第8章 有限脉冲响应滤波器的设计

第7章有限脉冲响应滤波器的设计

2023/2/52本章将介绍数字滤波器的一种主要类型：有限脉冲响应滤波器，或称FIR滤波器。本章内容包括：在回顾非递归滤波器的差分方程、脉冲响应、传输函数及频率响应的基础上，·说明FIR滤波器的特点、设计方法和线性相位条件。·定义FIR窗，并给出选择窗类型和滤波器阶数的方法。·列出窗函数法低通滤波器设计步骤，以及如何设计带通、带阻和高通FIR滤波器。·给出频率采样法设计滤波器的基本原理，选择过渡点数和滤波器阶数的方法。·最后讨论等波纹FIR滤波器的设计，并对FIR和IIR滤波器作全面比较。2023/2/53目录7.1有限脉冲响应滤波器基础7.2线性相位FIR数字滤波器的条件和特点7.3利用窗函数法设计FIR滤波器7.4用频率采样法设计FIR滤波器7.5用等波纹逼近法设计FIR滤波器设计7.6IIR和FIR数字滤波器的比较2023/2/547.1有限脉冲响应滤波器基础无限脉冲响应(IIR)数字滤波器的优点是可以利用模拟滤波器的设计结果，而模拟滤波器的设计有大量图表可查，方便简单。但是它也有明显的缺点，就是相位的非线性；若需线性相位，则要采用全通网络进行相位校正。因为图像处理以及数据传输都要求信道具有线性相位特性。而有限脉冲响应(FIR)数字滤波器就可以做成具有严格的线性相位，同时又可以具有任意的幅度特性。2023/2/55FIR滤波器的特点FIR滤波器的脉冲响应h(n)是有限长的(0≤n≤N-1)，其z变换为

是z-1的(N-1)阶多项式，在有限z平面(0<n<∞)上有(N-1)个零点，而极点位于z平面原点z=0处，且有(N-1)阶。FIR滤波器最突出的优点有2个：一是只要对h(n)附加一定的条件，很容易获得严格的线性相位特性；二是由于H(z)的极点位于原点z=0处，始终满足稳定条件，所以FIR滤波器永运稳定。2023/2/56另外，FIR滤波器由于单位脉冲响应是有限长的，因而可以用快速傅里叶变换(FFT)算法来实现过滤信号，从而可大大提高运算效率。但是，要取得很好的衰减特性，FIR滤波器H(z)的阶次比IIR滤波的要高。FIR滤波器的设计方法IIR滤波器设计中的各种变换法对FIR滤波器设计是不适用的，这是因为那里是利用有理分式的系统函数，而FIR滤波器的系统函数只是z-1的多项式。2023/2/57FIR滤波器的设计方法FIR的设计任务是选择有限长度的脉冲响应h(n)，得到系统函数H(z)，使幅频特性满足技术指标要求，同时使相频特性达到线性相位。本章主要介绍三种设计方法：(1)窗函数法(2)频率采样法(3)切比雪夫等波纹逼近法。人们最感兴趣的是FIR滤波器具有线性相位的相频特性。对非线性相位的FIR滤波器，一般可以用IIR滤波器来代替，因为同样幅度特性，IIR滤波器所需阶数比FIR滤波器的阶数要少得多。2023/2/587.2线性相位FIR数字滤波器的条件和特点线性相位条件对于长度为N的h(n)，传输函数为H(ejω)=Hg(ω)ejθ(ω)

式中，Hg(ω)称为幅度特性，θ(ω)称为相位特性。注意，这里Hg(ω)不同于|H(ejω)|，Hg(ω)为ω的实函数，可能取负值，而|H(ejω)|总是正值。H(ejω)线性相位是指θ(ω)是ω的线性函数，即

