2017-2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程1.1椭圆及其标准方程学案1-1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE18学必求其心得，业必贵于专精PAGE1．1椭圆及其标准方程学习目标1。了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程。2。掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．知识点一椭圆的定义思考1给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板能画出椭圆吗？思考2在上述画出椭圆的过程中,你能说出笔尖(动点）满足的几何条件吗？梳理把平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于____________________的点的集合叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．知识点二椭圆的标准方程思考1椭圆方程中，a、b以及参数c有什么几何意义,它们满足什么关系？思考2椭圆定义中，为什么要限制常数｜PF1|＋｜PF2｜＝2a>｜F1F2｜?梳理焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq\f(x2，a2）＋eq\f（y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f（y2，a2)＋eq\f（x2,b2）＝1（a〉b>0)图形焦点坐标a，b,c的关系类型一求椭圆的标准方程命题角度1焦点位置已知求椭圆的方程例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1）焦点在x轴上,a∶b＝2∶1，c＝eq\r(6)；(2）经过点(3，eq\r（15)),且与椭圆eq\f(x2,25）＋eq\f(y2,9）＝1有共同的焦点．反思与感悟用待定系数法求椭圆的标准方程的基本思路：首先根据焦点的位置设出椭圆的方程，然后根据条件建立关于待定系数的方程(组），再解方程（组)求出待定系数，最后写出椭圆的标准方程．跟踪训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程:（1）两个焦点的坐标分别是(0，－2),(0，2),并且椭圆经过点（－eq\f(3，2），eq\f(5,2));（2)焦点在x轴上，且经过两个点(2，0)和(0,1）．命题角度2焦点位置未知求椭圆的方程例2求经过（2，－eq\r（2)）和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f（\r（14）,2）)）两点的椭圆的标准方程．反思与感悟如果不能确定焦点的位置，那么求椭圆的标准方程有以下两种方法：一是分类讨论,分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上设出椭圆的标准方程，再解答;二是设出椭圆的一般方程Ax2＋By2＝1(A〉0,B>0,A≠B),再解答．跟踪训练2求经过A(0，2）和B(eq\f（1，2)，eq\r(3))两点的椭圆的标准方程．类型二椭圆方程中参数的取值范围例3“方程eq\f(x2,m－1)＋eq\f（y2,3－m）＝1表示焦点在y轴上的椭圆"的充分不必要条件是（)A．1〈m〈eq\f(3，2） B．1〈m〈2C．2<m<3 D．1〈m〈3反思与感悟(1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式．(2）eq\f(x2,m）＋eq\f（y2，n）＝1表示椭圆的条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（m〉0，，n〉0，，m≠n;)）表示焦点在x轴上的椭圆的条件是eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（m>0，,n〉0，，m〉n；））表示焦点在y轴上的椭圆的条件是eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(m〉0，，n>0，，n>m。）)跟踪训练3已知x2sinα＋y2cosα＝1（0≤α≤π)表示焦点在x轴上的椭圆．求α的取值范围．类型三椭圆定义的应用例4如图所示，点P是椭圆eq\f（x2，5）＋eq\f(y2，4)＝1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．引申探究在例4中,若图中的直线PF1与椭圆相交于另一点B，连接BF2，其他条件不变，求△BPF2的周长．跟踪训练4已知椭圆的方程为eq\f（x2，4）＋eq\f(y2，3)＝1，椭圆上有一点P满足∠PF1F2＝90°(如图)．求△PF1F2的面积．1．已知F1，F2是定点，｜F1F2｜＝8，动点M满足|MF1｜＋｜MF2｜＝8，则动点M的轨迹是()A．椭圆 B．直线C．圆 D．线段2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是（0,1),则实数k的值是()A．1B．2C．3D．43．“m>n〉0"是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的（)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件4．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2eq\r（15），则此椭圆的标准方程为________．5．已知椭圆eq\f（x2，49)＋eq\f（y2，24)＝1上一点P与椭圆两焦点F1、F2的连线夹角为直角，则|PF1|·｜PF2｜＝________.1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即｜MF1｜＋｜MF2|＝2a，当2a>|F1F2｜时，轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹是线段F1F2；当2a〈|F1F2｜时,轨迹不存在．2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法:可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置,可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B〉0,A≠B）求解,避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．

