概率论与数理统计教程第一章课件

概率论与数理统计ProbabilityTheoryandMathematicalStatistics

1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局,且谁先赢

c局便算赢家,若在一赌徒胜

a局

(a<c),另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌博,问应如何分赌本才合理”

为题求教于帕斯卡,帕斯卡与费马通信讨论这一问题,于1654年共同建立了概率论的第一个基本概念数学期望.概率论的诞生(NaissanceofProbability)在我们所生活的世界上，

充满了不确定性

从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化……，我们无时无刻不面临着不确定性和随机性.社会现象的分类确定性现象模糊现象随机现象A.太阳从东方升起；B.明天的最高温度；C.上抛物体一定下落；D.新生婴儿的体重.下面的现象哪些是随机现象？

随机现象(Randomphenomenon)事先无法预知,但一旦发生结果是确定的现象.随机现象是不是没有规律?否！在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性.随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现在大量重复试验或观察中呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规律性.

概率论正是研究随机现象统计规律性的一门学科.

数理统计学是研究收集数据、分析数据,并对所研究的问题作出一定的结论的科学。数理统计学所考察的数据都带有随机性（偶然性）的误差。这给根据这种数据所作出的结论带来了一种不确定性，其量化要借助于概率论的概念和方法。因此概率论与数理统计可以说是孪生兄弟.数理统计学的诞生(Naissanceofmathematicalstatistics)

统计学始于何时？恐怕难于找到一个明显的、大家公认的起点。一种受到某些著名学者支持的观点认为，英国学者葛朗特在1662年发表的著作《关于死亡公报的自然和政治观察》，标志着这门学科的诞生。

数理统计学的另一个重要源头来自天文和测地学中的误差分析问题。/JXZY/BJZS/200612/1835.html

概率论的应用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、

地震预报、产品的抽样调查，在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、分辨率,金融业等等.概率统计的应用(ApplicationofProbabalityandStatistics)第一章随机事件及其概率样本空间与随机事件1.1随机试验(RandomExperiment)掷一枚正六面体的骰子，观察出现的点数。从水泥自动生产流水线上任意抽取一袋水泥，称其重量。一射手打靶，直到击中靶心为止，记录其射击次数。为了研究随机现象，就要对研究对象进行观察试验，即随机试验，简称试验。记作或等1.实验可以在相同条件下重复进行2.每次试验，可能出现各种不同结果。3.每次试验，实际只出现一种结果，至于实际出现哪一种结果，试验之前是无法预先知道的。试验的特点样本空间与样本点(SampleSpacesandSamplePoints)随机试验的每个基本结果称为样本点，记为ω。全体样本点的集合称为样本空间，记为Ω。.

ΩA样本点ω.....掷一枚正六面体的骰子，观察出现的点数。样本点简记为：

wi

={出现i点},i=1,2,…,6。则样本空间可记为Ω={w1，w2，…,w6}打靶直到击中靶心为止，记录其射击次数。样本点简记为：

wi

={直到第i次才击中目标},i=1,2,…。则样本空间可记为Ω={w1，w2，…}

。例子(Examples)在随机试验中可能的结果称为随机事件，简称事件.随机事件(RandomEvents)"掷出奇数点"如在掷色子试验中，观察掷出的点数.“掷出1点”当且仅当属于集合的某一个样本点在实验中出现事件就是由样本点组成的某个集合..

ΩA样本点ω.....事件用集合表示时，如何理解“事件发生”？事件基本事件：随机试验中不可再分解的事件。复杂事件：两个或一些基本事件并在一起，就构成一个复合事件。"掷出奇数点"“掷出1点”在掷骰子试验中，“点数小于7”和“点数为8”是随机事件吗？两个特殊的事件：必件然事即在试验中必定发生的事件，记为Ω;