θ(ω)=-τω，τ为常数7-17-27-3如果θ(ω)满足θ(ω)=θ0-τω，θ0是起始相位7-42023/2/59严格地说，此时θ(ω)不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即也称这种情况为线性相位。一般称满足(7-3)式是第一类线性相位；满足(7-4)式为第二类线性相位。1.第一类线性相位条件将(7-1)式用尤拉公式展开2023/2/510因h(n)为实序列，可得相频特性，同时考虑θ(ω)=–τω，得因而即7-52023/2/511分析(7-5)式，正弦函数应在τ=n处奇对称，选序列中心，令τ=(N-1)/2，则正弦函数以(N-1)/2为中心奇对称。为使求和式为零，h(n)必须以(N-1)/2为中心偶对称，即必须满足7-67-77-8式(7-7)是FIR滤波器具有线性相位的必要且充分条件，它要求脉冲响应h(n)序列以n=(N-1)/2为偶对称中心，此时时间延时τ等于h(n)长度N-1的一半，即为τ=(N-1)/2个抽样周期。θ(ω)是通过坐标原点的斜直线，斜率为-(N-1)/2。2023/2/5122.第二类线性相位条件对第二类线性相位，作同样推导可知，必须要求要使(7-9)式成立，必须满足7-97-107-117-127-13式(7-12)是FIR滤波器具有第二类线性相位的充要条件2023/2/513第二类线性相位的必要且充分条件

要求脉冲响应序列h(n)以n=(N-1)/2为奇对称中心，此时延时τ等于(N-1)/2个抽样周期。h(n)在这种奇对称情况下，满足h[(N-1)/2]=-h[(N-1)/2]，因而

h((N-1)/2)=0。这种线性相位情况和前一种不同之处是，除了产生线性相位外，还有±π/2的固定相移。由于h(n)有上述奇对称和偶对称两种，而h(n)的点数N又有奇数、偶数两种情况，因而h(n)可以有4种类型，如图7-5和图7-6所示，分别对应于4种线性相位FIR数字滤波器。2023/2/514

(a)N为奇数;(b)N为偶数(a)N为奇数;(b)N为偶数图7-5h(n)偶对称图7-6h(n)奇对称。2023/2/515线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点由于线性相位FIR滤波器的脉冲响应应该满足(7-7)式和(7-12)式，即h(n)=±h(N–1–n)因而系统函数可表示为

即H(z)=±z-(N–1)H(z–1)7-14进一步写成2023/2/5167-15在这一公式中，方括号内有“±”号。当取“+”号时，h(n)满足h(n)=h(N–1–n)偶对称；当取“-”号时，h(n)满足h(n)=-h(N–1–n)奇对称。对应图7-5和图7-6四种情况，下面分别讨论它们的幅度特性。1.h(n)=h(N–1–n)，N为奇数由(7-15)式可知，频率响应为7-162023/2/517幅度函数Hg(ω)为式中，h(n)对(N-1)/2偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶对称，可以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并，由于N是奇数，故余下中间项n=(N-1)/2。这样幅度函数表示为令m=(N-1)/2-n，则有7-172023/2/518式中7-18按照(7-17)式，由于式中cosωn项对ω=0，π，2π皆为偶对称，因此幅度特性的特点是对ω=0，π，2π是偶对称的。如表7-2中情况1。2．h(n)=h(N–1–n)，N为偶数推导情况和前面N=奇数相似，不同点是由于N=偶数，Hg(ω)中没有单独项，相等的项合并成N/2项。2023/2/519令m=N/2-n，则有7-19式中7-20按照(7-19)式，ω=π时，余弦项变为正弦项，Hg(ω)以ω=π奇对称，且在ω=π处有一零点,使Hg(π)=0。所以，对于高通和带阻滤波器不适合采用这种情况。如表7-1中情况2。2023/2/5203．h(n)=-h(N–1–n)，N为奇数此时，由(7-15)式可知，频率响应为由于h(n)=-h(N–1–n)，n=(N-1)/2时因此h((N-1)/2)=0，即h(n)奇对称时，中间项为零。7-212023/2/521在Hg(ω)中h(n)对(N-1)/2奇对称，正弦项也对该点奇对称，因此在Σ中第n项和第(N–1–n)项是相等的，将相同项合并，共合并为(N-1)/2项，即令m=(N-1)/2-n，则有7-22式中7-232023/2/522由于在ω=0，π，2π时，正弦项为零，因此幅度特性Hg(ω)在ω=0，π，2π处为零，且Hg(ω)对ω=0，π，2π呈奇对称。如表7-1中情况3。此种情况只能用于带通滤波器的设计，其它类型均不适用。4．h(n)=-h(N–1–n)，N=偶数类似上面情况3，推导如下令m=(N-1)/2-n则有7-242023/2/523式中7-25由(7-24)式，因为正弦项在ω=0，2π处为零，因此Hg(ω)在ω=0，2π处为零，且对ω=0，2π奇对称；当ω=π时，正弦项变为余弦项，Hg(ω)对ω=π呈偶对称。适合高通或带通滤波器的设计，不能设计低能滤波器。以上分析了四种线性相位FIR的幅度特性，由于有些情况在ω=0或π点Hg(ω)=0，所以在设计时，要注意选择合适的h(n)对称形式(奇或偶)和h(n)长度N(奇数或偶数)。如要设计高通滤波器，只能选情况1和情况4；要设计低通滤波器，只能选情况1和情况2。2023/2/524将以上四种情况的幅度特性之特点，h(n)需满足的条件以及相位特性综合在表7-2中。表7-2线性相位FIR滤波器的幅度特性与相位特性一览表2023/2/525续表7-22023/2/5267.3利用窗函数法设计FIR滤波器逼近理想低通滤波器

