第一章 电磁场理论基础

电磁理论（I）内容概要《电磁理论（I）》是在本科《电磁场理论》或《电磁场与电磁波》的基础上，系统介绍电磁场的基本理论、电磁定理与原理、常用的几种辅助函数、电磁波的传输、辐射、散射的基本规律和分析方法，以及一些典型的计算电磁学理论等。内容仅限于经典电磁理论，静止介质。参考书目1、张克谦，李德杰微波与光电子学中的电磁理论,清华大学出版社，20052、杨儒贵高等电磁理论，高教出版社，20073、张善杰工程电磁理论，科学出版社，20094、龚中麟近代电磁理论（第二版），北京大学出版社，2010全书内容第一章电磁理论基础第二章电磁场基本定理和原理第三章电磁场的基本分析方法第四章电磁波的传输第五章导行电磁波与谐振腔理论第六章电磁辐射第七章电磁散射考核形式

分为三个部分：一、平时作业；二、专题讲座；三、期末考试。电磁理论中的基本符号A——磁矢势B——磁感应强度c——真空中的光速D——电位移矢量E——电场强度F——电矢势G——格林函数H——磁场强度I——电流强度J——电流密度k——波矢量L——矢量波函数M——矢量波函数、磁化强度N——矢量波函数P——电极化强度R——距离r——位矢S——波印廷矢量、并矢散射矩阵U、V——标量波函数W——电磁场能量——介电常数——磁导率——狄拉克函数——赫兹矢量位——电荷体密度——标量势——电导率——电极化率——磁极化率——角频率第一章电磁理论基础本章内容1-1Maxwell方程组1-2介质的电磁特性1-3磁荷及磁流，电磁场方程的对偶性1-4电磁边界条件1-5辐射条件1-6电磁能量和能流1-7电磁场微分方程1-1Maxwell方程组宏观电磁理论的基础是Maxwell方程。该方程理论正确，并被实验验证。Maxwell当初建立的方程，其数学描述非常繁杂，矢量分析和场论建立后，Maxwell方程的表达变得非常简洁，Maxwell方程具有积分形式和微分形式。（1）真空中的Maxwell方程变化的磁场产生涡旋电场稳恒电流及变化电场产生涡旋磁场电场为有源场磁场为无源场积分形式微分形式辅助方程电荷守恒定律：（2）介质中的Maxwell方程积分形式微分形式辅助方程积分形式普遍成立；微分形式只在场量连续区域使用。电荷守恒定律：（3)正弦电磁场的麦克斯韦方程对于随时间简谐变化的电磁场使用复数形式是方便的。即使用对于工程问题方便的表示物理量随时间的简谐变化。电荷守恒定律:Maxwell方程的意义麦克斯韦方程反映了电荷与电流激发电磁场以及电场与磁场相互转化的运动规律。在无场源的区域，电场和磁场相互激发而运动传播。它激发了电磁场内在的矛盾和运动，由此预言了电磁波的存在，且以光速传播。光也是电磁波。麦氏方程是对电磁规律的全面高度的概括和总结，它是一组线性偏微分方程组。它和洛伦兹力一起构成了经典电磁理论的基石。（4）独立方程和非独立方程（5）限定形式和非限定形式独立方程非独立方程划分方法不唯一。独立方程中，共5个矢量和1个标量，7个标量方程，16个标量方程，因此称为非限定形式。补充3个辅助矢量方程后，成为限定形式。1-2介质的电磁特性均匀介质：静止介质：一、概述介质的电磁参数分别反映了介质中的电通量密度D与电场强度E、磁感应强度B与磁场强度H、传导电流密度Jc与电场强度E之间的关系。与时间无关；反之，运动介质。与空间坐标无关；反之，非均匀介质。线性介质：色散介质：各向同性介质：与场强大小无关；反之，非线性介质。与频率有关；反之，非色散介质。与外加场的方向无关；反之，各向异性介质。二、各种本构关系（1）各向同性媒质频率足够高时，存在电损耗和磁化损耗。虚部代表损耗。另外，通过电损耗角、磁损耗角的正切值反映虚部和实部的相对大小。复介电常数和磁导率：理论模型——电子等离子频率频率足够高时，主要表现为电损耗。另外，弹性恢复力可视为零。导电媒质理论模型（1）微波及以下频率的电磁波，介电常数的虚部是主要的，金属呈现导电性，电磁波在金属中受到强烈的衰减。导电媒质（2）金属呈现电介质性，对于电磁波近乎是透明的。对应于紫外或更短波长的电磁波。（3）对应于红外波段的电磁波。金属表面对于电磁波有较强的反射，趋肤深度很小。（为什么？）均匀、各向异性介质非均匀、各向异性介质（2）各向异性媒质电各向异性介质：仅具有张量介电常数的介质。例如处于恒定磁场中的等离子体。一旦恒定磁场消失，为各向同性介质。晶体是一种典型的电各向异性介质。理论模型磁各向异性介质：仅具有张量磁导率的介质。例如处于恒定磁场中的铁氧体。一旦恒定磁场消失，为各向同性介质。双轴晶体：单轴晶体：若矩阵中的2个对角线元素相同的晶体。理论模型（3）双各向异性介质介质的极化特性和磁化特性具有一定的耦合关系，电场不但可使介质极化，也可使其磁化，同理，磁场也可使介质同时发生磁化和极化。并且介电常数和磁导率均为张量，即双各向同性介质：上述情况下，介电常数和磁导率均为标量。例如手征介质，自然界中大量存在于有机体和生物体中，特别是生命的基本组成中，如L-氨基酸、D-糖、DNA。最早研究起源于1920年左右。20世纪90年代前后，人工制作的手征介质的特性及工程应用前景引起微波工程的的研究兴趣。（1）人工手征介质：一种人工可合成的电磁功能材料，当在某种基体材料中人工渗入螺旋状导体结构后，且螺旋体的几何线度与电磁波波长相比拟，复合而成的介质具有手征性。三、一些新型电磁材料的电磁参数手征性：一种纯粹的几何概念，是指当一个物体经过平移和旋转的空间操作后，都不能与其镜像相重合。人手都具有这样的特性，因此称为手征性。手征介质是一种双各向同性介质，其电磁特性方程具有很多形式，分别用于描述不同的手征介质。一种比较流行的电磁特性方程为由于手征介质可以改变电磁波的传播、散射特性，因此在军事、民用上有很大的潜在应用价值。自八十年代以来，许多学者对手征介质中电磁波的传输特性、手征微波器件及手征特性的物理机制等做了大量工作。随着隐身技术的不断发展，手征介质的电磁散射特性越来越受到重视。

