第1章 随机事件及其概率

勤学好问必有所获第一章随机事件及其概率随机试验与随机事件随机事件的概率概率的性质及其应用条件概率与事件的独立性全概率公式与贝叶斯公式贝努利概型与二项概率式随机试验与随机事件

一、随机现象、随机试验

1.随机现象在固定条件下观察结果唯一的现象在固定条件下由于概念不明确观察结果有两个以上的现象确定性现象本课程研究对象在固定条件下由于偶然性观察结果有两个以上的现象客观世界中的现象不确定性现象随机现象模糊现象

Def

在一定条件下，因不可控因素而导致实验或观察结果不唯一的现象成为随机现象。客观世界存在大量的随机现象。

2.随机试验

Def

为研究随机现象而进行的观察和试验统称为随机试验。随机试验必具备以下特点：

（1）至少有两个以上可能结果；

（2）试验的所有可能结果由试验条件明确已知，但每次具体试验之前不可预测本次试验将要出现的结果；

（3）试验可在相同条件下多次重复。

例1.1

某人抛掷一枚骰子，观察朝上面的点数。

例1.2

从装有7个白球和3个黑球的盒子中随意取出两个球，观察其颜色。

例1.3

从某厂所生产的10000件产品中随意抽取53件产品，考察其中次品的件数

例1.4

从某校中随意抽选一名学生，测量其身高。

例1.5

随意选取一天，考察上海市某证卷交易所股票中国石化的交易量。二、随机事件概念与集合

1.随机事件

Def随机试验的结果称为随机事件，简称事件。

随机事件在具体一次试验中有可能出现也有可能不出现，它具有不可预见性。如果随机事件在一次具体试验中出现了，就称该随机事件发生了。一般用大写的英文字母随机事件的分类基本事件复合事件特殊事件随机试验不可再分的结果若干个基本事件共同方可表达的结果。必然事件和不可能事件来表示随机事件，如2.样本空间Def随机试验基本事件的全体所形成的集合称为该随机试验的样本空间，一般用字母表示。样本空间是由所要研究的问题及其该问题所涉及的随机试验确定的，它是研讨问题的论域。例1.1的样本空间，其中表示朝上面的点数为1，表示朝上面的点数为2，其余记号类似。例1.2的样本空间，其中表示白球，表示黑球。如果将问题变为“观察白球出现的个数”，那么，样本空间，其中“0”表示所抽球中没有白球，“1”表示所抽球中有1个白球，其余记号类似。例1.3的样本空间，其中“0”表示所抽产品中没有次品，其余记号类似。例1.4的样本空间，其中表示所抽到学生的身高。

3.事件与集合显然，样本空间是一基本事件为元素的集合，复合事件是样本空间的真子集，必然事件就是样本空间，不可能事件是样本空间的空子集；如果再规定基本事件就是一个单点集，那么，随机事件就可以用集合来表示，但事件与集合又有所不同。

所谓一个事件发生时指表达该事件的集合中的一个元素在试验中出现了。三、事件之间的关系与运算

1.事件的包含与等价（相等）

的子事件。如果有成立，也称为在例1.1中，令表示掷得点数能被3整除；表示掷得。的点数大于2。则

。发生，则称事件包含事件，记为发生必导致事件Def设为任意两个事件，若事件互为对立事件，则它们一定互斥。显然，事件与互为对立事件。球，表示抽出的两球全为黑球，则与表示抽出的两球中至少有一球为白色在例1.2中，令互斥。的点数小于3，则与表示掷得在例1.1中，令表示掷得点数能被3整除；事件为的对立验中必有一个发生，则称与互为对立事件。记互斥，且在一次试时发生，则称事件与互斥。若与在一次试验中不能同Def设为任意两个事件，若与2.事件的互斥与对立。

的点数为3或6，则表示掷得在例1.1中，令表示掷得点数能被3整除；例如：。件与等价或相等。记为，则称事Def设为任意两个事件，若且

3.互斥事件完备群图1.1显然，互为对立的两个事件一定形成一个互斥事件完备群。因此，互斥事件完备群是对立事件概念的推广。互斥事件完备群形成样本空间的一个分割。后面将要遇到的概率计算中，利用互斥事件完备群在一些情况下可以化简复杂事件概率计算。形成一个互斥事件完备群，如图1.1所示。则在例1.4中，令形成互斥事件完备群。这组事件两个之间互斥，每次试验中必有它们其中一个发生，则称为一组事件，如果它们之中任意Def设