图7-10(a)是理想低通滤波器的幅度响应，该理想滤波器具有截止频率ωc，相频特性θ(ω)=0，如图7-10(b)所示，这个理想滤波器作为普通FIR滤波器设计的起点。图7-10理想低通滤波器的频率响应和脉冲响应2023/2/527该理想低通滤波器的频率响应为对应的脉冲响应为如图7-10(c)所示。图7-10(c)7-282023/2/528然而，设计一个理想低通滤波器并不是这么简单。

第一个问题是由于脉冲响应在n=0之前就存在，所以它是非因果的。并且，由于n为负值时的非零值无限多，它不能向滑动平均滤波器一样进行时移。

第二，无限多项意味着脉冲响应不能直接转换为非递归差分方程。一个简单的解决办法就是把图7-10(c)脉冲响应两边响应值很小的采样点截去。脉冲响应为有限长，能够位移为因果性，使得脉冲响应所描述的滤波器可用。将无限长脉冲脉冲响应序列截断，得到一个有限长序列，并用它逼近理想低通滤波器，这就是利用窗函数法设计FIR数字滤波器的基本原理。2023/2/529设计时先将hd(n)右移a，且取，N为截断后的序列长度，如图7-11(a)所，此理想低通滤波器的频率响应为对应的脉冲响应为7-29显然，hd(n)是以a为中心的无限长非因果序列，现在需要寻找一个有限长序列h(n)来逼近hd(n)，h(n)应满足FIR滤波器的基本条件，即它是偶对称或奇对称的，以满足线性相位的要求，它还应当是因果的。2023/2/530取可见，选a=(N-1)/2是为了满足偶对称的要求，也可以把h(n)看作是hd(n)与一矩形序列wR(n)(如图7-11(b)所示)相乘的结果，即h(n)=hd(n)wR(n)7-30其中h(n)如图7-11(c)所示。wR(n)称为矩形窗函数。即FIR数字滤波器的频谱函数是理想低通滤波器的频谱与窗函数频谱的卷积。采用不同的窗函数，对应的H(ejω)有不同的形状。2023/2/531图7-11理想低通脉冲响应的直接截取

脉冲响应的截断自然会对频率响应产生影响。截断后，滤波器形状不再是理想矩形。2023/2/532图7-12给出了N取21项因果脉冲响应的幅度响应。同时也给出了理想低通滤波器的形状，用以说明时域截断对滤波器形状的影响。当然，保留的点越多，滤波器形状就越接近理想。图7-12非理想低通滤波器的幅度响应

由图7-12可看出，截断的影响主要体现在通带和阻带内有波动，过渡带加宽。要使设计的滤波器逼近理想低通滤波器，必须从降低通带和阻带波动，减小过渡带上去考虑。2023/2/533从降低通带和阻带波动，减小过渡带上考虑。其中起关键作用的就是窗函数，窗函数不一定是矩形，也可以是其它形状。窗函数设w(n)为某一窗函数，一般将h(n)表示为

h(n)=hd(n)wR(n)根据傅里叶变换的卷积性质，h(n)的频谱函数可表示为7-317-32即FIR数字滤波器的频谱函数是理想低通滤波器的频谱与窗函数频谱的卷积。采用不同的窗函数，对应的H(ejω)有不同的形状。2023/2/534几种常用的窗函数