不件可事能即在一次试验中不可能发生的事件，记为φ

。23479108615

例.一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球.将球编号为1－10.把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.wk={取出的球号为k},k=1,…,10Ω={w1，w2，…,w10}A~"取出的球号为偶数"B~"取出的球号大于8"A={w2，w4，w6，w8,w10}B={w9，w10}D~"取出的球号不大于10"C~"取出的球号大于10"1.事件的包含2.事件的相等3.事件的积（交）4.互不相容（互斥）事件事件间的关系(RelationofEvents)的交，记作5.事件的和（并）6.对立事件(互逆事件)7.差事件的并，记作1.交换律2.结合律3.分配律事件的运算(OperationofEvents)4.德摩根定理（DeMorgan）（对偶原则）例1.1.5设A,B,C随机试验E中的3个随机事件，则（1）事件“A与B发生，C不发生”可表示成（2）事件“A，B，C中至少有一个发生”可表示成（3）事件“A，B，C中恰好有一个发生”可表示成（4）事件“A，B，C中至少有两个发生”可表示成关于事件域(FieldofEvents)应满足下面要求即是一个布尔代数事件域作业：P521.11.3概率和频率1.2在n次重复试验中，事件A出现次，则n次试验中，事件A出现的频率fn(A)=/n定义1.1随机事件A发生可能性大小的度量，称为事件A发生的概率，记作P(A)掷硬币试验频率稳定性指的是：当各轮试验次数n1,n2,…,ns

充分大时，在各轮试验中事件A出现的频率总在一个定值附近摆动.

而且，试验次数越多，一般来说摆动越小.频率

稳定在某个值

附近频率的稳定值说明随机事件发生的可能性大小(概率)是客观存在的，是不以人的意志为转移的客观规律，这正是随机现象的统计规律性。频率和概率有什么区别和联系？频率决定于试验，而概率是先于试验而客观存在的。对于较大的n，n次试验中事件A的频率，一般与事件A的概率P相差不大，试验次数n越大，频率与概率有较大偏差的情形就越少见.因此人们常取实验次数很大时事件的频率或一系列频率的平均值作为概率的估计值。频率的性质有限可加性：若A，B互不相容，则有非负性：规范性：概率应具有的性质非负性：0≤P(A)≤1规范性：P(Ω)=1有限可加性：若A1，A2，…，An是一组两两互不相容的事件，则有概率P实质上是布尔代数F上定义的一个集合函数，它应该具有以下性质：例2.抽查某厂的某一产品100件，发现有

5件不合格品，则不合格品(事件A)的概率为P（A）≈5/100=5%古典概型1.3ClassicalProbabilityModels23479108615

例.一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球，其中六个红球，四个白球，把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球，求取到红球的概率。古典概率古典概型实验有限性：试验只有有限个基本事件等可能性：任何两个基本事件不可能同时出现，且每次实验中各可能结果出现的可能性均相同概率的古典定义n个基本事件个若试验中只有n个等可能的基本事件，而某个事件A由其中个基本事件组成,则为事件A的概率，即古典概率的性质非负性：0≤P(A)≤1规范性：P(Ω)=1有限可加性：若A1，A2，…，An是一组两两互不相容的事件，则有例1在盒子中有十个相同的球，分别标为号码1、2、…、10,从中取一球，求此球的号码为偶数的概率。注意:基本事件总数和有利事件总数的计算要在同一个样本空间进行.例2.从0，1，2,…，9共10个数字中任取1

个，假定每个数字都以1/10的概率被取中，取后放回，先后取出4个数字，试求下列各事件的概率。A1

：“4个数字各不相同”A2

：“4个数字组成一个3位数”A3

：“4个数字组成一个4位偶数”A4

：“4个数字恰好有2个0”

例3.一套五卷的选集，随机地放在书架上，求各册自左至右或自右至左恰成1、2、3、4、5的顺序的概率。例4.设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间中去住

(n≤N)，且设每个房间可容纳的人数不限，求下列事件的概率。A={某指定的n个房间中各有一个人住}。B={恰好有n个房间，其中各住一人}。C={某指定的一间房中恰好有m(m<n)人}.例5.某班级有n个人（n<365）,问至少有两个人的生日在同一天的概率为多大？例6.甲乙两人掷均匀硬币，其中甲掷n+1次，乙掷n次.求“甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数”这一事件的概率.例7.一批产品共有N件，其中M件是废品。现在从全部N件产品中随机的抽取n件（n≤N),求恰好取到m(m≤M)件次品的概率。例8.设有带号码1，2，3，4的四件物品，任意地放在标有1，2，3，4的空格中，求下列事件的概率。A={四件物品刚好都放在相应标号的空格中}B={没有一件物品与所占空格号码相一致}作业：P526P539、10概率的公理化定义及概率的性质1.4AxiomsandPropertiesofProbability

几何概率A向该正方形等可能地随机投针，求针落在红色区域A的概率几何概型实验有限区域、无限样本点等可能性概率的几何定义在几何概型试验中，设样本空间为Ω，事件A包含于Ω，则事件A发生的概率为其中几何度量指长度、面积或体积等。例1.（会面问题）甲乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去.求两人能会面的概率.例2.蒲丰（Buffon）投针问题.平面上画等距离的平行线，平行线的距离为,