4.事件的和运算AB图1.2BA+。事件。记为中事件的和这样的试验结果为事件序列中至少有一个事件发生”则称“事件序列为一个事件序列，设事件和运算概念的推广：。（3）；（2）若，则；（1）从定义不难看出事件的和运算具有下列性质事件，如图1.2所示。所包含的不同的基本事件全体拿来形成一个集合所表达的的和事件就是将两事件中从运算角度来看，事件与。样的运算称为事件和运算。记与的和事件为的和事件；这一个发生”这样的试验结果为事件与事件至少Def设为任意两个事件，则称“事件与事件

5.事件的积运算

AB图1.3。事件，记为中事件的积样的试验结果为事件序列则称“事件序列中每个事件同时发生”这为一个事件序列，设事件积运算概念的推广：。

（3）；（2）若，则；（1）从定义不难看出事件的积运算具有下列性质

图1.3所示。所包含的公共基本事件全体构成的集合所表达的事件，如的积事件就是由两个事件从运算角度来看，事件与。样的运算称为事件积运算。记与的积事件为的积事件；这同时发生”这样的试验结果为事件与事件两个Def设为任意两个事件，则称“事件与事件

6.事件的差运算

（积运算）（和运算）2.结合律（积运算）

（和运算）1.交换律四、事件的运算律。（2）若，则；（1）形成的集合表达的事件，如图1.1所示。从定义不难看出事件的积运算具有下列性质

从运算角度来看，事件与的差事件就是由事件所包含的全体基本事件中去掉其与事件所共有的基本事件。这样的运算称为事件差运算。记与的差事件为的差事件；件不发生”这样的试验结果为事件与事件发生，而事Def设为任意两个事件，则称“事件

3.分配律

或“中都不发生”为中恰有两个事件发生”为解:“不发生”。都达下列事件“中恰有两个事件发生”，“

为某试验的三个已知事件，试用它们表例1.6设讨论事件之间关系和事件运算的目的是为了用简单事件表示复杂事件。熟练的应用事件的关系和运算将复杂事件表达成为一些相对简单事件的运算式是将来计算复杂事件概率基本手段。

这些运算律读可以推广到有限个事件的情况，对偶律还可以推广到无穷多个事件的情况。

4.对偶律（DeMorgan律）为互斥事件完备群事件组对立事件几个重要概念的等价表达解:由对偶律知

的对立事件。

试求事件

，例1.7设为某试验的三个已知事件，随机事件的概率(Probability)

同一随机试验的不同事件由于其内在的差别，在具体的试验过程中，它们各自发生的机会是不定一样的。为了刻画这种差异需要有一个指标，这个指标就是概率。所谓概率是用来刻画随机事件在一次试验中发生机会大小的一个数量指标。概率是人们在对随机现象认识不断深入的过程中，逐步建立和完善的概念。一、古典概型与概率的古典定义

1.

古典概型

古典概型描述的是特殊的，相对较简单的随机现象。判断一个随机试验是否为古典概型就是要看其基本结果数是否有限和各基本结果是否具有等可能性。

例如：例1.1，例1.2，例1.3都是古典概型。为古典概型。每个基本事件在试验中发生机会相等，则称该随机试验只有有限个基本事件，且Def若随机试验的样本空间

2.

概率的古典定义

所以有所含结果数事件由于所有可能结果解：设“全部装对”为事件例1.7（匹配问题）某人写了4封信和4个信封，现随机地将信装入信封中，求全部装对的概率。由此不难看出，对于古典概型概率计算问题就是确定确定样本点计数问题，这就使得初等数学里的排列组合知识成为求解古典概型概率问题的常用的工具。的概率为样本点数为，事件含有个样本点，则事件的任意事件，如果Def设随机试验为古典概型，为思路例1.8（组数问题）用1,2,3,4,5这5个数字构成三位数，试求“没有相同数字的三位数的概率”，“没有相同数字的三位偶数的概率”。

百位十位个位注意：该题第二问求解过程中，确定事件所含结果数时，采用了先满足特殊要求后满足一般条件的办法。没有相同数字的三位偶数的概率没有相同数字的三位数的概率于是表示组成没有相同数字的三位偶数。表示组成没有相同数字的三位数；