1．矩形窗(RectangleWindow)长度为N的矩形窗函数定义为矩形窗wR(n)的频谱为其中7-337-342023/2/535矩形窗幅度函数wR(ω)的图形如图7-13(b)所。ω从~之间的wR(ω)称为窗函数频谱的主瓣，主瓣两则呈衰减振荡的部分称为旁瓣。图7-13矩形窗对理想低通幅度特性的影响2023/2/536理想低通滤波器的频率响应可表示为Hd(ejω)=Hd(ω)e-jαω其幅度响应Hd(ω)为由式(7-32)知，FIR数字滤波器的频率响应表示为

因此FIR数字滤波器的幅度响应为7-352023/2/537图7-13矩形窗对理想低通幅度特性的影响2023/2/538通过以上分析可知，对hd(n)加矩形窗处理后，H(ω)和原理想低通Hd(ω)差别有以下两点：⑴在理想特性不连续点ω=ωc附近形过渡带。过滤带的宽度，近似等于WR(ω)主瓣宽度，即4π/N。⑵通带内增加了波动，最大的峰值在ω=ωc-2π/N处。阻带内产生了余振，最大的负峰在ωc+2π/N处。通带与阻带中波动的情况与窗函数的幅度谱有关。WR(ω)波动愈快(N加大时)，通带、阻带内波动愈快，WR(ω)旁瓣的大小直接影响H(ω)波动的大小。以上两点就是对hd(n)用矩形窗截断后，在频域的反映,称为吉布斯效应。这种效应直接影响滤波器的性能。2023/2/539直观上，增加矩形窗口的宽度，即加大N，可以减少吉布斯效应的影响。下面分析一N加大时，WR(ω)的变化。在主瓣附近，按照(7-34)式WR(ω)可近似为该函数的性质是随x加大(N加大)，主瓣幅度加高，同时旁瓣也加高，保持主瓣和旁瓣幅度相对值不变；另一方面，波动的频率加快，当x→∞(N→∞)时，sinx/x趋近于δ函数，因此，当N加大时，H(ω)的波动幅度没有多大改善，带内最大肩峰比H(0)高8.95％，阻带最大负峰比零值超过8.95％，使阻带最小衰减只有21dB。N加大带来的最大好处就是H(ω)过滤带变窄(过滤带近似为4π/N)。2023/2/540因此加大N并不是减少吉布斯效应的有效方法。图7-14给出了矩形窗的幅度响应，最大旁瓣比直流幅值低13dB，由矩形窗得到的低通滤波器，其通带和阻带增益之差约为21dB，如图7-15。

图7-14矩形窗幅度响应图7-15矩形窗得到的滤波器形状2023/2/541以上分析说明，调整窗口长度N可以有效地控制过滤带的宽度。而减少带内波动以及加大阻带的衰减只能从窗函数的形状上找解决方法。如果能找到窗函数形状，使其谱函数的主瓣包含更多的能量，相应旁瓣幅度就变小了；旁瓣的减少可使通带、阻带波动减少，从而加大阻带衰减。

但这样总是以加宽过滤带为代价的。下面介绍其他的窗函数。其包络形状如图7-16。2023/2/542图7-16几种窗函数的包络形状2．巴特利特窗(BartlettWindow)(三角形窗)7-362023/2/5437-37其主瓣宽度为8π/N，第一副瓣比主瓣低26dB。3.汉宁窗(HanningWindow)(升余弦窗)0≤n≤N-1

或将频率响应写成W(ejω)=W(ω)e-jωα，利用序列的傅里叶变换的调制性质，由式(7-39)可得出汉宁窗的频谱幅度函数为7-387-397-402023/2/544因此可以认为汉宁窗的频谱由图7-17所示的3部分组成，3部分频谱相加的结果使旁瓣大大抵消，而使能量有效地集中在主瓣内，代价是使主瓣的宽度加大了一倍，为8π/N。

(a)(b)图7-17汉宁窗的频谱汉宁窗的旁瓣比直流幅度小31dB，滤波器的设计具有较好的阻带衰减。用汉宁窗设计的低通FIR滤波器幅度响应，最大旁瓣的阻带增益比通带增益低44dB，而用矩形窗时仅为21dB。2023/2/5454.哈明窗(HammingWindow)(改进的升余弦窗)

