第11章能量方法

第十一章能量方法§11–1杆件变形能的普遍表计算达式§11–2变形能的普通表达式§11–3互等定理§11–4卡式定理§11–5用能量法解超静定§11–6单位载荷法莫尔积分§11–7图乘法2008.7.16§11–1杆件变形能的普遍表计算达式1、弹性应变能：杆件发生弹性变形，外力功转变为变形能贮存于杆内，这种能成为应变能（StrainEnergy）用“Vε

”表示。2、功能原理

——弹性范围内，构件受静载外力产生变形的过程中，能量守恒，即：外力功=变形能略去动能及能量损耗一、概论2008.7.16二、

拉压杆的应变能计算：内力为分段常量时FN(x)dxx不计能量损耗时，外力功等应变能。2008.7.162、

拉压杆的比能vε：

单位体积内的应变能。FN(x)dxxdxFN(x)FN(x)2008.7.16解：方法2：能量法：（外力功等于变形能）（1）求钢索内力：以ABD为对象：例:设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为

76.36mm²的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设

P=20kN，试求刚索的应力和

C点的垂直位移。设刚索的E=177GPa。800400400CPAB60°60°PABCDTTYAXA2008.7.16（2)钢索的应力为：（3)C点位移为：800400400CPAB60°60°能量法：利用应变能的概念解决与结构物或构件的弹性变形有关的问题，这种方法称为能量法。外载看成缓慢加载2008.7.161.纯剪切应力状态下的应变能密度对处于纯剪切应力状态的单元体(图a)，为计算其上的外力所作功dW

可使左侧面不动，此时的切应力τ仅发生在竖直平面内而只有右侧面上的外力τ

dydz在相应的位移γdx上作功。三、等直圆杆扭转时的应变能2008.7.162、应变比能acddxbdy´´dzzxy单元体微功：2008.7.16在扭矩T为常量时，长度为l的等直圆杆所蓄积的应变能为

3、等直圆杆在扭转时积蓄的应变能由可知，亦有2008.7.16当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时，整个杆内蓄积的应变能为

在线弹性范围内工作的等直圆杆在扭矩T为常量，其长度为l范围内的应变能亦可如下求得：2008.7.16例1图示AB、CD

为等直圆杆，其扭转刚度均为GIp，BC为刚性块，

D截面处作用有外力偶矩Me。试求：（1）杆系内的应变能；（2）利用外力偶矩所作功在数值上等于杆系内的应变能求D截面的扭转角jD。ABCDMel/2l2008.7.16T2=MeDMeT1=-MeBCDMe解:1.静力平衡求扭矩2.杆系应变能其转向与Me

相同。ABCDMe3.求D截面的扭转角

jD2008.7.16例2试推导密圈圆柱螺旋弹簧(螺旋线升角a<

5°)受轴向压力(拉力)F作用时，簧杆横截面上应力和弹簧缩短(伸长)变形的近似计算公式。已知：簧圈平均半径R，簧杆直径d，弹簧的有效圈数n，簧杆材料的切变模量G。2008.7.16解：1.求簧杆横截面上的内力

对于密圈螺旋弹簧，可认为簧杆的横截面就在包含外力F作用的弹簧轴线所在纵向平面内(如图)，于是有：剪力FS=F扭矩T=FR2008.7.162.求簧杆横截面上的应力簧杆横截面上与剪力FS相应的切应力通常远小于与扭矩T=FR相应的切应力，故在求近似解时将前者略去。又，在通常情况下，簧圈直径D=2R与簧杆直径d的比值D/d较大，故在求簧杆横截面上扭转切应力时，略去簧圈的曲率影响。于是有2008.7.163.求弹簧的缩短(伸长)变形当弹簧所受外力F不超过一定限度而簧杆横截面上的最大切应力tmax不超过簧杆材料的剪切比例极限tp时，变形Δ与外力F成线性关系(如图)。于是有外力所作功：2008.7.16至于簧杆内的应变能Vε，如近似认为簧杆长度l=2pRn，且簧杆横截面上只有扭矩T=FR，则根据能量守恒原理W=Vε，即得密圈圆柱螺旋弹簧的缩短(伸长)变形近似计算公式：如令，则有，式中k为弹簧的刚度系数(N/m)。2008.7.16等直梁在线弹性范围内纯弯曲时(图a)，其曲率为常量，挠曲线为一圆弧，梁的两个端面在梁弯曲后对应的圆心角为四、梁内的弯曲应变能(a)2008.7.16(b)它在数值上就等于梁在纯弯曲时的应变能：将代入上式可得外力功W:工程中常用的梁其剪切变形对位移的影响通常很小，可略去不计。梁在横力弯曲时其长为dx的微段内的弯曲应变能为2008.7.16从而全梁内的弯曲应变能为2008.7.16