向平面任意投掷一枚长为的针，试求针与平行线相交的概率./view/1252319.htm这一方法源于美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的MonteCarlo—来命名这种方法.随机模拟法（蒙特-卡洛（Monte-Carlo）法）设计一个随机试验使一个事情的概率与某个要求的未知数有关，然后通过重复试验，以频率代替概率，求出未知数的近似解.应满足下面要求即是一个代数概率的公理化定义非负性0≤P(A)≤1规范性：P(Ω)=1可列可加性：若A1,A2,…,An,…两两互不相容，则有则称P(A)为事件A的概率。定义1.2设随机试验E的样本空间为Ω，对试验E的任一随机事件A，定义在的一个实值函数P(A),若满足：在上有定义的非负、可列可加的集函数称作在上的测度，所以可知是事件域上的一个规范化的测度。概率的重要性质P(φ)=0有限可加性：若A1,A2,…,An是一组两两互不相容的事件，则有对任一随机事件A,有若A包含B,有P(A-B)=P(A)-P(B)对任意事件A、B,有推论对任意事件A、B，有P(A-B)=P(A)-P(AB)若A包含B,有P(A)≥P(B)若AB=φ,有P(A+B)=P(A)+P(B)对任意n个事件A1,A2,…,An,有这个公式称为概率的一般加法公式定义1.3对于上的集合函数，若对

中的任一单调不减的序列，有则称集合函数在上是下连续的，其中定理1.1若是上的非负、规范的集合函数，则具有可列可加性的充要条件是（1）是有限可加的；（2）在

上是下连续的.

配对问题:把n

封信随机地装入n个写好地址的信封中,问至少有一封信配对的概率。补充.在圆周上任取点三A,B,C,问三角形ABC为锐角三角形的概率.补充.

某种饮料浓缩液每箱子装12听，不法商人在每箱中放入4听假冒货。今质检人员从一箱中抽取3听进行检测，问查出假冒货的概率是多少？作业:P54162326条件概率、全概率公式和贝叶斯公式1.5ConditionalProbablility

、TotalProbablity

FomulaandBayes′RuleP32引例某班级有学生40人，其中有共青团员

15人.全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中共青团员4人.

（1）如果要在任选一人当学生代表，那么这个代表恰好在第一组的概率是多少？（2）现在要任选一个共青团员当团员代表，问这个代表恰好在第一组的概率有多大？条件概率定义1.4设A、B为随机事件，且P(B)>0,则称为已知事件B发生条件下，事件A发生的条件概率。注：条件概率满足概率的三个基本性质例1.某消费公司一直为某种肥皂产品做电视广告，并对该产品进行了调查。设事件A表示“某人买了该产品”B表示“某人看过该广告”C表示“某人既买了该产品又看过该广告”若P(A)=0.2,P(B)=0.4,P(C)=0.12,则某人看过广告会使他购买该产品的概率增加吗？P(A|B)=P(AB)/P(B)=P(C)/P(B)=0.12/0.4=0.3>P(A)例2.考虑有两个孩子的家庭，假定每个孩子为男孩或女孩是等可能的。已知这一家有一个女孩，求这一家至少有一个男孩的概率。乘法公式设A，B为任意事件，若P(A)>0，P(AB)=P(A)P(B|A)若P(B)>0，P(AB)=P(B)P(A|B)推广到n个事件的情况例3.已知某厂家的一批产品共100件，其中有5

件次品，但是采购员并不知道有几件次品，为慎重起见，他对产品进行不放回的抽样检查，如果在被他抽查的3件产品中至少有一件是次品，则他拒绝购买这一批产品，求采购员购买这批产品的概率。

例4

有外形相同的球分装三个盒子，每盒

10个。其中，第一个盒子中7个球标有字母A，

3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个。实验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一球；若取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一球。如果第二次取出的是红球，则称试验成功。求试验成功的概率。全概率公式定理1.2设A1,A2,…,An是完备事件组，P(Ak)>0(k=1,2,…,n)，且则对于事件B,有例5.设10件产品中有4件不合格品，现从中连续抽取两次，每次1件，问第二次取得合格品的概率为多少？例6