对升余弦加以改进，可以得到旁瓣更小的效果，窗形式为(当N>>1)

7-417-42结果可将99.963%的能量集中在窗谱的主瓣内，与汉宁窗相比，主瓣宽度相同为8π/N，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值比主瓣峰值小41dB，用哈明窗设计的低通滤波器，阻带中最大旁瓣比通带增益低55dB。如图7-19所示。2023/2/5465.布莱克曼窗(BlackmanWindow)(二阶升余弦窗)为了更进一步抑制旁瓣，可再加上余弦的二次谐波分量，得到布莱克曼窗其频谱的幅度函数为7-437-44其幅度函数由五部分组成，它们都是移位不同，且幅度也不同的WR(ω)函数，使旁瓣再进一步抵消。2023/2/547图7-18给出了当N=51时五种窗函数的幅度谱。可以看出，随着旁瓣的减小，主瓣宽度相应增加了。图7-19则是利用这五种窗函数对同一技术指标(N=51，截止频率ωc=0.5π)设计的FIR滤波器的幅度响应。

(a)矩形窗(a)矩形窗图7-18各种窗函数的幅度频谱图7-19理想低通加窗后的幅度响应2023/2/548图7-18各种窗函数的幅度频谱图7-19理想低通加窗后的幅度响应(b)巴特列特窗(b)巴特列特窗(c)汉宁窗(c)汉宁窗

2023/2/549图7-18各种窗函数的幅度频谱图7-19理想低通加窗后的幅度响应(d)哈明窗(d)哈明窗(e)布莱克曼窗(e)布莱克曼窗

2023/2/550用窗函数法设计低通FIR滤波器现在把用窗函数设计FIR数字滤波器的步骤归纳如下⑴给出希望设计的滤波器的频率响应函数Hd(ejω)；若所给指标为边界频率和通带、阻带衰减，可选理想滤波器作逼近函数。⑵计算以下积分，求出hd(n)7-47为保证线性相位，取α=(N-1)/2⑶根据阻带衰减指标，选择窗函数的形状，可查表7-42023/2/551根据允许的过渡带宽度Δω，选定N值。由Δω=A/N可得7-48式中，A取决于所选定的窗函数，也可查表7-4得到。⑷将hd(n)与窗函数相乘得FIR数字滤波器的脉冲响应h(n)h(n)=hd(n)w(n)7-49⑸计算FIR数字滤波器的频率响应，并验证是否达到所要求的指标由H(ejω)计算幅度响应H(ω)和相位响应θ(ω)。7-502023/2/552在实际设计中，有许多具体问题要处理。尽管窗函数法由于有明显的优点而受到重视，但是，以下两个原因使它的应用受到限制。其一，很难准确控制滤波器的通带边缘；其二，若Hd(ejω)不能用简单函数表示，则计算式(7-47)的积分非常困难。第一个问题只有通过多次设计来解决。理想低通滤波器的截止频率ωc，由于窗函数主瓣的作用而产生过滤带。出现了通带截止频率ω1和阻带截止频率ω2。在ω1和ω2处的衰减是否满足通带和阻带的要求，也就是ω1和ω2是否就是所需要的通带和阻带的截止频率，这是不一定的。为了得到满意的结果，不得不假设不同的ωc进行多次设计。2023/2/553第二个问题的解决办法是用求和来代替积分。由式(7-47)知若以Hd(ejω)ejωn在的M个点上的值之和代替上式中的积分，则有上式表明实际上等效于序列的M点IDFT。根据频率取样的讨论可知，与hd(n)有如下的关系7-517-52因此，当M>>N时，在窗口范围内能很好地逼近hd(n)。2023/2/554例7-3

