱的投影。分析：如图所示，四棱柱被三个截平面截割，分别是两个水平面和一个正垂面。截交线是由折线组成的封闭图形。作图步骤：①在V面投影上确定控制截交线形状的八个点，分别为1′、2′、3′、4′、5′、6′、7′、8′。②棱柱的H面投影积聚为一个四边形，截交线的H面投影也在这个四边形上，因此，1、2、3、4、5、6、7、8可视为已知。③如图所示，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ点为特殊点，因此可以直接求出其面投影。根据截交线上八个点的H、V面投影可直接求出其W面投影。④依次连接截交线上各点的同名投影，并判断其可见性，补全棱柱的投影,整理如图所示。④依次连接截交线上各点的同名投影，并判断其可见性，补全棱柱的投影,整理如图所示。1(2)123(4)345(6)7(8)5(7)6(8)123456787.3曲面立体的截交线7.3.1圆柱的截交线7.3.2圆锥的截交线7.3.3圆球的截交线7.3.1圆柱的截交线平面与圆柱相交所得截交线形状圆椭圆矩形【例7.5】求作圆柱被截断后的投影。分析：如图所示，侧垂面与圆柱的截交线为椭圆，该椭圆的W投影积聚在W投影面上，其H投影与圆周重合，需要作的是V面投影。椭圆的投影一般仍是椭圆。但长短轴的长度有变化。cabdmnefecmandfbcdefbamn作图步骤：①先求特殊点，即椭圆长短袖的端点。长轴AB//W面，A和B在圆柱的最后、最前素线上，在W面投影轮廓线上定出a’’和b’’，由a’’和b’’作连系线至V面投影上交得a’和b’；CD⊥W面，C和D在圆柱的最左、最右素线上，由c’’和d’’作连系线在V面投影上交得c’和d’。如图所示。②作一般点，如E，F，M，N等。利用圆柱面上取点的方法，由e’’f’’m’’n’’定出e，f，

m，n，再求出e’，f’，m’，n’。③依次光滑连接截交线上各点的同名投影，并判断可见性，整理如图所示。cabdmnefecmandfbcdefbamn【例7.6】求作圆柱被组合截面截割后的截交线的投影。分析：圆柱被三个截面截割，分别是侧平面，水平面和正垂面，则截交线的实形由三部分组成，分别是圆弧，矩形和部分椭圆。由于三个截平面都垂直于V投影面，所以，截交线的V面投影可视为已知，又因为截交线均位于圆柱面上，其W面投影积聚为圆周可视为已知，所以只需根据截交线的V、W面投影求出其H面投影即可。21356413(2)46(5)1(4)3(6)2(5)788(7)78作图步骤：①如图所示，在V投影面上分别确定出控制截交线形状的1‘、2’、3‘、4’、5’、6’、7’、8’

点。②圆柱面的W面投影圆周，截交线上各点的V面投影，向右作连系线直接可得1’’、2’’、3’’、4’’、5’’、6’’、7’’、8’’

点。③根据这8个点的V、W投影求出其H面投影。④依次连接截交线各点的同名投影，并判断其均为可见，整理如图如图所示。21356413(2)46(5)1(4)3(6)2(5)788(7)78平面与圆锥相交所得截交线形状7.3.2圆锥的截交线【例7.7】求作圆锥被正垂面P截断后的投影。分析：如图所示，截平面与圆锥轴线倾斜，并与所有的素线均相交，故截交线为椭圆。椭圆的V面投影积聚成为一直线，其H面和V面投影仍是椭圆。abmncdefabfndemcbafedcnm作图步骤：①作椭圆长轴的端点A和B。由于AB//V，A和B在圆锥的最左、最右素线上，在V面投影轮廓线上定出a’和b’，再作出H面投影a和b以及W面投影a’’和b’’。②作椭圆短轴的端点C和D。由于CD⊥V面，在a’b’的中点定出c’、d’，再用纬圆法作出c和d，然后作出c’’和d’’。③作W面投影轮廓线上的E和F。E和F在圆锥的最前、最后素线上，先在V面投影上定出e’和f’，然后向右作连系线交得其W面投影。它们是W面投影中椭圆和轮廓线的切点。④用纬圆法或素线法作若干一般点，如M和N等。⑤分别在H面和W面投影中，依次将上述各点连成光滑的椭圆。由于圆锥上部截去后，截交线的H面和W面投影均可见，应画成实线。【例7.8】求作圆锥被截割后的投影。分析：圆锥被三个组合截面截割，分别是侧平面、水平面、正垂面，求被截割圆锥的投影实际上就是求三个截平面与圆锥的截交线。截交线由三部分组成，分别是双曲线、圆弧和抛物线的一部分。14(5)2(3)6(7)1328769145768(9)829354作图步骤：①在V投影面上确定控制截交线形状的九个点，分别是1’、2’、3’、4’、5’、6’、7’、8’、9’

