第6章 函数误差与误差合成

第6章

函数误差与误差合成作者：刘兆平部门：机电设备系主菜单结束6-1教学目标

本章阐述了函数误差、误差合成与分配的基本方法，并讨论了微小误差的取舍、最佳测量方案的确定等问题。通过本章的学习，读者应掌握函数系统误差和函数随机误差的计算以及误差的合成和分配。主菜单结束2教学重点和难点函数系统误差函数随机误差函数误差分布的模拟计算随机误差的合成未定系统误差和随机误差的合成误差分配微小误差取舍准则最佳测量方案的确定主菜单结束3第一节函数误差主菜单结束6-4基本概念间接测量

函数误差

间接测得的被测量误差也应是直接测得量及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函数误差

通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被测量

主菜单结束5一、函数系统误差计算主菜单结束6-6间接测量数学模型间接测量的数学模型

与被测量有函数关系的各个直接测量值及其其他非测量值，又称输入量

间接测量值，又称输出量

主菜单结束7函数系统误差公式函数系统误差的计算公式为各个输入量在该测量点处的误差传播系数和的量纲或单位相同，则起到误差放大或缩小的作用和的量纲或单位不相同，则起到误差单位换算的作用主菜单结束8几种简单函数的系统误差

1、线性函数2、三角函数形式

系统误差公式当当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测量值系统误差之和主菜单结束9【例6-1】用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高，弦长，工厂检验部门又用高准确度等级的卡尺量得弓高，弦长试问车间工人测量该工件直径的系统误差，并求修正后的测量结果。【解】建立间接测量大工件直径的函数模型

不考虑测量值的系统误差，可求出在处的直径测量值主菜单结束10车间工人测量弓高、弦长的系统误差

直径的系统误差故修正后的测量结果

计算结果误差传播系数为主菜单结束11二、函数随机误差计算主菜单结束6-12数学模型

变量中有随机误差，即泰勒展开，并取其一阶项作为近似值，可得函数的一般形式得到主菜单结束131、函数标准差计算

或第i个直接测得量的标准差第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数第i个测量值和第j个测量值之间的协方差第i个直接测得量对间接量在该测量点处的误差传播系数主菜单结束14或相互独立的函数标准差计算

若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项令主菜单结束15函数的极限误差公式

当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式第i个直接测得量的极限误差主菜单结束16三角形式的函数随机误差公式函数形式为函数随机误差公式为主菜单结束17【例6-2】用弓高弦长法间接测量大工件直径。车间工人用一把卡尺量得弓高，弦长，工厂检验部门又用高准确度等级的卡尺量得弓高，弦长。已知车间工人测量该工件弓高的标准差，弦长的标准差，试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的测量结果。【解】有故修正后的测量结果

主菜单结束182、相关系数估计主菜单结束6-19相关系数对函数误差的影响

反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传播关系函数随机误差公式当相关系数当相关系数主菜单结束20相关系数的确定－直接判断法可判断的情形断定与两分量之间没有相互依赖关系的影响当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替变化，反之亦然与属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量与虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不计的弱相关主菜单结束21相关系数的确定－直接判断法可判断或的情形断定与两分量间近似呈现正的线性关系或负的线性关系当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或减小，反之亦然与属于同一体系的分量，如用1m基准尺测2m尺，则各米分量间完全正相关主菜单结束22相关系数的统计计算公式根据的多组测量的对应值，按如下统计公式计算相关系数、分别为、的算术平均值主菜单结束233、函数误差分布的模拟计算

随机误差的分布完整地描述了该误差的全部特征分布密度函数

解析方法难以求得计算机数值仿真计算

主菜单结束24计算机随机模拟法的步骤

①输入各输入量及其算术平均值和标准偏差②产生如正态分布或均匀分布等所需误差分布等大样本数的伪随机数，并绘制描述各输入直接量误差分布的统计直方图③按函数测量模型公式计算该样本数的间接量，并绘制该函数误差分布的统计直方图；④统计并输出该间接量的最佳估计值、标准差与及误差分布区间半宽度。主菜单结束25计算机模拟测量系统主菜单结束26【例6-3】用相同标称长度50mm的标准块规校准某块规，通过两块规长度的直接比较，输出两者的长度差有如下公式假设各个量之间的相关系数均为0。试用仿真计算的方法分析该校准的误差分布及其标准差。【解】故有主菜单结束27输入量的误差性质输入量名称分布标准差数值受校块规长度值在20ºC时的校准长度两块规长度差值在20ºC时的长度标准块规的热膨胀系数试验座温度偏离标准温度两块规的热膨胀系数