设计一个线性相位FIR低通滤波器，给定抽样频率为Ωs=2π×1.5×104(rad/sec)，模拟低通通带截止频率为Ωp=2π×1.5×103(rad/sec)，阻带起始频率为Ωst=2π×3×103(rad/sec)，阻带衰减不小于-50dB。幅度特性如图7-20所示。图7-20要求的模拟低通滤波器的特性2023/2/555解：本题要求设计一个数字的FIR低通滤波器,来模仿模拟滤波器，达到模拟滤波器的指标。所以在设计前要先将模拟的边界频率转为数字边界频率，转换公式为⑴计算对应的数字频率通带截止频率为阻带起始频率为阻带衰减相当于δ2=50dB⑵设Hd(ejω)为理想线性相位低通滤波器2023/2/556首先由所需低通滤波器的过渡带求理想低通滤波器的截止频率Ωc

其对应的数字频率为由此可得其中，τ为线性相位所必须的移位，根据7-1节的讨论知道应满足τ=(N-1)/2。2023/2/557⑶由阻带衰减δ2来确定窗形状，由过渡带宽确定N

由于δ2=50dB，查表7-3可选哈明窗，其阻带最小衰减-50dB满足要求。所要求的过渡带宽(数字频域)Δω=ωst-ωp=0.2π,因哈明窗过渡带宽满足Δω=6.6π/N，所以取N=41，则⑷由哈明窗表达式w(n)确定FIR滤波器的h(n)。哈明窗为2023/2/558所以⑸由h(n)求H(ejω)检验各项指标是否满足要求，如不满足要求要改变N，或改变窗形状(或两者都改变)来重新计算H(ejω)的图形已画在图7-21上，满足设计要求。2023/2/559图7-21例7-3设计出的线性相位FIR低通滤波器幅频特性2023/2/560线性相位FIR高通、带通和带阻滤波器的设计数字高通、带通和带阻滤波器的定义参看第六章图6-2。利用奇对称单位脉冲响应的特点(见表7-2)还可以设计90°移相位(或称离散希尔伯特变换器)以及幅度响应与ω成线性关系的线性差分器。1.线性相位FIR高通滤波器的设计按指标要求的理想线性相位高通滤波器的频率响应为7-53其中τ=(N-1)/2，它的单位脉冲响应为2023/2/5617-54选定窗w(n)即可得所需线性相位FIR高通滤波器的单位脉冲响应选用哪一种窗函数和阻带衰减有关，而时域窗的点数N则和过渡带宽有关h(n)=hd(n)w(n)2023/2/562但是由表7-2看出，无固定相移时只能采用偶对称单位脉冲响应，另外，对高通滤波器来说N只能取奇数，因为N为偶数H(ω)在ω=π处为0，不能做为高通滤波器。求出h(n)后，可求H(ejω)，以此检验是否满足指标要求，否则要重新设计，这和低通滤波器的讨论一样。2．线性相位FIR带通滤波器的设计理想线性相位带通滤波器的频率响应为7-55其中τ=(N-1)/2。此滤波器的单位脉冲响应hd(n)为2023/2/5637-56这里，当ω1=0，ω2=ωc时，即为理想线性相位低通滤波器。当ω2=π，ω1=ωc时，即为理想线性相位高通滤波器。后续设计步骤与FIR低通滤波器相同。3.线性相位FIR数字带阻滤波器的设计2023/2/564带阻滤波器的设计与带通滤波器的设计步骤完全相同，只是理想频率特性有所不同。7-57其中τ=(N-1)/2。同样可得7-582023/2/565线性相位FIR带阻滤波器只能采用偶对称单位脉冲响应，N等于奇数来设计，道理与讨论高通滤波器是一样的。由理想滤波器的低通公式、高通公式、带通公式以及带阻公式可以看出⑴一个高通滤波器相当于一个全通滤波器减去一个低通滤波器⑵一个带通滤波器相当于两个低通滤波器相减，其中一个截止频率为ω2，另一个截止频率为ω1，即7-592023/2/566⑶一个带阻滤波器相当于一个低通滤波器(截止频率为ω1)加上一个高通滤波器(截止频率为ω2)，即7-60上述关系也可作为高通、带通和阻带滤波器的设计方法窗函数法的特点

采用窗函数法，设计简单，方便，也实用，但要求用计算机；且边界频率不易控制。窗函数设计法是从时域出发的一种设计法。但一般技术指标是在频域给出的。因此，下面介绍的频率采样法更为直接，尤其对于Hd(ejω)公式比较复杂，或Hd(ejω)不能用封闭公式表示而用一些离散值表示时，频率采样设计法更为方便、有效。2023/2/5677.4利用频率采样法设计FIR滤波器用频率采样法设计滤波器的基本原理