。②过1’向下、向右作连系线，可确定1、1’’。③已知2’、3’、4’、5’，可根据前面讲过的纬圆法或素线法，确定2、3、4、5和2’’、3’’、4’’、5’’。④6’、7’、8’、9’都是特殊位置点。由6’、7’向下作连系线可得6、7点，根据宽相等可得到6’’、7’’。由8’、9’向右作连系线可得到8’’、9’’，根据宽相等可确定8、9。⑤判断截交线的H、V投影均可见，光滑连接各点，整理后如图所示。14(5)2(3)6(7)1328769145768(9)829354

平面与圆球相交所得截交线形状圆7.3.3圆球的截交线【例7.9】求作球面被正垂面截断后的投影。分析：如图所示，截交线是圆，其V面投影是积聚在V投影面上的一直线段，其H面、W面投影为椭圆。作图步骤：①在V面投影上定出最左、最有点1′、2′(在轮廓线圆上)，最前、最后点3′、4′（在线段1′2′的中点处)，上、下半球分界圆上的点5′、6′和左、右半球分界圆上的点7′、8′。②求出这些点的开H面、W面投影；213576815(6)3(4)7(8)2123487564③分别在H面和W面投影中，依次将上述各点连成光滑的椭圆。由于圆球上部截去后，截交线的H面和W面投影均可见，应画为实线。【例7.10】求作半球面被截割后的投影。分析：如图所示，半球面被四个截面截割，分别是两个正平面和两个侧平面，截交线是四段圆弧。作图步骤：①在H投影面上定出控制截交线形状的八个点1、2、3、4、5、6、7、8。②Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ为特殊点，可直接作图得到其另两面投影，1’、2’、3’、4’，1’’、2’’、3’’、4’’。③Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ为一般点，可通过纬圆法作出其另两面投影。785134621(3)4(2)8(7)5(6)24137(6)8(5)④各投影面的同名投影作圆弧，整理如图所示。7.4两个平面立体相交一、相贯线的性质

相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体表面的共有点。二、相贯线的形状

两平面立体的相贯线由折线组成。折线的每一段都是甲形体的一个侧面与乙形体的一个侧面的交线，折线的转折点就是一个形体的侧棱与另一形体的侧面的交点。三、求相贯线的方法

一种是求各侧棱对另一形体表面的交点，然后把位于甲形体同一侧面又位于乙形体同一侧面上的两点，依次连接起来。另一种是求一形体各侧面与另一形体各侧面的交线。四、判别相贯线可见性的原则

只有位于两形体都可见的侧面上的交线，是可见的。【例7.11】已知六棱台烟囱与屋面的投影，求作它们的交线。分析：如图所示，六棱台烟囱六条侧棱均与屋面相交，相贯线前后对称，可利用屋面的W面投影的积聚性，直接求得相贯线的V面投影和H面投影。1(2)5(4)6(3)621543631(5)2(4)作图步骤：①在W面投影上确定控制相贯线的六个点，分别为1′′、2′′、3′′、4′′、5′′、6′′点。②Ⅲ和Ⅵ是屋脊线上的点，可以直接确定其H、V面投影3、6和3′、6′。③ⅠⅡ和ⅣⅤ都是侧垂线，可根据其积聚性，由1′′、2′′、4′′、5′′可求得1、2、3、4、5，1′、2′、3′、4′、5′，如图所示。④补全图中六棱柱的六条侧棱的H面投影，整理结果如图所示。【例7.12】求直立三棱柱与水平三棱柱的相贯线。分析：直立的三棱柱的H面投影有积聚性，相贯线的H面投影必积聚在直立三棱核的H面投影轮廓线上；同样，水平三棱柱的W面投影有积聚性，相贯线的W面投影必积聚在水平三棱柱的W面投影轮廓线上。于是，只需求出相贯线的V面投影。从H、W面投影中可见，只有水平三棱柱的两条棱和直立三棱柱一条棱参与相交，每条棱线有两个交点，由此对见，相贯线上共有六个折点，求出这些折点，就可连成相贯线。fabcacb3456dfe56343546b12aceddef1212作图步骤：①在H面和W面投影上分别定出上述六个折点的投影1、2、3、4、5、6和1′′、2′′、3′′、4′′、5′′、6′′。②由这些点的H面和W面投影作连系线，得到它们的V面投影。③连点并判别可见性：图中3′5′和4′6′两段不可见，应画虚线。④判别两立体轮廓线的可见性，在V面投影上，直立三棱柱后面的两棱线被水平三棱柱挡住的部分画成虚线。【例7.13】求作三棱柱与三棱锥的相贯线。分析：三棱柱与三棱锥相交并贯穿，在前方三棱柱与两个棱锥面相贯，为一组闭合的空间折线。在后方三棱柱与一个棱锥面相贯，为一组闭合的空间折线。1(5)154236742(6)3(7)1542(3)6(7)作图步骤：

