第三章时间序列预测

第三章时间序列预测法学习目标掌握时间序列预测的原理及方法；熟记公式，能进行几种方法的计算。一、时间序列预测法的概念时间序列分析法是通过对时间序列的分析和研究，运用科学方法建立预测模型，使市场现象的数量向未来延伸，预测市场现象未来的发展变化趋势，确定市场预测值。二、时间序列预测法的注意事项1.若预测对象在预测期内不发生质的变化，可直接用此法。2.对事物未来发展变化中的转折点，必须配合其他方法，特别是定性预测方法。第一节时间序列法概述一、平滑预测法的概念：平滑预测法就是根据历史数据去求得数据序列的平滑值，该平滑值即为某一未来时间间隔的预测值。二、平滑预测法的种类常用的平滑预测法有：移动平均预测法和指数平滑预测法。三、平滑预测法的步骤1.根据历史数据计算某类平滑值；2.将该平滑值作为某一未来时期的预测值。第二节平滑预测法四、移动平均法1.移动平均预测法的概念移动平均法是对时间序列观察值由远及近、按一定跨越期，计算平均值的一种预测方法。2.移动平均法的适用条件：假定未来市场的变化与近期若干期实际数据有关，而与较远期的实际数据联系不大。3.移动平均预测法的分类：可分为：一次移动平均法、二次移动平均法、加权移动平均法。

第二节平滑预测法3.一次移动平均预测法(1)计算公式为：设时间序列为x1,x2,

x3,…移动平均法可以表示为：

第二节平滑预测法式中：Ft——第t期到第t-N+1期的平均数；Xt,xt-1,…,xt-N+1——第t期到t-N+1期实际值N——期数一次移动平均预测法的模型为：Xt+1=Ft第二节平滑预测法

月份观察值（销售额）（万元）预测值(N=3)预测值Ft(N=5)123456789101112200.0135.0195.0197.0310.0175.0155.0130.0220.0277.5235.0————176.7175.8234.2227.5213.3153.3168.3209.2244.2—————207.5202.5206.5193.5198191.5203.5

案例表3.2某产品销售额及移动平均预测表第二节平滑预测法移动平均法的两个显著特点：(1)在预测前，预测者必须掌握移动平均数所需个数的历史样本观察值。(2)移动平均数所包括的时间间隔越长，对预测的平滑影响就越大。采用移动平均法进行市场预测的关键，是正确选择和确定时间间隔，即样本个数。样本个数的选择原则：(1)要看所需要处理的数据点多少。(2)要看对新数据适应程度的要求，n取得小，对新数据反映灵敏。(3)考察数据点之间是否具有周期性波动。(4)凭长期积累的经验，决定n值的大小。

注意：一次移动平均只能用作下期预测值，不能用来预测数期以后的指标数值。

第二节平滑预测法第二节平滑预测法4.加权移动平均法

加权移动平均法是在简单移动平均法的基础上进行加权的一个预测方法。它是对过去不同时期的样本，采用不同的权数。一般做法是：近期样本赋予较大权数，以重视其对预测期的影响；远期样本给以较小权数。

加权移动平均值的计算公式如下：

第二节平滑预测法

i=t,t-1,t-2,…,t-n+1j=1,2,3,…,n

式中：aj代表第j个权数。第二节平滑预测法

案例设某企业2014年1-11月份的销售额，试用加权移动平均法求12月份的销售额。月份销售额预测值（n=3,权数：0.2,0.3,0.5)/万元124-222-323-42124×0.2+22×0.3+23×0.5=22.952422×0.2+23×0.3+21×0.5=21.862223×0.2+21×0.3+24×0.5=22.972321×0.2+24×0.3+22×0.5=22.482424×0.2+22×0.3+23×0.5=22.992322×0.2+23×0.3+24×0.5=23.3102523×0.2+24×0.3+23×0.5=23.3112624×0.2+23×0.3+25×0.5=24.21223×0.2+25×0.3+26×0.5=25.1