例题求图示等直梁的弯曲应变能Ve，并利用功能原理求自由端A的挠度wA。2008.7.16解：梁的弯矩表达式为M(x)=Fx，于是得弯曲应变能自由端的集中力由零增加到最终值F的过程中所作的功为根据功能原理，有W=Ve，即从而得所求得的wA为正值，表示wA的指向与集中力F的指向相同，即向上。2008.7.16§11–2变形能的普通表达式(a)

轴向拉（压）杆2008.7.16

(b)

扭转2008.7.16(c)弯曲纯弯曲

2008.7.16弯曲应变能各种基本变形的应变能统一表达式：MMdMMdx横力弯曲对于细长梁来说一般可略去剪切应变能2008.7.16也可以把应变能统一写成式中，F为广义力，可以代表一个力,一个力偶,一对力或一对力偶等。D为广义位移，可以代表一个线位移,一个角位移,一对线位移或一对角位移等。拉压扭转弯曲内力FNTM刚度EAGIPEI2008.7.161.构件上有一组广义力共同作用令F=F1

,wC=D1

,Me=F2

,qA=D2

,则（）（）CwCFEIABMel/2l/2qA,2008.7.16

Fi

为广义力，Di

为Fi

的作用点沿Fi

方向的广义位移，它是由所有广义力共同产生的。

2.组合变形（用内力形式表示的应变能）M(x)

—只产生弯曲转角小变形时不计FS

产生的应变能，FN

(x)

—只产生轴向线位移T(x)—只产生扭转角有n个广义力同时作用时2008.7.16对于dx

微段，FN(x),T(x),M(x)

均为外力。略去高阶微量后，dx段的应变能为杆的应变能为2008.7.16(a)由于应变能是外力（内力）或位移的二次齐次式，所以产生同一种基本变形形式的一组外力在杆内产生的应变能，不等于各力单独作用时产生的应变能之和。小变形时，产生不同变形形式的一组外力在杆内产生的应变能等于各力单独作用时产生的应变能之和。

3.应变能的特点:EAF2F1ab例F1F2Me2008.7.16应变能与内力（或载荷）不是线性关系，故多个载荷作用时，求应变能不可随意用叠加法。注意组合变形分解为各基本变形后（互不偶合），分别计算并求和：变形能与加载次序无关；相互独立的力（矢）引起的变形能可以相互叠加。2008.7.16(b)

应变能的大小与加载顺序无关（能量守恒）

F

和Me

同时作用在梁上，并按同一比例由零逐渐增加到最终值——简单加载。在线性弹性范围时，力和位移成正比，位移将按和力相同的比例，由零逐渐增加到最终值。上图中CwCFEIABMel/2l/2qA,(a)2008.7.16先加F,再加Me

(图b，c)式中，为力F在由Me产生的C点处的挠度上作功，所以无系数。(b)CwC,FFEIABl/2l/2qA,F,cFEIABMel/2l/2wC,F

(c),还可以先加Me

，再加F，得到的应变能和以上的值相同。2008.7.16FSMNMTAAFNBjT例1图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作用，求A点的垂直位移。解：用能量法（外力功等于应变能）①求内力AFR2008.7.16③外力功等于应变能②变形能：2008.7.16例题1图示简支梁，在横截面C处承受载荷F作用。试计算梁的应变能与截面C的挠度。设弯曲刚度EI为常数。应变能计算挠度计算2008.7.16例题2外伸梁ABC的自由端作用有铅直荷载F，试求C端挠度。应变能计算挠度计算2008.7.16