待设计的滤波器的传输函数用Hd(ejω)表示，可按下列思路进行设计：⑴对它在ω=0到2π之间等间隔采样N点，得到Hd(k)⑵对N点Hd(k)进行IDFT，得到h(n)式中，h(n)作为所设计的滤波器的单位取样响应。7-627-612023/2/568⑶由h(n)求系统函数H(z)7-63以上是用频率采样法设计滤波器的基本原理。另外在第三章3.4节学习了频率域采样定理，曾得到利用频率域采样值恢复原信号的z变换公式(3-60~61)式,式中X(k)和X(z)在这里应改为Hd(k)和H(z)，将插值公式重写如下7-64此式就是直接利用频率采样值Hd(k)形成滤波器的系统函数，式(7-63)和(7-64)都属于用频率采样法设计的滤波器，(7-63)式适合FIR直接型网络结构，(7-64)式适合频率采样结构。2023/2/569实际滤波器的传输函数，与理想的传输函数Hd(ejω)间存在误差，如图7-28，需要讨论逼近误差问题及其改进措施。图7-28频率采样的响应2023/2/570用频率采样法设计线性相位滤波器的条件这里只讨论第一类线性相位问题，第二类线性相位问题可按类似方法处理。FIR滤波器具有线性相位的条件是h(n)是实序列，且满足h(n)=h(N–1–n)，参看表7-2中情况1和情况2，已推导出其传输函数应满足的条件是且Hg(π)=0

7-657-667-677-68对Hd(ejω)进行N点等间隔采样得到Hd(k)，则Hd(k)也必须具有(7-67)或(7-68)式特性，才能使由Hd(k)经过IDFT得到的h(n)具有偶对称性，达到线性相位的要求2023/2/571在ω=0~2π之间等间隔采样N点将ω=ωk代入(7-65)~(7-68)式中，并写成k的函数N=奇数

N=奇数，且

(7-69)~(7-72)就是频率采样值满足线性相位的条件,说明N等于奇数时Hg(k)对(N–1)/2偶对称，N等于偶数时,Hg(k)对N/2奇对称，且Hg(N/2)=0。7-697-707-717-722023/2/572设用理想低通作为希望设计的滤波器，截止频率为ωc，采样点数N，Hg(k)和θ(k)用下面公式计算N=奇数时N=偶数时7-737-742023/2/573上面公式中的kc是小于等于ωcN/(2π)的最大整数。另外，对于高通和带阻滤波器，这里N只能取奇数。逼近误差及其改进措施1.产生误差的原因从图7-28可看出，实际的H(ejω)与理想的Hd(ejω)相比，误差主要体现在一是通带和阻带出现波动，二是过渡带加宽，与窗函数设计法情况类似，产生误差的原因可从时域和频域两方面进行分析。从时域分析：如果Hd(ejω)有间断点，那么相应单位取样响应hd(n)应是无限长的。这样，由于时域混叠，引起所设计的h(n)和hd(n)有偏差。为此，希望在频域的采样点数N加大。N愈大，设计出的滤波器愈逼近待设计的滤波器Hd(ejω)。2023/2/574从频域分析

在采样点ω=2πk，k=0,1,2,…,N-1,Ф(ω-2πk/N)=1，因此，采样点处H(ejωk)

(ωk=2πk/N)与H(k)相等，逼近误差为0。在采样点之间，H(ejω)由有限项的H(k)Ф(ω-2πk/N)之和形成。其误差和Hd(ejω)特性的平滑程度有关，特性愈平滑的区域，误差愈小；特性曲线间断点处，误差最大。表现形式为间断点用倾斜线取代，且间断点附近形成振荡特性，使阻衰减减小，往往不能满足技术要求。2023/2/5752.减小误差的方法