某射击小组有20名，其中一级射手4人二级射手8人，三级射手8人；一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的的概率分别是0.9，0.7，0.4。求任选一名射手能通过选拔比赛的概率。例7.某保险公司把被保险人分为三类：“安全

的”、“一般的”与“危险的”。统计资料表

明，对于上述3种人而言，在一年期间内发

生事故的概率依次为0.05、0.15与0.30。如

果在被保险人中“安全的”占15%，“一般

的”占55%，“危险的”占30%，试问：

1.任一被保险人在一年中发生事故的概

率是多少？

2.如果某被保险人在一年中发生了事故，

则他属于“危险的”一类人的概率是多

少？由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.A1A2A3A4A5A6A7A8B诸Ai是原因B是结果实际中还有下面一类问题，是“已知结果找原因”被保险人出事故危险的？一般的？安全的？贝叶斯（Bayes）公式定理1.3设A1,A2,…,An是完备事件组，P(Ak)>0(k=1,2,…,n)，且则B已发生的条件下,Ak发生的概率为贝叶斯统计起源于英国学者贝叶斯(ThomasBayes1702(?)~1761)死后发表的一篇论文“论有关给予问题的求解”在此论文在中他提出著名的贝叶斯公式。

Bayes

公式在概率论与数理统计中有多方面的应用，其主要思想已经形成了Bayes统计学派的的理论基础，在哲学界也有一定的影响。例8.甲胎蛋白试验法是早期发现肝癌的一种有效手段。据统计，肝癌患者甲胎蛋白试验呈阳性反应的概率为95%，非肝癌患者甲胎蛋白试验呈阳性反应的概率为10%。已知某地人群中肝癌患者占0.04%，现在此地有一人用甲胎蛋白试验法进行检查，结果显示阳性，问这人确定是肝癌患者的概率是多少？1.某工厂有第一、第二、第三，三个车间。它们生产同一种晶体管，而且每个车间的产量分别占该产生产的20%，30%，50%，如果每个车间产品的废品率分别为0.06，

0.03，0.02，从全厂总产品中任取一品，检查结果是废品，问它恰好是第一车间生产的概率是多大？课堂练习:2.在数字通讯中，信号是由数字0和1的长序列组成的，由于随机干扰，发送的信号0或1各有可能错误接收为1或0。现假设发送信号为0和1的概率均为1/2；有已知发送0接收为0和1的概率分别为0.7和0.3；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1。求已知收到信号0，发出信号是0的概率。作业:P563132补充作业:已知第一个箱子中有20个产品,其中有两件是次品,从第一个箱子中取五件产品到第二个箱子,现在从第二个箱子中任取一件是次品的概率是多少?事件的独立性1.6课本P41IndependenceofEvents23479108615

例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球，其中六个红球，四个白球，把球搅匀。无放回抽取a.连续两次从中任取一球，求两次都取到红球的概率。b.取一球后放回袋中再任取一球，求两次都取到红球的概率。有放回抽取事件独立性定义1.5

若两事件A、B满足

P(AB)=P(A)P(B)，则称A、B相互独立。简称独立.若P(A)>0，P(B)>0，A、B相互独立，则有P(A)=P(A|B)，P(B)=P(B|A)。概率为零的事件(必然事件)与任何事件相互独立。例1.分别掷两枚均匀的硬币,令

A={硬币甲出现正面}B={硬币乙出现正面}验证事件A,B是相互独立的.例2.一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令

A={一个家庭中有男孩,又有女孩}B={一个家庭最多有一个女孩}对下述两种情形,讨论A与B的独立性:(1)家庭中有两个小孩;(2)家庭中有三个小孩.定理：若两事件A、B独立，则证：什么关系？互不相容独立性若A,B独立，则P(AB)=P(A)P(B)若AB=Φ，则P(A+B)=P(A)+P(B)多个事件的独立性对于任意三个事件A、B、C，若

P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)

P(BC)=P(B)P(C)

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)A、B、C两两独立A、B、C相互独立例3.如果将一枚硬币抛掷两次，观察正面H

和反面T的出现情况，则此时样本空间为Ω={HH,HT,TH,TT}设事件A表示“第一次正面朝上”；事件B表示“第二次正面朝上”；事件C表示“两次出现情况相同”讨论A、B、C的独立性。多个事件的独立性若n个事件A1,A2,…,An满足则称事件A1,A2,…,An相互独立.例4.若你每周买一张彩票，你坚持了10年（每年52周）之久，你从未中头奖的概率是多少？a1a2an…a1a2a