2017-2018版高中数学第二章解析几何初步1.5第1课时两点间的距离公式学案2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE15学必求其心得，业必贵于专精PAGE第1课时两点间的距离公式学习目标1。掌握两点间距离公式，并能简单应用.2.初步体会解析法研究几何问题。3。会解决简单的对称问题．知识点两点间的距离公式已知平面上两点P1（x1，y1)，P2(x2，y2)，思考1当x1≠x2，y1＝y2时,｜P1P2｜＝？思考2当x1＝x2,y1≠y2时,｜P1P2｜＝?思考3当x1≠x2,y1≠y2时，｜P1P2｜＝?梳理两点间的距离公式如图，在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，所以|P1P2｜＝eq\r（x2－x12＋y2－y12).即两点P1(x1，y1)，P2(x2,y2）间的距离|P1P2｜＝eq\r(x2－x12＋y2－y12）。类型一两点间的距离问题例1如图，已知△ABC的三顶点A(－3，1），B(3,－3)，C(1,7),(1)判断△ABC的形状；（2）求△ABC的面积．反思与感悟（1）判断三角形的形状,要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状,以确定证明的方向．（2）在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角;二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．跟踪训练1已知点A(－1,2),B(2，eq\r（7）),在x轴上求一点P,使|PA｜＝|PB|，并求｜PA|的值．类型二对称问题eq\x（命题角度1关于点对称问题)例2（1)求点P(x0,y0)关于点A（a，b）的对称点P′的坐标;（2)求直线3x－y－4＝0关于点(2,－1)的对称直线l的方程．反思与感悟（1)点关于点的对称问题：若两点A(x1，y1)，B(x2，y2）关于点P(x0，y0）对称，则点P是线段AB的中点，并且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f（x1＋x2,2)，,y0＝\f(y1＋y2,2).))（2）直线关于点的对称问题:若两条直线l1，l2关于点P对称，则:①l1上任意一点关于点P的对称点必在l2上，反过来,l2上任意一点关于点P的对称点必在l1上;②若l1∥l2，则点P到直线l1，l2的距离相等;③过点P作一直线与l1，l2分别交于A，B两点，则点P是线段AB的中点．跟踪训练2与直线2x＋3y－6＝0关于点（1,－1）对称的直线方程是()A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0eq\x(命题角度2关于轴对称问题）例3点P(－3,4）关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是（)A．（－2，1) B．(－2，5)C．(2，－5) D．（4,－3)反思与感悟(1）点关于直线的对称问题求点P（x0,y0）关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点P′(x，y)时，利用eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（y－y0，x－x0）·－\f（A，B）＝－1，,A·\f(x0＋x,2)＋B·\f（y0＋y，2）＋C＝0））可以求P′点的坐标．(2）直线关于直线的对称问题:若两条直线l1，l2关于直线l对称，①l1上任意一点关于直线l的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于直线l的对称点必在l1上；②过直线l上的一点P且垂直于直线l作一直线与l1，l2分别交于点A，B，则点P是线段AB的中点．跟踪训练3一束光线从原点O（0，0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P（－4,3)，求反射光线的方程．类型三运用坐标法解决平面几何问题例4在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：｜AB|2＋|AC｜2＝2（｜AD｜2＋|DC｜2)．反思与感悟利用坐标法解平面几何问题常见的步骤(1）建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上．(2）用坐标表示有关的量．（3）将几何关系转化为坐标运算．(4）把代数运算结果“翻译”成几何关系．跟踪训练4已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD。求证:｜AC|＝｜BD｜。1．已知点A(－2，－1),B(a，3),且|AB|＝5，则a的值为（）A．1B．－5C．1或－5D．－1或52．已知点A（x，5)关于点（1,y)的对称点为(－2，－3），则点P(x，y)到原点的距离是(）A．2B．4C．5D.eq\r（17）3．已知△ABC的三个顶点是A（－a,0)、B（a，0)和C（eq\f（a,2)，eq\f（\r（3），2）a)，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．斜三角形4．点A在第四象限，点A到x轴的距离为3,到原点的距离为5，则点A的坐标为____________．5．已知点P(3，2）与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为____________________．1．两点P1(x1，y1),P2(x2，y2)间的距离公式｜P1P2｜＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)与两点的先后顺序无关,其反映了把几何问题代数化的思想．