最直观的想法是增加采样点数，即加大N值，由于过渡带就等于采样间隔(参看图7-28)，即7-76所以加大N，可使过渡带变窄，但增加要适当，否则会增加滤波器体积与成本。但是，增加N并不会改善滤波器的阻带衰减特性，因为Hd(ejω)是理想矩形,无论怎样增多频率采样的点数，在通、阻带交界处，幅值总是从1突变到0，会引起较大的起伏振荡。为使逼近误差更小，和窗口法的平滑截断一样，通过在理想频率响应的不连续点的边缘上加一些过渡的抽样点，减小频带边缘的突变，也就减小了起伏振荡，增大了阻带最小衰减。2023/2/576一般过渡带取一、二、三点抽样值即可得到满意结果。如在低通设计中，不加过渡点时，阻带最小衰减为-20dB，加三个过渡点(最优设计)则可达-80dB到-95dB左右。加过渡点的示意如图7-29所示。

(a)(b)(c)增加过度点，可使阻带衰减明显提高，但付出的代价是过渡带加宽，可通过下式加大N来调整。图7-29理想低通滤波器增加过渡点m=0，1，2，3…

7-772023/2/577频率采样法设计线性相位FIR低通滤波器低通滤波器的设计步骤可参阅7.4.1的基本原理，此外，设计关键是(1)根据阻带衰减要求，确定过渡点数，并优化过渡点值;(2)根据过渡带要求，确定采样点数N，由式(7-77)7-78频率采样法的特点

频率采样法设计滤波器最大的优点是直接从频率域进行设计，比较直观，也适合于设计具有任意幅度特性的滤波器。但边界频率不易控制。如果增加采样点数N，对确定边界频率有好处，但会增加滤波器的成本。因此，它适合于窄带滤波器的设计。2023/2/578例7-6利用频率采样法设计线性相位低通滤波器，要求截止频率ωc=π/2rad，采样点数N=33，选用h(n)=h(N–1–n)情况。解用理想低通作为逼近滤波器。因N为奇数，按照(7-73)式Hg(k)=Hg(33-k)=1，k=0，1，2，…，8

Hg(k)=0，k=9，10，…，23，24

θ(k)=-

32πk/33，k=0，1，2，…，32

其中，取kc=8。理想低通幅度特性采样情况如图7-31所示2023/2/579图7-31例7-6对理想低通进行采样将采样得到的H(k)=Hg(k)ejθ(k)进行IDFT，得到h(n)，计算其频响，其幅度特性如图7-32(a)所示。为加大阻带衰减，可增加一个过渡点，在k=9处，令Hg(9)=0.5，结果得到的滤波器幅度特性如图7-32(b)所示如果改变Hg(9)=0.3904,其幅度特性如图7-32(c)所示，阻带最小衰减可达40dB。因此，这种用加宽过渡带换取阻带衰减的方法是很有效的。2023/2/580图7-32例7-6的幅度特性

(c)

(b)(a)2023/2/5817.5用等波纹逼近法设计FIR滤波器设计

加权切比雪夫等波纹逼近

1.切比雪夫最佳一致逼近准则设所要求的滤波器的幅度函数为Hd(ω)，用线性相位四种FIR滤波器之一的幅度函数Hg(ω)做逼近函数，设逼近误差的加权函数为W(ω)，则加权逼近误差函数定义为E(ω)=W(ω)[Hd(ω)-Hg(ω)]7-79由于不同频带中误差函数[Hd(ω)-Hg(ω)]的最大值不一样，故不同频带中W(ω)值可以不同，使得在各频带上的加权误差E(ω)要求一致(即最大值一样)。设计过程中W(ω)为已知函数。2023/2/582为设计具有线性相位的FIR滤波器，其单位脉冲响应h(n)或幅度特性必须满足一定条件。假设设计的是h(n)=h(N–1–n)，N=奇数情况，由表7-2情况1可知将Hg(ω)代入(7-79)式，则7-80式中M=(N-1)/2。最佳一致逼近的问题是选择M+1个系数a(n)，使加权误差E(ω)的最大值为最小，即式中A表示所研究的频带，这里指通带或阻带。2023/2/583式(7-80)，是一个由M次多项式，根据上面提出的准则逼近一连续函数的问题。切比雪夫理论指出这个多项式存在且唯一，并指出构造该多项式的方法是“交错点组定理”。该定理提出最佳一致逼近的充要条件是E(ω)在A上至少呈现M+2个“交错”，使得按照该准则设计的滤波器通带或组带具有等波动性质2.利用最佳一致逼近准则设计线性相位FIR滤波器

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