解：设思路例1.9（抽签问题）10个学生，以抽签的方式分配3张音乐会入场券，抽取10张外观形状相同的纸签，其中有3签代表可得到入场券。求“第五个抽签的学生抽到有入场券签”的概率。第五个学生抽到入场券另外9个学生抽取剩下9张请大家思考：某人获得入场卷的概率与他抽签的次序是否有关，为什么？所以有所含基本事件数事件基本事件总数解：设表示第五个抽签的学生抽到有入场券签。注意：生日问题，分房问题可以归结为这类问题。，于是有所含基本结果数（2），于是有（1）所含基本结果数，且各结果机会均等。显然，所有可能基本结果数为小球各占一个纸盒”。表示“个盒内各有一个小球”；解：设表示“指定的小球各占一个纸盒的概率。（2）（1）指定的个纸盒各有一个小球的概率；中，试求解下列问题：小球随意放入纸盒盒子，个小球（），欲将这个可容纳任意个小球的纸例1.10（占位问题）设现有二、几何概型与概率的几何定义

1.

几何概型

Def设有一个可度量的区域（直线上的区间、平面上的区域、空间的立体通称），向区域任意投一点，该点落于区域内任意小区域里的可能性大小只与小区域度量的大小有关，而与小区域的位置形状无关，这样的随机试验称为几何概型，这时样本空间。

几何概型如图1.4所示，具有下列特点：（1）有一个可度量的区域；（2）试验看成向中随机地投掷一点；（3）事件就是所投掷的点落在中的可度量图形中。

2.概率的几何定义

Def

设为几何概型，为其任意一个事件，为的度量，为的度量，则事件的概率为G图1.4A例1.11甲乙二人相约6:00-6:30在预定地点会面，规定先到的人要等候另一人10分钟后，方可离去。已知甲乙二人在6:00-6:30内任意时刻到达预定地点的机会是均等的。求甲乙二人能会面的概率。解：设表示甲乙二人能会面甲乙二人到达预定地点时刻分别为

及

（分钟）,则

二人能会面以6:00作为原点建立坐标系，那么，该问题如图1.5所示。从而有30301010图1.5例1.12甲乙两艘船欲停靠同一个码头，设两艘船到达码头的时间互不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能的。如果两艘船到达码头后需在码头停留的时间分别是1小时与2小时,试求在一昼夜内，任一艘船到达时，需要等待空出码头的概率。解：设甲船到达码头的时刻为，；

乙船到达码头的时刻为，；

事件表示任一船到达码头时需要等待空出码头．事件发生与需满足如图1.6所示，从而有即有xy2424y=x+1y=x-2图1.6例1.14(蒲丰投针问题)平面上画有间隔为d的等距平行线,向平面任意投掷一枚长为l的针，针与平行线相交的概率.由蒲丰投针问题：长为l的针与平行线相交的概率为:2l/d.实际去做N次试验，得n次针与平行线相交，频率为:n/N.用频率代替概率得：2lN/(dn)注：的随机模拟三、频率与概率的统计定义

1.

频率

Def设将试验进行了次，其中次发生了事件，则称为事件发生的频率，记为，即

显然，频率具有下列性质：（1）；（2），；（3）设为互斥事件，则有。

2.随机事件的统计规律

随机事件在一次试验中是否发生带有偶然性，但当试验次数不断增大时，它发生的频率就趋于稳定，这种规律称为随机事件的统计规律性。在历史上，为了证明随机事件的统计规律性，许多学者将掷硬币做过许多次，一些记录如下表所示。试验者抛掷次数出现正面的次数出现正面的频率德.摩根204810610.5180蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.4998掷硬币试验的历史资料表

3.

概率的统计定义

Def在相同条件下重复进行的次试验中,事件发生的频率稳定地在某一常数附近摆动,

且随越大摆动幅度越小,则称为事件的概率,记作。

概率的统计定义对试验没有特殊限制，适用于所有随机试验。优点是易于理解，在试验次数足够大时能给出概率的近似值；不足是粗糙、模糊和不便使用。例1.12为掌握一批小麦种子的发芽率，从这批小麦种子中抽取若干种子做发芽试验，统计结果如下表所示。试由此资料确定该批小麦种子的发芽率。解：从表内的资料可看出，随着做试验种子粒数的增加，种子发芽的频率在0.9附近摆动，参与发芽试验的种子粒数愈大附近摆动愈小，所以，这批小麦种子的发芽率大概应在0.9这个数值上。