Ⅱ.余能图a为非线性体弹性体的受拉杆，其F－D和s－e关系如图b,c

所示。（1）余功的定义为2008.7.16Wc只有几何图形上的意义，无物理概念.FF1WcaWD1Do(d)2008.7.16(2)余能:σσ2008.7.16（3）线弹性体（图e）

Ve

和Vc

数值相等，但概念和计算方法不同，即Ve

=f(D),Vc

=

f(F)。图e2008.7.16

例图a中两杆的长度均为l,横截面面积均为A。材料在单轴拉伸时的s－e关系如图b

所示。求结构的余能。解：该题为物理非线性问题，需用求Vc。

由结点C的平衡方程，得二杆的轴力为应力为2008.7.16余能密度为结构的余能为得（n>1）由2008.7.16Fi

——广义力Δi——广义位移各力同时作用在梁上，并按同一比例由零逐渐增加到最终值（简单加载）。Ⅰ.卡氏第一定理设各力和相应位移的瞬时值分别为fi,di，各力在其相应的位移上做功,并注意到材料为非线性弹性体，梁的应变能为为位移状态函数。§11–4卡式定理非线性弹性体2008.7.16假设与第i个荷载Fi相应的位移Di有一微小位移增量dDi，

而与其余荷载相应的位移,以及各荷载均保持不变。外力功和应变能的增量分别为（dDi不是由Fi产生的，Fi

dDi为常力做的功

）（a）(b)式中，为应变能对位移的变化率。2008.7.16（3－11）式为卡氏第一定理。它说明，弹性结构的应变能，对于结构上与某一荷载相应的位移之变化率，等于该荷载的值。以上推导中并没有涉及到梁的具体性质，故（3－11）适用于一切受力状态的弹性体。对于线弹性体也必须把Ve写成给定位移的函数形式。（3－11）得令2008.7.16

例3－8

图a所示结构中，AB,BC杆中的横截面面积均为A，弹性模量均为E。两杆处于线弹性范围内。试用卡氏第一定理，求B点的水平位移D1和铅垂位移D2

。2008.7.16

解：卡氏第一定理要求把应变能写成位移D1和D2的函数，D1和D2是由AB,BC杆的变形量dAB,dBC所引起的。首先分析dAB,dBC和D1和D2的几何关系。dAB=D1

，d

BC=A1cos45˚=设B点只发生铅垂位移D2（图c），由图可见设B点只发生水平位移D1（图b），由图可见2008.7.16D1和D2同时发生时，则有,（1）,由于是线弹性问题，结构的应变能为（2）2008.7.16（3）（4）联立求解（3）,（4），得可以验证（3）,（4）式相当于平衡方程。（→）,（↓）由卡氏第一定理，得2008.7.16Ⅱ.卡氏第二定理图示为非线性弹性杆，Fi为广义力，Di为广义位移。各力按简单加载方式作用在梁上。设加载过程中各位移和相应力的瞬时值分别为di，fi。梁的余能为（3－12）表明(1)余能定理2008.7.16令上式称为余能定理。可用于求解非线性弹性结构与Fi相应的位移。(3－13)得设第i个力Fi有一个增量dFi，其余各力均保持不变，各位移均不变。余功和余能的改变量分别是2008.7.16