①利用积聚性直接标出三棱柱与三棱锥交点（相贯点）的V面投影1′，2′，3′，4′，5′，6′，7′。②按照点的投影规律，作出三棱柱与三棱锥相交特殊位置点的W面投影1′′，4′′，5′′，6′′，7′′和H面投影1，4，5，6，7。③按照点的投影规律，过锥顶通过2′，3′作辅助线，得三棱柱与三棱锥相交一般位置点的H面投影2，3和W面投影2′′，3′′。④判定可见性，连接各点。7.5平面立体与曲面立体相交一、相贯线的形状

平面立体与曲面立体相交时，相贯线是由若干段平面曲线或平面曲线和直线所组成。各段平面曲线或直线，就是平面体上各侧面截割曲面体所得的截交线。每一段平面曲线或直线的转折点，就是平面体的侧棱与曲面体表面的交点。二、求相贯线的方法

求平面立体与曲面立体的相贯线，就是求平面与曲面体的截交线和直线与曲面回转体表面的交点。作图时，先求出这些转折点，再根据求曲面体上截交线的方法，求出每段曲线或直线。【例7.14】求作三棱柱和圆锥的相贯线。分析：三棱柱从前至后全部贯穿圆锥，形成前后对称的两组相贯线，每组相贯线有三段截交线组成。三棱柱的水平侧棱面与圆锥的交线为圆弧，三棱柱的左右侧棱面与圆锥的交线为抛物线。各段交线的连接点是三棱柱的三条侧棱与圆锥的交点。由于三棱柱的侧棱面的V面投影有积聚性，故相贯线的V面投影与之重合，需要作出的是H、W面投影。122191078463512378594106QP798103456vv作图步骤：①在V面投影上定出三棱柱的三条侧棱与圆锥面交点V面投影1′、2′、3′、4′、5′、6′；利用圆锥表面求点的方法，求出上述各点的H面投影和W面投影。②画各段截交线。在H面投影中，35、46为圆弧。13、15和24、26均为抛物线。为了正确作出抛物线，应再作出若下一般点，如7，8，9，10等。然后作W面投影。③判别相贯线的可见性。H面投影中圆锥面可见，三棱柱上方两侧棱面可见，下方侧棱面不可见，故四段抛物线均应画成实线，两段圆弧画为虚线。在W投影中，相贯线是左右重合的，故画为实线。④对投影轮廓线的处理。三棱柱的三条侧棱穿入圆锥内部的部分不画出。H投影中圆锥底圆被三棱柱遮住部分庇应画为虚线。W投影中圆锥的轮廓线穿人三棱柱的部分不应画出。7.6曲面立体与曲面立体相交一、相贯线的特点

相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲面立体表面的共有点。二、相贯线的形状

不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形状不同。两回转体相贯，相贯线一般是封闭的空间曲线,特殊情况下为平面曲线或直线。三、求相贯线的方法积聚投影法、辅助平面法【例7.15】求作两圆柱的相贯线。分析：两圆柱的轴线正交，小圆柱从上向下贯穿大圆柱，相贯线是上下两条闭合的空间曲线。它们上下、左右、前后均对称。由于小圆柱面的H面投影和大圆柱面的W面投影都有积聚性，故相贯线的H、W面投影为已知，只需作出相贯线的V面投影7.6.1积聚投影法求相贯线134212341243abd