答案精析问题导学知识点一思考1固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键．思考2笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长．梳理常数(大于｜F1F2|）知识点二思考1椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a、b、c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边,a是斜边，c是焦距的一半．a、b、c始终满足关系式a2＝b2＋c2。思考2只有当2a〉｜F1F2|时，动点M的轨迹才是椭圆；当2a＝|F1F2｜时，点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2｜时，满足条件的点不存在．梳理F1(－c，0），F2(c,0）F1（0，－c)，F2(0，c）c2＝a2－b2题型探究例1解（1）∵c＝eq\r（6)，∴a2－b2＝c2＝6。①又由a∶b＝2∶1，得a＝2b,代入①,得4b2－b2＝6，解得b2＝2,∴a2＝8。又∵焦点在x轴上，∴椭圆的标准方程为eq\f（x2,8）＋eq\f（y2，2）＝1。(2）方法一椭圆eq\f(x2,25）＋eq\f（y2,9)＝1的焦点为(－4,0）和(4，0），由椭圆的定义可得2a＝eq\r(3＋42＋\r(15）－02)＋eq\r(3－42＋\r(15)－02)，∴2a＝12,即a＝6。∵c＝4,∴b2＝a2－c2＝62－42＝20,∴椭圆的标准方程为eq\f(x2,36）＋eq\f（y2,20）＝1。方法二由题意可设椭圆的标准方程为eq\f(x2,25＋λ）＋eq\f(y2,9＋λ）＝1，将x＝3,y＝eq\r（15）代入上面的椭圆方程，得eq\f(32，25＋λ）＋eq\f（\r(15）2,9＋λ)＝1，解得λ＝11或λ＝－21（舍去)，∴椭圆的标准方程为eq\f（x2,36）＋eq\f（y2，20)＝1.跟踪训练1解（1）∵椭圆的焦点在y轴上,∴设椭圆的标准方程为eq\f（y2，a2)＋eq\f(x2，b2)＝1（a>b>0）．由椭圆的定义知，2a＝eq\r（－\f(3,2）2＋\f(5,2)＋22)＋eq\r（－\f(3,2）2＋\f（5，2)－22）＝2eq\r(10）,即a＝eq\r(10).又c＝2，∴b2＝a2－c2＝6。∴所求椭圆的标准方程为eq\f(y2，10)＋eq\f（x2,6）＝1.（2)∵椭圆的焦点在x轴上，∴设椭圆的标准方程为eq\f（x2，a2)＋eq\f（y2，b2）＝1(a>b〉0）．又椭圆经过点(2，0)和（0，1），∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(4，a2)＋\f（0，b2）＝1，,\f（0,a2)＋\f（1,b2）＝1，)）∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1。))∴所求椭圆的标准方程为eq\f（x2,4）＋y2＝1.例2解设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A〉0,B>0，A≠B）．将点（2，－eq\r(2）)，eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－1，\f（\r(14），2)）)代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4）B＝1，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（A＝\f（1,8),，B＝\f（1，4）。)）故所求椭圆的标准方程为eq\f（x2,8）＋eq\f(y2,4）＝1。跟踪训练2解当焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为eq\f（x2,a2)＋eq\f(y2，b2)＝1(a>b>0),∵A(0，2)，B(eq\f(1，2）,eq\r（3))在椭圆上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（4，b2）＝1,，\f（\f（1，2)2，a2）＋\f(\r（3）2,b2）＝1,）)解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a2＝1，,b2＝4，))这与a>b相矛盾，故应舍去．当焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为eq\f(y2,a2）＋eq\f（x2，b2)＝1（a>b>0)，∵A(0，2），B（eq\f（1，2），eq\r(3))在椭圆上，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(4，a2）＝1，,\f(\r(3）2，a2)＋\f（\f(1,2）2，b2）＝1,))解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a2＝4，,b2＝1，））∴椭圆的标准方程为eq\f（y2,4）＋x2＝1，综上可知，椭圆的标准方程为eq\f（y2，4）＋x2＝1.例3A[要使方程eq\f(x2,m－1)＋eq\f(y2,3－m）＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m应满足eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（m－1〉0，，3－m>0,,3－m>m－1，））解得1〈m<2，∵A选项中{m｜1<m<eq\f(3，2）}｛m｜1〈m〈2}，故选A。]跟踪训练3解x2sinα＋y2cosα＝1，可化为eq\f（x2，\f（1，sinα））＋eq\f（y2，\f（1,cosα））＝1，由题意知eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（1,sinα）〉\f（1,cosα），，\f（1,sinα)〉0，，\f（1，cosα)>0，,0≤α≤π，)）解得0〈α〈eq\f（π,4）。∴α的取值范围是eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f（π，4)））.例4解在椭圆eq\f(x2,5）＋eq\f(y2,4)＝1中,a＝eq\r(5），b＝2，∴c＝eq\r(a2－b2）＝1.又∵P在椭圆上，∴｜PF1｜＋|PF2｜＝2a＝2eq\r（5），①由余弦定理知，｜PF1|2＋｜PF2|2－2|PF1|·｜PF2｜·cos30°＝｜F1F2｜2＝（2c)2＝4，②①式两边平方，得|PF1｜2＋|PF2|2＋2|PF1｜·|PF2|＝20，③③－②,得（2＋eq\r（3)）｜PF1｜·｜PF2|＝16，∴|PF1｜·｜PF2｜＝16(2－eq\r（3）)．∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)｜PF1|·|PF2|·sin30°＝8－4eq\r(3)－12。引申探究解由椭圆的定义，可得△BPF2的周长为｜PB｜＋|PF2|＋｜BF2|＝（|PF1|＋|PF2｜)＋（｜BF1｜＋|BF2|）＝2a＋2a＝4a＝4eq\r(5).跟踪训练4解由已知得a＝2，b＝eq\r(3)，所以c＝eq\r（a2－b2）＝eq\r(4－3）＝1.从而|F1F2｜＝2c＝2.在△PF1F2中，由勾股定理可得|PF2|2＝｜PF1|2＋|F1F2|2，即|PF2｜2＝|PF1｜2＋4。又由椭圆定义知｜PF1｜＋｜PF2|＝2×2＝4，