2．有关对称问题的两种主要类型（1)中心对称：①点P(x，y）关于O（a，b）的对称点P′（x′，y′）满足eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x′＝2a－x，，y′＝2b－y。））②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(2)轴对称：①点A（a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0（B≠0）的对称点为A′(m，n），则有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（n－b，m－a）·－\f(A,B）＝－1，，A·\f(a＋m，2）＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.））②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．答案精析问题导学知识点思考1|P1P2｜＝|x2－x1｜.思考2｜P1P2|＝|y2－y1｜.思考3|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)题型探究例1解(1)方法一∵｜AB｜＝eq\r(3＋32＋－3－12）＝eq\r（52)，｜AC｜＝eq\r（1＋32＋7－12)＝eq\r(52)，又|BC｜＝eq\r（1－32＋7＋32）＝eq\r(104），∴｜AB｜2＋|AC｜2＝｜BC｜2，且|AB｜＝｜AC｜，∴△ABC是等腰直角三角形．方法二∵kAC＝eq\f(7－1，1－－3）＝eq\f（3，2)，kAB＝eq\f（－3－1，3－－3）＝－eq\f（2,3)，∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.又｜AC｜＝eq\r（1＋32＋7－12)＝eq\r(52），｜AB｜＝eq\r(3＋32＋－3－12)＝eq\r(52)，∴｜AC|＝|AB|,∴△ABC是等腰直角三角形．（2)S△ABC＝eq\f(1，2）|AC|·|AB|＝eq\f（1，2）(eq\r(52）)2＝26，∴△ABC的面积为26.跟踪训练1解设P（x，0)，|PA｜＝eq\r(x＋12＋－22),｜PB｜＝eq\r(x－22＋－\r(7)2），∵｜PA|＝|PB｜,∴eq\r（x＋12＋4）＝eq\r（x－22＋7），得x＝1,∴P（1,0）,∴｜PA|＝eq\r（1＋12＋4）＝2eq\r（2).例2解(1）根据题意可知，点A(a，b)为线段PP′的中点,设P′点的坐标为（x，y)，则根据中点坐标公式,得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝\f(x＋x0，2）,,b＝\f（y＋y0,2），）)所以eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2a－x0，，y＝2b－y0.)）所以点P′的坐标为（2a－x0，2b－y0）．（2)方法一设直线l上任意一点M的坐标为(x，y)，则M点关于点(2,－1）的对称点为M1（4－x，－2－y)，且M1在直线3x－y－4＝0上,所以3（4－x）－（－2－y）－4＝0，即3x－y－10＝0。所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0。方法二在直线3x－y－4＝0上取两点A（0，－4)，B(1，－1），则点A(0,－4)关于点（2,－1）的对称点为A1（4,2），点B（1,－1)关于点（2，－1)的对称点为B1(3，－1）．可得直线A1B1的方程为3x－y－10＝0，即所求直线l的方程为3x－y－10＝0。跟踪训练2D例3B［设对称点坐标为（a，b)，由题意，得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(a－3，2)＋\f（b＋4，2)－2＝0，,\f（b－4,a＋3）＝1，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝－2,,b＝5，）)即Q(－2，5)．]跟踪训练3解设原点关于直线l的对称点A的坐标为(a，b）,由直线OA与l垂直和线段AO的中点在直线l上,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（b,a）×－\f（4,3)＝－1，,8×\f(a,2)＋6×\f（b，2)＝25,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，，b＝3，）)∴点A的坐标为（4，3）．∵反射光线的反向延长线过点A（4，3)，又反射光线过点P(－4,3），两点纵坐标相等,故反射光线所在直线方程为y＝3.由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3，，8x＋6y＝25，）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝\f（7,8),,y＝3，）)由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y＝3（x≤eq\f（7,8）)．例4证明设BC所在边为x轴,以D为原点，建立直角坐标系，如图所示，设A（b，c），C(a，0)，则B（－a,0）．∵|AB｜2＝（a＋b）2＋c2，|AC|2＝（a－b）2＋c2，|AD｜2＝b2＋c2，|DC｜2＝a2,∴｜AB｜2＋|AC|2＝2（a2＋b2＋c2），|AD｜2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，∴|AB|2＋|AC|2＝2（|AD|2＋｜DC|2)．跟踪训练4证明如图所示，建立直角坐标系，设A（0，0），B(a，0)，