注意：概率的统计定义只给出了确定事件概率近似方法。请大家思考概率的统计定义与下列极限过程有何区别？也即概率的统计定义能否理解为下式成立：种子粒数25107013031070015002000发芽粒数2496011628263913391806发芽率10.80.90.8570.8920.9100.9130.8930.903四、概率的公里化定义前面分别介绍了概率统计定义，概率的古典及概率的几何定义，它们在解决各自相适应的实际问题中，都起着很重要的作用，但它们各自都有一定局限性。为了克服这些局限性，1933年（前）苏联数学家柯尔莫哥落夫在总结前人成果的基础上，抓住概率本质特性，提出了概率公理化定义，为概率论的发展奠定了理论基础。

Def设的样本空间为，对于该试验的任意事件，赋予一个实数，如果满足下列三条公理：非负性：规范性：可列可加性：若事件列中的事件两两互斥，则有则称为事件的概率。概率的性质及其应用概率的公理化定义规定了概率的基本性质，由这些基本性质可以推导出下面一些概率的常用性质。有效的利用概率的这些性质可以简化复杂事件的概率计算。一、概率的性质

1.

证明：因为且任意两项互斥，由公理3便有由于概率是数，显然有

该性质告诉人们：不可能事件的概率为零。但可不能推出是不可能事件。例如：某人用一薄刀片在直尺上随意砍，现考察刀片恰好砍到直尺的中点这一事件，显然这事件是可能发生的，但由几何概型容易看出其概率为0。

2.有限可加性

设两两互斥，则有这个性质称为概率的有限可加性，证明类似于性质1。

3.单调性若，则有。证明：如图1.7所示有又互斥，从而所以有图1.7

4.加法定理

对任意两个随机事件，有证明：如图1.8所示有又互斥且所以有如果事件互斥，则有。加法定理可以推广到人以有限个事件的情况，下面给出三个事件的情况图1.8

5.逆事件的概率

设为事件的对立事件，则有。证明：如图1.9所示有所以有即有

该公式为求事件的概率提供了一个途径。二、概率性质在求解复杂事件概率中的应用

在求解复杂事件概率时，一般先利用事件之间的关系和运算把复杂事件用相对容易求概率的简单的事件表达出来，然后再用概率的性质计算。下面以例说明：例1.13袋中有20个球，其中15个白球，5个黑球，从中任取3个，求至少取到一个白球的概率．解：设表示至少取到一个白球，表示恰好取到个白球，，则A图1.9两两互斥

由古典概型和概率加法公式易得

(另解)又由于，从而由古典概型与逆概率公式有例1.14把6个小球随机地投入6个盒内(球,盒可识别)，求前三个盒当中有空盒的概率。解：设表示前三个盒当中有空盒，表示恰好第个盒是空的，，则，于是由古典概型与概率加法公式有例1.15设事件的概率分别为，试在下列情况下求的值：（1）与互斥；（2）。解:（1）因为与互斥，故有，于是有。所以（2）因为而互斥，于是有又知，所以有条件概率与事件的独立性一、条件概率（ConditionalProbability）

1.条件概率的概念

Def设为同一个随机试验的任意两个随机事件，且满足条件，则称为在事件发生条件下，事件发生的条件概率。

条件概率具有概率的一切性质，譬如：等概率性质均成立。

2.概率与概率的区别和联系联系：它们都是在发生下求概率。区别：①求时，事件同时发生；而求时，事件先发生，事件后发生；

②求时，样本空间为；而求时，样本空间为，即样本空间发生变化，如图1.10所示。

一般总有成立，但与不可比

3.条件概率的计算★一般利用条件概率的定义转化为无条件概率计算；★对于具有等可能性的古典概型、几何概型采用压缩样本空间法计算，即用下式计算：AB图1.10BAB发生条件下，A发生的次数或度量

B发生的次数或度量例1.16某种动物出生之后能活到20岁的概率为0.7，能活到25岁的概率为0.56，已知现有一只年龄为20岁的这种动物，求其能继续活到25岁的概率。解：设表示“该动物能活到20岁”；表示“该动物能活到25岁”。显然有，由题设条件知：由于有，由条件概率的定义有即年龄为20岁的这种动物，能继续活到25岁的概率为0.8。

注意：该题是一个典型的利用条件概率定义式将条件概率计算问题转化为无条件概率的解题方法。应用这种方法计算条件概率时，一定要注意概率与概率的区别和联系，而且概率和概率要容易求算。例1.17设100件产品中有70件一等品，25件二等品，规定一、二等品为合格品。从中任取1件，试求解下列问题：（1）取得一等品的概率；（2）已知取得的是合格品，其是一等品的概率。解：设表示取得一等品，表示取得合格品，则有（1）因为100件产品中有70件一等品，所以