手征介质具有广阔的应用前景。例如，利用手征介质可以开发新型的吸波材料，用于隐形体表面的涂覆材料。对于手征平板波导、圆波导、椭圆波导、手征光纤的研究表明，手征波导具有许多新颖独特的性质，如模式分叉、模式耦合等。利用这些特性，手征波导有望在集成光学元件及毫米波元件等领域得到应用。例如，使用介质微结构，对浸没于背景介质中的稀疏球形介质微结构，可以在经典近似下求出它的介电常数。设球形介质微结构的半径为a，介电常数为，分布于介电常数为的背景介质中，微结构之间的距离b远小于波长，a远小于b，通过静电场问题的解可近似求出所构造的人工介质的介电常数。（2）人工仿真电介质人工仿真电介质用大量相同的导体结构与晶格类似的等间距三维规则点阵排放构成。点阵由轻质介质支撑，或在其间填充泡沫塑料形成支撑。上图为金属带构成的具有渐变折射率的仿真电介质。（3）人工等离子体在实验室中对等离子体的模拟是用人工仿真媒质实现的。一种早期的方案使用细圆柱形导体线栅构成二维或三维晶格。

20世纪末，英国J.D.Pendry研究小组成功地将降到10GHz左右，较金属的降低了6个数量级。他们使用半径为1的铝丝制作间距为5mm的立方晶格线栅，如图所示。等离子体的磁导率，但它的介电常数具有特殊性一般介质的介电常数、磁导率都是非负数，电磁波在其内传播时，电场强度、磁场强度与传播方向成右手关系，因此这样的介质称为右手介质。（4）左手介质左手介质的起源于1967年，前苏联物理学家Veselago在前苏联一个学术刊物上发表了一篇论文，首次报道了他在理论研究中对物质电磁学性质的新发现，即：当ε和μ都为负值时，电场、磁场和波矢之间构成左手关系。他称这种假想的物质为左手材料(left-handedmaterials,LHM)，同时指出，电磁波在左手材料中的行为与在右手材料中相反，比如光的负折射、负的切连科夫效应、反多普勒效应等等。这篇论文引起了一位英国人的关注，1968年被译成英文重新发表在另一个前苏联物理类学术刊物上。但几乎无人意识到，材料世界从此翻开新的一页。

但由于只是停留在理论上，而在自然界中并未发现实际的左手材料，所以，这一怪诞的假设并没有立刻被人接受，而是处于几乎无人理睬的境地，直到时光将近本世纪时才开始出现转机。21世纪以来，左手材料的研究倍受关注。

