第5章 机械振动

第2篇机械振动机械波机械振动机械波2/5/2023第5章机械振动5.1简谐运动5.2简谐运动的旋转矢量表示法5.3单摆和复摆5.4振动的能量5.5简谐运动的合成5.6阻尼振动受迫振动共振内容提要2/5/2023振动:任何一个物理量(物体的位置、电流强度、电场强度、磁场强度等)在某一定值附近的反复变化.机械振动:

物体在一定位置(中心)附近作的周期性往复运动.简谐运动:是最基本、最简单的振动.

振动的分类:受迫振动自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动(简谐运动)无阻尼自由谐振动2/5/2023

5.1简谐运动5.1.1简谐运动的特征及其运动方程弹簧振子——理想模型令:2.简谐运动的动力学特征:1.简谐运动的基本依据:由牛顿第二定律:2/5/20233.简谐运动的动力学微分方程微分方程的解：——振动表达式(简谐运动位移)

任何一个物理量，如果它随时间的变化规律满足简谐运动的微分方程，或遵从余弦(或正弦)规律，则广义地说，这一物理量在作简谐运动.4.简谐运动的运动学方程2/5/20235.简谐运动的速度与加速度2/5/20235.1.2简谐运动方程中的三个基本物理量1.角频率

:

2秒内往复振动的次数.

单位：弧度/秒(rad·s-1)完成一次完整的振动所需要的时间.周期T:单位时间内所完成的振动次数.频率ν：单位：赫兹(Hz)(s-1)2/5/20232.振幅A:

描述物体振动强弱的物理量(离开平衡位置的最大位移，取绝对值).单位：m、cm、mm、nmt=0时的相位，与初始条件有关；3.初相位、相位和相位差初相

：描述质点在t时刻振动状态的物理量.相位ωt+

：相位差

Δ

：则相位差:设有同频率两振子的振动方程分别为:单位：弧度（rad）2/5/2023同相和反相当=2k,(k=0,1,2,…),两振动步调相同,称同相.当=(2k+1),(k=0,1,2,…),两振动步调相反,称反相.x2TxoA1-A1A2-A2x1t反相txoA1-A1A2-A2x1x2T同相超前和落后若=2-1>0,则称x2比x1超前(或x1比x2落后).超前、落后以-

<

<

的相位角来判断.2/5/2023振幅：初相位：4.振幅和初相位的求法设t=0时:说明(2)振幅和初相位由初始条件决定.(1)不是唯一的,与坐标正向有关,需要具体分析.2/5/2023例:一轻弹簧,一端固定,另一端连接一定质量的物体.整个系统位于水平面内,系统的角频率为6.0s-1.今将物体沿平面向右拉长到x0=0.04m处释放.(1)简谐运动表达式；(2)物体从初位置运动到第一次经过A/2处时的速度.求：解：(1)(为什么不取π)初相位：2/5/2023(2)由(1)中结果依题意，v＜0则2/5/2023

5.2简谐运动的旋转矢量表示法5.2.1旋转矢量表示法PMOx投影点P的坐标为：结论：投影点的运动为简谐运动.模为简谐运动的振幅.旋转矢量角速度

为简谐运动的角频率.与x轴的夹角(t+)为简谐运动的相位.t=0时，与x轴的夹角

为初相位.旋转矢量

旋转一周，P点完成一次全振动.周期：2/5/20235.2.2旋转矢量图的应用1.求初相位t=0时刻，质点位于x=A/2处，且向x轴正向运动.xAOt=0时刻，质点位于x=-A/2处，且向x轴负向运动.OxA2/5/20232.用旋转矢量图画简谐运动的

图2/5/2023例:一质点沿x轴作简谐运动,振幅为12cm,周期为2s.当t=0时,

位移为6cm,且向x轴正方向运动.求:

(1)振动表达式；(2)t=0.5s时,质点的位置、速度和加速度；(3)若某时刻质点位于x=-6cm,且向x轴负方向运动,求从该位置回到平衡位置所需的最短时间.解：A=12cm,T=2s,x0=6cm.且v0＞0(1)xt=0时，x0=0.06m,6cmv0>02/5/2023x(2)(3)2/5/2023

5.3单摆和复摆5.3.1单摆Ol

mgT小球受力矩：根据转动定律:化简得:θ为振动角位移振幅为θ0单摆的振动是简谐运动.结论：2/5/20235.3.1复摆hOCmgJ刚体受力矩：根据转动定律:化简得:复摆的振动是简谐运动.结论：θ为振动角位移振幅为θ02/5/2023

5.4简谐运动的能量振子势能：振子动能：系统的总能量：取振子在平衡位置时的势能为零,则：2/5/2023讨论：(1)振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化，但任一时刻总机械能保持不变.(2)位移最大,势能最大,但动能最小,在振动曲线的峰值;位移为0,势能为0,但动能最大,在振动曲线的平衡位置.2/5/2023