例3－9

图a中两杆的长度均为l，横截面面积均为A，材料在单轴拉伸时的s－

e的关系如图b所示。试用余能定理求结点C的铅垂位移D1。2008.7.16

解：在例3－5中，已求出结构的余能为由余能定理得设BC,CD

杆的伸长量为d，容易验上式的，即为变形的几何关系。2008.7.16由平衡方程得两杆的伸长量为则BC,CD

杆横截面上的的应力为故2008.7.16(2)卡氏第一定理和余能定理的比较

卡氏第一定理

余能定理Di→Di+dDi，其它位移均不变，所有的力均不变。Fi→Fi+dFi，其它力均不变，所有的位移均不变。2008.7.16

卡氏第一定理

余能定理

续表(平衡方程)（变形的几何关系）适用于非线性和线性弹性体适用于非线性和线性弹性体2008.7.16(3)卡氏第二定理当结构为线弹性体时，由于力F和位移D成正比，Vc在数值上等于应变能Ve（如图）。若把用力表示，即（3－13）式可改写成（3－14）上式称为卡氏第二定理，它是余能定理在线弹性情况下的特殊情况。仅适用于线弹性体，它将是研究的重点。VcF1FD

D1

a(e)O2008.7.16它表明，线弹性结构的应变能，对于作用其上的某一荷载的变化率，等于与该荷载相应的位移。注意:组合变形（不计剪力的影响）时也可以写成用该式计算时，可减少计算工作量。2008.7.16卡氏定理卡氏一定理:余能定理:在线弹性杆件中卡氏二定理:2008.7.16例题3图示桁架，节点B承受载荷F作用。试用卡氏第二定理计算节点B的铅垂位移。已知两杆各截面的抗拉压刚度均为EA。应变能计算BFL2008.7.16例题4图示简支梁AB，承受均布荷载q作用。试用卡氏第二定理计算横截面B的转角。设弯曲刚度EI为常值。2008.7.16

弯曲刚度为EI的刚架，在自由端C承受集中荷载F如图示。刚架材料为线弹性的，不计轴力和剪力的影响。试用卡氏第二定理求自由端C的水平和铅垂位移。LLABCFBC段AB段x2例题52008.7.16

例3－10

图示梁的材料为线弹性体，弯曲刚度为EI，不计剪力对位移的影响。试用卡氏第二定理求梁A端的挠度wA。

解：因为A截面处无与wA相应的集中力，不能直接利用卡氏第二定理，可在A截面上虚加一个与wA相应的集中力F，利用卡氏第二定理后，令F=0,即2008.7.16梁的弯矩方程以及对F的偏导数分别为利用卡氏第二定理，得（和假设的F的指向一致）这种虚加F力的方法，也称为附加力法。(↓)这是因为为n个独立广义力的二次齐次式,其中

也可以作为一个广义力。2008.7.16

例3－11

图

a所示梁的材料为线弹性体，弯曲刚度为EI。用卡氏第二定理求中间铰B两侧截面的相对转角。不计剪力对位移的影响。2008.7.16在中间铰B两侧截面处各加一个外力偶矩MB

，并求出在一对外力偶MB及q共同作用下梁的支反力（图b）。解：B截面两侧的相对转角，就是与一对外力偶MB

相应的相对角位位移，即2008.7.16（0<x≤l）梁的弯矩方程及其对MB的偏导数分别为AB段2008.7.16中间铰B两侧截面的相对转角为结果为正，表示广义位移的转向和MB的转向一致。()（0≤x≤

l），BC段2008.7.16

例3－12

图a所示为一等截面开口圆环，弯曲刚度为EI，材料为线弹性。用卡氏第二定理求圆环开口处的张开量D。不计剪力和轴力的影响。2008.7.16圆环开口处的张量就是和两个F力相对应的相对线位移，即（←→）用

角表示圆环横截面的位置，并规定使圆环内侧受拉时弯矩为正，则弯矩方程及其对F的偏导数分别为解：，2008.7.16结果为正，表示广义位移方向和广义力的指向一致。（）←→利用对称性，由卡氏第二定理，得2008.7.16