4.二次移动平均法

二次移动平均是在对实际值进行一次移动平均的基础上，再进行一次移动平均。二次移动平均法计算相关公式：第二节平滑预测法

第二节平滑预测法式中：m为预测超前期数。利用二次移动平均法进行预测的具体步骤：第一步，对样本资料的时间数列计算一次移动平均数并排成新的时间数列，在此新的数列基础上计算二次移动平均数。第二步，求at，

bt值。第三步，将at，

bt值代入预测公式，并用此预测公式计算预测值。第二节平滑预测法

案例设某公司有2013年1-11月的销售额数据，试用二次移动平均法预测2013年12月份和2014年1月和2月的销售额。月份时间序号销售额(万元)一次移动平均值n=3（万元）二次移动平均值n=3（万元）11335223203333833144340332.6755351343335.5666357349.33341.6777368358.67350.3388359361.33356.4499369365.33361.781010375367.67364.781111380374.67369.221212二次移动平均值计算出来之后，即可求解平滑系数at，

bt值：at=2×374.67－369.22=380.12bt=2/(3-1)(374.67-369.22)=5.45将at

，

bt值代入基本公式，即得预测模型：F11+m=380.12+5.45m求2013年12月份的销售额预测值（m=1）F11+1=380.12+5.45×1=385.57（万元）

第二节平滑预测法求2014年1月份销售额预测值(m=2):F11+2

=380.12+5.45×2=391.02（万元）求2014年2月份销售额预测值(m=3):F11+3

=380.12+5.45×3=396.47（万元）答：略。第二节平滑预测法五、指数平滑法1.指数平滑法的概念指数平滑法是指取预测对象全部历史数据的加权平均值作为预测值的一种预测方法。它可分为一次指数平滑法和多次指数平滑法。第二节平滑预测法

2.一次指数平滑法(1)一次指数平滑法的概念一次指数平滑法是指以预测目标的本期实际值和本期预测值为基数，分别以不同的权数，求出指数平滑值，作为最终的预测值。(2)一次指数平滑法的预测公式

第二节

平滑预测法式中：

—第t-1期指数平滑值；xt—第t期实际值；

—第t期指数平滑值。(3)一次指数平滑法的特点①不需要存储近n期的观察值，只需要第n期的观察值和预测值。②该方法得到的预测值是对整个序列的加权平均，且权数符合近期大、远期小的要求，当观察数据很多时，其权数之和接近于1。这从客观上保证了各加权系数的一致性，消除了权数确定的随意性。第二节

平滑预测法3.平滑系数的选取原则(1)时间序列虽具有不规则起伏，但长期趋势为接近稳定的常数，则应取小的(0.1-0.3),使各观测值在现时的指数平滑中，具有大小接近的权数。(2)如果时间序列的变化缓慢，可取较小的值(0.2-0.4)，以使各期观测值的权数由近及远缓慢地变小。(3)时间序列具有迅速且明显变动倾向，则宜取较大的(0.4-0.9),使新近资料在指数平滑中起较大作用。(4)在不容易判断时，可分别选用几个不同的进行试算，并计算不同值的预测误差，加以比较，选用预测误差较小的值。第二节平滑预测法第二节

平滑预测法案例：设某企业一季度的销售额为3400万元，本期预测值为3600万元，试用一次指数平滑法预测二季度的销售额。解：若取=0.1,则二季度的销售额为：[0.1×3400+(1-0.1)×3600]=3580万元若取=0.3,则二季度的销售额为：[0.3×3400+(1-0.3)×3600]=3540万元若取=0.5,则二季度的销售额为：[0.5×3400+(1-0.5)×3600]=3500万元若取=0.9,则二季度的销售额为：[0.9×3400+(1-0.9)×3600]=3420万元由此可见，平滑系数取值不同，所得预测值也有所不同。第二节

平滑预测法

的确定：（1）若时间序列观察值n大于15时，以第一期观察值作为初始值，即

；（2）若n小于15时，可以取得最初几期观察值的平均数做初始值。周数t生产量yt=0.2的预测值=0.5的预测值123456789101112131415123456789101112131415128132130129130134128136135134130135137135-130129.6130.08130.06129.85129.88130.70130.16131.33132.06132.45131.96132.57132.66133.52130129130.8130.04129.53129.93131.94129.35133.08133.17133.03131.23133.48132.78134.832.二次指数平滑法二次指数平滑法是在一次指数平滑的基础上再进行一次指数平滑，利用两次平滑值建立的线性趋势模型进行预测。计算公式为：第二节平滑预测法式中：——一次指数平滑值，