目前，左手材料的研究倍受关注。主要表现在：左手材料的完美成像效应除了用作光学成像外，还可以用来扩充存储容量、天线隐形等。利用左手材料存在折射率接近零的频段，可以实现提高天线的定向辐射能力；利用左手材料的相位补偿原理，可以用来改变天线的的匹配负载，提高天线辐射效率，而且通过很薄的左手材料将电小天线包围起来，可以使电小天线的辐射阻抗由容性向感性转变，相当于天线和空间之间增加了匹配网络，通过适当的设计可以增大天线的效率而减小电抗。利用变换光学的原理，可以实现电磁波的隐身、反隐身，透明天线罩、定向天线等。左手材料的应用前景

根据左手材料不同反响的特性，科学家已预言可以应用于通讯系统以及资料储存媒介的设计上，用来制造更小的移动电话或者是容量更大的储存媒体；等效的负折射媒质电路可以有效减少器件的尺寸，拓宽频带，改善器件的性能。未来，左手材料将会在无线通信的发展中起到不可忽略的作用。

Yongmin

LiuaandXiangZhang.Metamaterials:anewfrontierofscienceandtechnology.Chem.Soc.Rev.,2011,40,2494–2507.1-3磁荷及磁流，电磁场方程的对偶性电荷与电流是产生电磁场的唯一源。自然界中至今尚未发现任何磁荷与磁流存在。但是对于某些电磁场问题，引入假想的磁荷与磁流是有益的。引入磁荷与磁流后，认为磁荷与磁流也产生电磁场。那么，前述描述正弦电磁场的麦克斯韦方程修改如下：

式中J

m(r)

——磁流密度；

m(r)

——磁荷密度。磁荷守恒定律:如果将上述电场及磁场分为两部分：一部分是由电荷及电流产生的电场及磁场；另一部分是由磁荷及磁流产生的电场及磁场，即将上式代入前式，由于麦克斯韦方程是线性的，那么由电荷和电流产生的电磁场方程，以及由磁荷和磁流产生的电磁场方程分别如下：将上述两组方程比较后，可以获得以下对应关系：这个对应关系称为对偶原理或二重性原理。对偶原理建立了电荷及电流产生的电磁场和磁荷及磁流产生的电磁场之间存在的对应关系。因此，如果我们已经求出电荷及电流产生的电磁场，只要将其结果表示式中各个对应参量用对偶原理的关系置换以后，所获得的表示式即可代表具有相同分布特性的磁荷与磁流产生的电磁场。

例如，根据z

向电流元Il的远区场公式即可直接推出z向磁流元Iml产生的远区场应为将磁流元远区场公式与电流环的远区场公式比较可见，两者场分布非常类似。因此位于xy

平面内的电流环即可看作为一个z向磁流元。由此可见，虽然实际中并不存在磁荷及磁流，但是类似电流环的天线可以看作为磁流元。引入磁荷

m

及磁流Jm

以后，麦克斯韦方程的积分形式与前不同，涉及的两个方程为在不同介质分界面两侧场发生不连续性变化，应用麦克斯韦方程组的积分形式可导出介质分界面两侧边界条件：式中为表面电流密度，为表面电荷密度，由媒质①指向媒质②，如下图示。

1,12,2etenE1tE2tB1nB2n1-4电磁边界条件若考虑到磁荷和磁流存在时，对于磁导率的理想导磁体，其内部不可能存在任何电磁场，但其表面可以存在假想的表面磁荷与磁流。那么，理想导磁体的边界条件为1-4电磁边界条件对于电导率的理想导电体，其内部不可能存在任何电磁场，但其表面可以存在表面电荷与电流。那么，理想导电体的边界条件为电场垂直于分界面磁场垂直于分界面1-5辐射条件对于无限大自由空间的电磁场问题，为了保证Maxwell方程解的唯一性，电磁场必须在无限远处满足一定条件，该条件称为Sommerfeld辐射条件，简称为辐射条件或无限远处的边界条件。有三种形式，分别适用于三维、二维和一维无限空间。对于三维空间，其辐射条件为对于二维空间，其辐射条件为对于一维空间，其辐射条件为Ft为无限远处电磁场的横向分量1-6电磁能量和能流

1能量密度和损耗功率密度时变电场和时变磁场的能量密度和介质的损耗功率密度分别为电磁场的能量守恒定律

电磁场是一种特殊形式的物质，而能量又是物质的主要属性，电磁波的传播过程，就是电磁能量的传播过程。

2电磁场的能量守恒定律和坡印亭矢量3正弦场的复数坡印亭矢量与复功率应用矢量恒等式代入得或应用高斯散度定理，可得左端是流入S面的功率，右端实部是损耗功率，虚部是乘以磁场能量与电场能量的最大值之差。复功率为复数坡印亭矢量有功功率（平均功率）为其中是坡印亭矢量的平均值无功功率则是能量转换的量度，即通常，对于电磁场问题，当应用Maxwell场方程直接求解电场E和磁场H时，首要的工作就是从场方程推导