两块规间温度差

00正态正态均匀均匀均匀反正弦主菜单结束28六个输入量分布均值均值均值均值均值均值主菜单结束29输出量分布

均值直方图主菜单结束30第二节随机误差的合成

任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量过程中各个环节一系列误差因素作用的结果。误差合成就是在正确地分析和综合这些误差因素的基础上，正确地表述这些误差的综合影响。

标准差合成极限误差合成解决随机误差的合成问题一般基于标准差方和根合成的方法，其中还要考虑到误差传播系数以及各个误差之间的相关性影响主菜单结束31一、标准差合成合成标准差

q个单项随机误差，标准差

误差传播系数

由间接测量的显函数模型求得根据实际经验给出知道影响测量结果的误差因素而不知道每个和主菜单结束32合成标准差的特殊情形各个误差互不相关，相关系数合成标准差

用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标准差，均可计算出总的标准差当误差传播系数、且各相关系数均可视为0的情形

视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或者说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲的分量主菜单结束33二、极限误差合成

单项极限误差

单项随机误差的标准差单项极限误差的置信系数合成极限误差合成标准差合成极限误差的置信系数主菜单结束34合成极限误差计算公式根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，即可进行极限误差的合成各个置信系数、

不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数也不相同主菜单结束35合成极限误差特殊情形当各个单项随机误差均服从正态分布时，各单项误差的数目q较多、各项误差大小相近和独立时，此时合成的总误差接近于正态分布，此时合成极限误差若和各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用的极限误差合成公式主菜单结束36第三节未定系统误差与随机误差的合成主菜单结束6-37一、未定系统误差的合成

对已定系统误差，在处理测量结果时应先修正而不宜合成对未定系统误差，估计出其可能范围，视为随机误差进行合成未定系统误差的取值具有一定的随机性，服从一定的概率分布，因而若干项未定系统误差综合作用时，他们之间就具有一定的抵偿作用。这种抵偿作用与随机误差的抵偿作用相似，因而未定系统误差的合成，完全可以采用随机误差的合成公式，这就给测量结果的处理带来很大方便主菜单结束38二、未定系统误差与随机误差的合成已定系统误差经修正后，影响测量过程的总误差只要考虑未定系统误差与随机误差的合成。总误差可用极限误差来表示，也可用标准差来表示按标准差合成按极限误差合成主菜单结束39按标准差合成测量过程中q个单项随机误差的标准差个单项未定系统误差的标准差设各个误差传播系数均为1，则总的测量标准差为R为各个误差间协方差之和当各个误差之间互不相关主菜单结束40n次重复测量情形

单次测量最后结果的总标准差n次重复测量测量结果平均值的标准差公式主菜单结束41按极限误差合成测量过程中q个单项随机误差的极限误差个单项未定系统误差的极限误差设各个误差传播系数均为1，则测量结果总的极限误差为R为各个误差间协方差之和当各个误差之间互不相关主菜单结束42n次重复测量情形

单次测量最后结果的总误差n次重复测量总极限误差在单次测量的总误差合成中，不需严格区分各个单项误差为未定系统误差或随机误差在多次重复测量中的总误差合成中，则必须严格区分各个单项误差的性质主菜单结束43【例6-4】在万能工具显微镜上用影像法测量某一平面工件的长度共两次，测得结果分别为，，已知工件的和高度为。根据工具显微镜的工作原理和结构可知，测量过程中主要的误差见表。求测量结果及其极限误差主菜单结束44【例6-4】测量过程中主要的误差序号123456误差因素极限误差随机误差未定系统误差备注阿贝误差光学刻尺刻度误差温度误差读数误差瞄准误差光学刻尺检定误差－－－－0.81－－0.50.351.251未修正时计入总误差修正时计入总误差主菜单结束45【例6-4】的测量结果【解】两次测量结果的平均值为根据万能工具显光学刻线尺的刻度误差表，查得在范围内的误差，此项误差为已定系统误差，应予修正则测量结果主菜单结束46【例6-4】的极限误差计算结果设各误差都服从正态分布且互不相关，则测量结果（两次测量的平均值）的极限误差为当未修正光学刻尺刻度误差时测量结果可表示为当已修正光学刻尺刻度误差时