例3－13

图a所示Z字型平面刚架中，各杆的弯曲刚度均为EI，材料为线弹性，不计剪力和轴力对位移的影响。用卡氏第二定理求A截面的水平位移DAx

及铅垂位移DAy和A截面的转角qA。2008.7.16

解：在A截面处虚加Fx

，MA（图b），则各段的弯矩方程及其对各力的偏导数分别为M(x)=-Fx-MA(0≤

x≤3a)，，AB段2008.7.16B

(c)M(x)F3FaxqABC段将力F向B截面简化，得到作用于B的竖直力F和力偶矩3Fa，Fx和F在垂直于BC

杆方向上的力分别为Fxsin

q，Fcos

q

，指向如图c中虚线所示。2008.7.16B

(c)M(x)F3FaxqABC段（0

≤

x≤5a），，2008.7.16M(x)=Fx4a－Fx－MA

(0

≤

x≤

3a)CD段，，由卡氏第二定理可得（←）2008.7.16（↓）（）2008.7.16

例

悬臂梁受力如图所示，在两力F共同作用下，1,2两截面的挠度分别为w1

和w2。试证明：w11FF2w2

证明：设作用在1,2两截面的外力分别为F1和F2，且F1

=F

,F2＝F，则梁的应变能为Ve=Ve(F1,F2)。根据复合函数求导法则，有2008.7.16因此，若结构上有几个外力的字符相同时，在利用卡氏第二定理求其中某一力的作用点沿该力方向的位移时，应将该力与其它力区分开。w11FF2w22008.7.16

例

图示刚架各杆的弯曲刚度均为EI，不计剪力和轴力对位移的影响。试用卡氏第二定理求A截面的铅垂位移DAy。

解：由于刚架上A,C

截面的外力均为F，求A截面的铅垂位移时，应将A处的力F和C处的力F区别开（图b），在应用卡氏第二定理后，令FA=F。

(a)FABll/2l/2FCD(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y22008.7.16即

AB段（0≤x≤l）

M(x)=−FAx,各段的弯矩方程及其对FA的偏导数分别为

BC段（0≤y1≤l/2）

M(y1)=−FAl,(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y22008.7.16

CD段（0≤y2≤l/2）

M(y2)=−FAl−Fy2,令以上各弯矩方程中的FA=F，由卡氏第二定理得（↓）2008.7.16

例图示各杆的直径均为d，材料的弹性常数G=0.4E。试用卡氏第二定理求A端的铅垂位移（不计剪力对位移的影响）。解：AB段的弯矩方程及其对F的偏导数分别为lCBAFlxxzyO（0≤x≤l），2008.7.16（0≤y≤l）

A端的铅垂位移为，，（↓）

BC段的弯矩和扭矩方程及其对F的偏导数分别为2008.7.16Ⅰ.

卡氏第一定理（）

例

各杆的弹性模量均为E，横截面面积均为A。试用卡氏第一定理求各杆的轴力。§11－5用能量法解超静定系统2008.7.16(2)

解：设1,2,3

杆的轴力分别为,和（图b），相应的位移为D1,D2和D3（图c）。由对称性可知，，D1＝D2。由图c可知：

结构的应变能为(1)若求出D3，可由（1）求出D1（D2）。再由胡克定律求出轴力。以D3为基本未知量，该题为一次超静定。2008.7.16解得由胡克定律得将（4）式代入（1）得(4)(3)得由，2008.7.16

以位移作为基本未知量求解超静定问题的方法，称为位移法。（1）式为变形的几何方程，（3）式为平衡方程。求轴力时又应用了物理方程。故位移法仍然是综合考虑了平衡方程,几何关系和物理方程来求解超静定问题的。2008.7.16解：若以各杆的轴力为未知量，该题为（k-2）次超静定问题。若以A点的水平位移Dx和铅垂位移Dy为未知量，各杆的位移均可用Dx,Dy表示，再由胡克定律求出轴力，该题为二次超静定问题。

例图a中k≥3。各杆的弹性模量均为E，横截面面积分别为A1,A2

…，Ak

。试用卡氏第一定理求各杆的轴力。2008.7.16第

i根杆的长度为（1）由图b可知，第i根杆的伸长量为（2）结构的应变能为（3）2008.7.16由，得（5）联解（4）,（5）可得Dx

和Dy

。把Dx和Dy代入（2）可得，由胡克定律得到第i根杆得轴力（4）2008.7.16Ⅱ.