——二次指数平滑值

——平滑系数预测公式为：第二节平滑预测法时序号销售额一次指数平滑值()二次指数平滑值01201201110115117.52120117.5117.53130123.8120.74100111.9116.35125118.5117.46110114.3115.97140127.2121.6第二节平滑预测法预测第9.10期销售额：第二节平滑预测法一、定义趋势延伸预测法就是通过建立一定的数学模型，对时间序列拟合恰当的趋势线，将其外推或延伸，用以预测经济现象未来可能达到的水平。二、时间序列法的适用条件预测对象在预测时期的变化规律、趋势和速度，与过去的发展变化规律、趋势和速度相同或大体一致。第三节时间序列趋势预测法三、直线趋势预测法1.适用条件当时间序列的每期数据按大致相同的数量增加或减少时，即逐期增减量大体相同，可配以直线方程并利用最小二乘法进行预测。2.预测公式方法一：Yt=a+bt

Yt——预测值t——自变量第三节时间序列趋势预测法计算a、b的公式为：（3.3.4）（3.3.5）求解联立方程，得：第三节时间序列趋势预测法n——时间序列的项数方法二：a、b两系数，也可以用Y,t的平均值求得：设为因变量Y的时间数列的平均值；为自变量t的平均值。第三节时间序列趋势预测法案例，已知某市2003—2011年社会商品零售额统计如下表所示：试用最小二乘预测2012和2014年商品零售额。年份200320042005200620072008200920102011零售额100119125135147159167179195年份(n)时序号(t)实际值Yt2

tY200301000020041119111920052125425020063135940520074147165882008515925795200961673610022010717949125320118195641560合计3613262045972n=9将计算表中有关数值代入参数计算公式：将a、b值代入回归方程得预测模型：=102.8+11.13t2012年，t=9=102.8+11.13*9=2032014年，t=11=102.8+11.13*11=225第三节时间序列趋势预测法下面以此例所提供的实际数值，利用，值求a、b两个系数值。=1326/9=147.33=36/9=4得：

a=147.33-11.13*4=102.8第三节时间序列趋势预测法方法三：简捷计算法：简捷法以正中一期为原点，目的在于使，假设n为实际调查统计资料的期数，当n为奇数时，则取t的间隔期为1，将t=0置于资料期的正中期；如果n为偶数，则取t的间隔期为2，将t=-1和t=+1置于资料期中央的上下两期。第三节时间序列趋势预测法当时，第三节时间序列趋势预测法年份n时序号t实际值Yt2tY2003-410016-4002004-31199-3572005-21254-2502006-11351-13520070147002008115911592009216743342010317995372011419516780合计0132660668将上表有关数值代入公式，得：a=1326/9=147.33b=668/60=11.132012年，t=5=147.33+11.13*5=2032014年，t=7=147.33+11.13*7=225第三节时间序列趋势预测法3.注意事项此法只考虑因变量与时间的关系，完全没有考虑其他因素对因变量的影响，只适用于短期或市场平稳发展时期的预测。第三节时间序列趋势预测法四、对数直线趋势预测法1.适用条件当预测对象某个时期的数列资料各期的发展速度接近相等，或其增长或减少的百分率接近相等，或者其增加或减少的差额是不断递增或递减的数量。2.预测公式

lgY=a+bt第三节时间序列趋势预测法利用最小二乘法，得标准方程：若以t数值的中点为原点，标准方程可简化为：第三节时间序列趋势预测法案例，设已知某地区2002—2010年某种家用电器的销售量如下表所示，预测2012年的销售量。年份200220032004200520062007200820092010销售量3.04.25.78.311.516.022.431.044.6解：分析，表中所列数据其环比发展速度在138%~144%之间，逐年递增率在38%~44%之间，符合对数直线趋势预测法的要求。具体计算过程见下表。第三节时间序列趋势预测法年份销售量lgYt(lgY)t2年tY2002-43.00.477-1.908162003-34.20.623-1.86992004-25.70.756-1.51242005-18.30.919-0.91912006011.51.061002007116.01.2041.20412008222.41.3502.7042009331.01.4914.47392010444.61.6496.59616合计0146.79.538.76560将上表中有关数据代入公式，得：a=1.059b=0.146将系数a、b值代入预测公式，得：第三节时间序列趋势预测法现利用此对数直线方程，预测20102年该地区某种家用电器的销售量：求反对数得：=86.1万台故该地区某种家用电器2012年销售量为86.1万台。第三节时间序列趋势预测法五、对数曲线预测法在市场销售中，有些商品虽然在不断增加，但其增长速度却是不断递减。针对这种变化趋势，便可以采用对数曲线预测法，拟合资料，建立模型，进行预测。对数曲线的数学模型为：