主菜单结束47【例6-5】用TC328B型天平，配用三等标准砝码称一不锈钢球质量，一次称量得钢球质量，求测量结果的标准差主菜单结束48【例6-5】中的主要误差分析(1)随机误差

天平示值变动性所引起的误差为随机误差。多次重复称量同一球的质量的天平标准差为

(2)未定系统误差

标准砝码误差和天平示值误差，在给定条件下为确定值，但又不知道具体误差数值，而只知道误差范围（或标准差），故这两项误差均属未定系统误差

①砝码误差

天平称量时所用的标准砝码有三个即的一个，的两个，标准差分别为故三个砝码组合使用时，质量的标准差为

②天平示值误差该项标准差为主菜单结束49【例6-5】测量结果的标准差三项误差互不相关，且各个误差传播系数均为1，因此误差合成后可得到测量结果的总标准差为

最后测量结果应表示为（１倍标准差）

主菜单结束50第四节

误差分配主菜单结束6-51基本思想

误差分配

给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差。在误差分配时，随机误差和未定系统误差同等看待。假设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，有给定，如何确定，满足主菜单结束52一、按等影响原则分配误差

等影响原则

各分项误差对函数误差的影响相等，即可得到极限误差表示

函数的总极限误差各单项误差的极限误差主菜单结束53二、按可能性调整误差

(1)对各分项误差平均分配的结果，会造成对部分测量误差的需求实现颇感容易，而对令一些测量误差的要求难以达到。这样，势必需要用昂贵的高准确度等级的仪器，或者以增加测量次数及测量成本为代价。按等影响原则分配误差的不合理性

(2)当各个部分误差一定时，则相应测量值的误差与其传播系数成反比。所以各个部分误差相等，相应测量值的误差并不相等，有时可能相差较大。在等影响原则分配误差的基础上，根据具体情况进行适当调整。对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现的误差项尽可能缩小，其余误差项不予调整。主菜单结束54三、验算调整后的总误差

误差按等影响原理确定后，应按照误差合成公式计算实际总误差，若超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再进行缩小。若实际总误差较小，可适当扩大难以实现的误差项的误差，合成后与要求的总误差进行比较，直到满足要求为止。主菜单结束55【例6-6】【解】测量一圆柱体的体积时，可间接测量圆柱直径及高度，根据函数式求得体积，若要求测量体积的相对误差为1％，已知直径和高度的公称值分别为，试确定直径及高度的准确度。计算体积

体积的绝对误差

主菜单结束56按等影响分配原则分配误差，得到测量直径与高度的极限误差【例6-6】极限误差计算结果57用这两种量具测量的体积极限误差为

因为【例6-6】理论极限误差查资料，可用分度值为0.1mm的游标卡尺测高，在50mm测量范围内的极限误差为，用0.02mm的游标卡尺测直径，在20mm范围内的极限误差为。主菜单结束58调整后的实际测量极限误差为因为因此调整后用一把游标卡尺测量直径和高度即能保证测量准确度。

显然采用的量具准确度偏高，选得不合理，应作适当调整。若改用分度值为0.05mm的游标卡尺来测量直径和高度，在50mm测量范围内的极限误差为。此时测量直径的极限误差虽超出按等作用原则分配所得的允许误差，但可从测量高度允许的多余部分得到补偿。调整后的测量极限误差主菜单结束59第五节

微小误差取舍准则主菜单结束6-60基本概念

微小误差

测量过程包含有多种误差时，当某个误差对测量结果总误差的影响，可以忽略不计的误差测量结果的标准差将其中的部分误差取出后，则得

若有

则称为微小误差

主菜单结束61测量误差的有效数字取一位

某项部分误差舍去后，满足或则对测量结果的误差计算没有影响。

测量误差的有效数字取二位

或对于随机误差和未定系统误差，微小误差舍区准则是被舍去的误差必须小于或等于测量结果的十分之一到三分之一。对于已定系统误差，按百分之一到十分之一原则取舍。基本取舍准则主菜单结束62第七节

最佳测量方案的确定主菜单结束6-63基本概念

最佳测量方案的确定当测量结果与多个测量因素有关时，采用什么方法确定各个因素，才能使测量结果的误差最小。函数的标准差

欲使为最小，可从哪几方面来考虑？

主菜单结束64一、选择最佳函