余能定理（）

例三杆的材料相同，s=Ke1/n(n>1)，横截面面积均为A，1,2两杆长度为l。用余能定理求各杆的轴力。2008.7.16解：以铰链D

的支反力X

为多余未知力，基本静定系如图b

所示，F,X看作基本静定系上独立的外力，所以Vc=Vc

(F,X)

（不能含有其它未知力）因为铰链D

处沿铅垂方向的位移为零，应有由该式求出X

后，再利用平衡方程求各杆的轴力。2008.7.16(1)（轴力均用F

和X

表示）由平衡方程得各杆的轴力分别为各杆的应力分别为(2)(3)由得2008.7.16结构的余能为(4)三杆的余能密度分别为2008.7.16（4）式包含了平衡方程和物理方程，而，表示变形的几何关系。由，得将X值代入（1），得

以力为基本未知量解超静定问题的方法，称为力法。2008.7.16Ⅲ.卡氏第二定理（）用卡氏第二定理来解超静定问题，仍以多余未知力为基本未知量，以荷载及选定的多余未知力作为基本静定系上独立的外力，应变能只能为荷载及选定的多余未知力的函数，即变形几何关系为，Di为和

的相应位移，它是和约束情况有关的已知量。2008.7.16

例刚架各杆的弯曲刚度均为EI，不计剪力和轴力对位移的影响，用卡氏第二定理求支反力。CABqll(a)2008.7.16解：该题为一次超静定。以铰链C的铅垂支反力X为多余未知力，基本静定系如图b

所示。由于,但是在中，出现(Ve

也将出现)，必须把CABqll(a)l(b)yFCxxXFAxFAyCABql用q,X

表示。由，得2008.7.16CB,AB段的弯矩方程及其对X的偏导数分别为，由，得l(b)yFCxxXFAxFAyCABql2008.7.16解得（↓）和图示方向相反。（↑）（←）（←）由平衡条件得l(b)yFCxxXFAxFAyCABql2008.7.16

例半圆环的弯曲刚度为EI，不计剪力和轴力对位移的影响，用卡氏第二定理求对称截面上的内力。2008.7.16

解：沿半圆环的对称截面处截开，取两个1/4圆环为基本静定系（图b)，多余未知力为轴力X1,弯矩X2,剪力X3。该题为三次超静定。(a)

但由于结构与荷载均是对称的，内力也应该是对称的，但X3是反对称的，故X3＝0，问题简化为二次超静定。半圆环的应变能只能为F，X1，X2的函数，即2008.7.16与X1，X2相应的位移条件分别为两截面的相对线位移和相对角位移为零，即(b)弯矩方程及其对X1，X2的偏导数分别为(c)2008.7.16注意到基本静定系为两个1/4圆环，(b)式成为(d)(e)将(c)式代入(d)和(e)式，可解得2008.7.16求任意点A的位移fA。一、定理的证明：能量方法aA图fAq(x)图c

A0P=1q(x)fA图b

A=1P0§11–6莫尔定理(单位力法)2008.7.16

莫尔定理(单位力法)二、普遍形式的莫尔定理能量方法2008.7.16三、使用莫尔定理的注意事项：④M0(x)与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立。⑤莫尔积分必须遍及整个结构。②M0——去掉主动力，在所求广义位移

点，沿所求

广义位移

的方向加广义单位力

时，结构产生的内力。①M(x)：结构在原载荷下的内力。③所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。能量方法2008.7.16例3

用能量法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。解：①画单位载荷图②求内力能量方法BAaaCqBAaaC0P=1x2008.7.16③变形能量方法BAaaC0P=1BAaaCqx2008.7.16④求转角，重建坐标系（如图）

能量方法qBAaaCx2x1BAaaCMC0=1

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