5.5简谐运动的合成5.5.1同方向、同频率的两个简谐运动的合成1.分振动:

2.合振动:2/5/2023讨论:

(1)若两分振动同相,即21=2k(k=0,1,2,…)(2)若两分振动反相,即21=(2k+1)(k=0,1,2,…)当A1=A2时,A=0.则

A=A1+A2

,两分振动相互加强;则A=|A1-A2|,两分振动相互减弱;当A1=A2时,A=2A1.结论：合振动x

仍是简谐运动.合振动振幅不仅与两分振动的振幅有关,与相位差也有关.2/5/2023旋转矢量法处理简谐运动的合成2/5/2023两个同方向同频率简谐运动的合成演示2/5/20235.5.2同方向、不同频率两个简谐运动的合成拍1.分振动:

2.合振动:当时,当时，A有最大值A有最小值结论：合振动x

不再是简谐运动.2/5/2023当21时,2-12+1,令其中随

t缓变随t快变振幅相同、同方向不同频率的简谐运动的合成

2.合振动:1.分振动:合振动x

可看作是振幅缓变的简谐运动.结论：2/5/2023xx2x1ttt3.拍的现象

OOO:振动出现时强时弱的现象.2/5/2023由于振幅总是正值，余弦函数的绝对值以π为周期即合振动振幅变化的周期：拍频:单位时间内合振动振幅强弱变化的次数，即2/5/20232/5/2023*5.5.3相互垂直的简谐运动的合成1.相互垂直的同频率简谐运动的合成1)分振动:2)合运动:讨论当=2-1=k(k为整数)时:当=(2k+1)/2(k为整数)时：

2/5/2023

=0(第一象限)

=/2

=

=3/2(第二象限)(第三象限)（第四象限）2/5/2023两个相互垂直的同频率简谐运动的合成演示2/5/20232.相互垂直的不同频率简谐运动的合成两个互相垂直、不同频率的简谐运动的合成时，如果它们的频率之比为整数时，会产生的稳定的封闭曲线，其形状与频率比和相位差有关，这种图形叫做李萨如图.两个相互垂直的不同频率简谐运动的合成演示2/5/2023

5.6阻尼振动受迫振动共振5.6.1阻尼振动Oxx为阻尼系数由牛顿第二定律:

称为阻尼因子动力学方程：微分方程的特征方程为：2/5/20231.小阻尼情况:阻力很小方程解：周期:(2)阻尼越大，减幅越迅速;(1)阻尼较小时，振动为减幅振动，振幅随时间按指数规律迅速减少;结论：(3)振动周期大于自由振动周期.2/5/20232.过阻尼情况：阻力很大阻尼较大时，振动从最大位移缓慢回到平衡位置，不作往复运动.结论：2/5/2023此时为“临界阻尼”的情况，是质点不作往复运动的一个极限.3.临界阻尼情况:结论：2/5/20235.6.2受迫振动共振1.受迫振动系统在周期性的外力持续作用下所发生的振动.(1)策动力:周期性的外力.(2)振动规律:物体受力：恢复力+阻力+策动力Oxx由牛顿第二定律：令：2/5/2023在阻尼较小时，其通解为对应齐次方程的通解加上一个特解，为:其中:第一项为暂态项，经过一段时间以后趋向于零，

为积分常数，由初始条件确定；第二项为稳定项，即:代入原方程求得:2/5/2023(1)受迫振动是阻尼振动和余弦振动的合成;(2)经一段相当的时间后，阻尼振动为零;(3)其周期为策动力的周期，振幅、初相位不仅与初条件有关，而且与策动力的频率和力幅有关.结论：2/5/20232.共振：当策动力的频率接近于固有频率时，受迫振动的振幅达到最大值的现象.共振频率：共振振幅：共振频率大阻尼小阻尼阻尼阻尼系数越小，共振角频率越接近于系统的固有频率，同时共振振幅也越大.结论：2/5/20232/5/2023情景再现1940年7月1日，桥龄仅4个月的美国Tocama大桥在一场不算太强的大风中坍塌。风产生的周期性效果导致大桥共振，大桥在风中坚强的摇曳了近一天，最终轰然坠下……

2/5/2023

第五章机械振动小结5.1简谐运动5.2简谐运动的旋转矢量表示法

5.3单摆和复摆5.4振动的能量5.5简谐运动的合成5.6阻尼振动受迫振动共振内容提要2/5/20231.振动表达式

2.简谐运动的速度与加速度3.简谐运动方程中的三个基本物理量振幅：初相位：4.振幅和初相位的求法2/5/20235.旋转矢量表示法模为简谐运动的振幅.旋转矢量角速度

为简谐运动的角频率.与x轴的夹角(t+)为简谐运动的相位.t=0时，与x轴的夹角

为初相位