Y=a+blnt第三节时间序列趋势预测法对数曲线在图形上呈现为一条单调递增的曲线，并且其增长速度逐渐减慢，最终随t的无限增大而趋近于无穷大。这种趋势符合那种不断增加，但增长速度却是不断减小的商品销售情况的变化规律。如果将对数曲线的图形移到半对数座标纸（Y取普通坐标，t取对数坐标）上，则会变成一条直线。可以利用对数曲线的这些特性来判断一种商品的销售变化规律是否适用于对数曲线的预测。第三节时间序列趋势预测法参数a、b的计算公式为：第三节时间序列趋势预测法式中：n为历史数据的个数。案例：设某地区自1999~2008年甲产品的销售量（单位：吨）如表所示。试预测2011年的销售量。第三节时间序列趋势预测法年份1999200020012002200320042005200620072008销售量200320400445485515540560585600由上表可以看出，该地区10年来，甲产品的销售量一直是在不断地增加，但再来看其增长量，可知其逐年的增长量却是在不断地减少，从而可以利用对数曲线预测法来研究其发展趋势。第三节时间序列趋势预测法年份时序号YlntYlnt(lnt)219991200000200023200.693221.760.48200134001.099439.61.208200244451.386616.771.921200354851.609780.372.589200465151.792922.883.211200575401.9461050.83.787200685602.0791164.24.322200795852.1971285.24.8272008106002.3021381.25.304合计465015.1037862.827.649从上表得到所需的几个数据如下：然后将它们代入a、b的计算公式，得：第三节时间序列趋势预测法据此确定对数曲线的模型为：Y=202.91+173.54lnt第三节时间序列趋势预测法模型检验：第三节时间序列趋势预测法判别：若表明解释变量与被解释变量存在高度的线性相关性。若表明模型通过整体显著性检验。预测：2011年，t=13Y=202.91+173.54ln13=648.031答：2011年甲产品的销售量预测值为648.031吨。第三节时间序列趋势预测法六、二次抛物线预测法它适用于时间序列中各数据点的分布呈现抛物线的情况。某些商品的市场销售并不一定按同一趋势发展，有可能出现先上升后下降的趋势；也有可能出现先下降，当降到一定程度后又迅速回升的趋势。二次抛物线在图形上正好表现出了上述的两种趋势，利用历史资料，拟合成二次抛物线，建立模型进行预测。或给出的数据的二次差近似相等的情况下。第三节时间序列趋势预测法二次抛物线的数学模型为：Y=a+bt+ct2式中：Y——预测值；

t——时间；

a、b、c——未知参数。第三节时间序列趋势预测法令和，可得a、b、c的参数计算公式：第三节时间序列趋势预测法案例，设某地区2002~2008年销售的商品总额资料如下表所示：试预测2011年的销售额。第三节时间序列趋势预测法年份2002200320042005200620072008销售额12.08.13.82.12.24.18.2由上表可知：该地区的销售额先是下降，但过了一段时间后，又迅速回升，这正好符合二次抛物线的发展趋势，可以拟合成二次抛物线模型来进行预测。

从资料上可知，若取t=-3,-2,-1,0,1,2,3,则可使，，可以利用简化公式来计算三个参数值。第三节时间序列趋势预测法通过计算得到：把它们代入公式得：第三节时间序列趋势预测法

故得到二次抛物线的模型为：Y=2.333-0.75t+0.888t2以t=5代入该模型中，便得到该地区2005年的销售量：Y=2.333-0.75*5+0.888*52=2