（2）所求概率为，由古典概型易知从而由条件概率定义有注意：该题的第二问也可以采用压缩样本空间法求解。例1.18从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞。求所抽出2张都是假钞的概率。解：设表示“抽出的2张都是假钞”；表示“抽出的2张中至少有1张假钞”。显然有，所求概率为。由古典概型有所以例1.19假定生男生女是等可能。若已知某一个家庭有俩孩子，求这个家庭有两个男孩的概率；若已知这个家庭第一个孩子是男孩，求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率。解：设表示“这个家庭第一个孩子是男孩”；表示“这个家庭第二个孩子是男孩”；表示“这个家庭两个孩子都是男孩。于是有，所求概率分别为。由题意知样本空间和事件分别可表示为所以有注意：不要由这个例子随便得出条件概率大于无条件该的结论。请思考条件概率与无条件概率能比较大小吗？二、概率乘法公式

利用条件概率定义容易获得积事件概率的计算公式，即概率乘法公式设为随机试验的任意两个事件，且满足和，则有概率乘法公式可以推广到任意有限个事件积情况：设任意个事件，且，则必成立：

个事件的概率乘法公式并不只有上面这种形式。事实上，对于事件，这样形式的公式一定有个。请大家对的情况写出这些公式，并注意观察其规律。例1.20在一批产品中，甲厂生产的产品占60%，根据以往的经验，甲厂产品的次品率为10%，现从这批产品中随意的抽取一件，求该产品是甲厂生产的次品的概率。解：设表示事件“产品是甲厂生产的”；

表示事件“产品是次品”。

由题设知概率的乘法公式有例1.21某人打算外出旅游两天,需要知道两天的天气情况，据预报，第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨的概率为0.1.求第一天下雨时，第二天不下雨的概率.

解：设与分别表示第一与第二天下雨，于是例1.22甲、乙、丙3位求职者参加面试，每人的试题通过不放回抽取方式确定。假设被抽的10个试题卡中有4个是难题卡，抽取按甲先，乙次，丙最后的次序进行。试求解下列事件的概率：（1）甲抽到难题卡；（2）甲没抽到难题签而乙抽到难题卡；（4）甲、乙、丙都抽到难题卡。解：设分别表示“甲、乙、丙抽到难题卡”，于是，所求概率分别为

三、事件的独立

1.事件独立的概念先看一个例子

一个盒子中有６只黑球、４只白球，从中有放回地摸球。求（1）第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率；（2）第二次摸到黑球的概率。设表示“第一次摸到黑球”；表示“第二次摸到黑球”。容易计算得：（1）（2）从例子可以看出：第一次抽到黑球并没有影响到第二次抽到黑球的概率，即在这个试验中，有。

Def设为任意两个随机事件，如果满足则称事件与事件相互独立。

由定义显然有：事件与任意事件相互独立。

如果，则有

事件与事件相互独立事件相互独立的实质是：

“事件发生不影响事件发生的概率。”

2.事件独立性的判定（1）利用定义判定；（2）利用或判定；（3）利用问题的实际意义来判定。定理：下列四组事件具有相同的独立性；；；；证明：这里只证明相互独立相互独立。先证相互独立相互独立。因为，且相互独立，所以由概率的性质有即说明相互独立。再证相互独立相互独立。因为，且相互独立，所以由概率的性质有即说明相互独立所以相互独立相互独立。

3.有限多个事件独立性（事件独立性的推广）

Def设任意个事件，如果对所有可能组合满足则称事件相互独立。如果只满足，则称两两相互独立。显然，相互独立必两两相互独立，但两两相互独立未必相互独立。例1.23设一均匀堆成的四面体，第一面涂为红色，第二面涂为黄色，第三面涂为篮色，第四面红黄蓝三种颜色各涂一部分。旋转上抛，下落到地面后，观察接触地面面的直觉未必可信颜色。记表示接触地面面有红色；表示接触地面面有黄色；表示接触地面面有蓝色。试判断的独立性。解：由题设条件与古典概率定义有从而

所以，两两相互独立。又因为有所以，相互不独立例1.24一批玉米种子在某地的土壤及气候条件下，出苗率为0.80。如农民采用穴播法播种，为了保证每穴99%以上有苗，问每穴至少播多少粒种子？解：设每穴至少需播粒种子，表示第粒种子出苗，表示每穴有苗，则有相互独立于是有，即有

所以有，解得。那种解法你更喜欢！例1.25加工某一种零件需要经过三道工序，设三道工序的次品率分别为2%，1%，5%，如果各道工序之间相互不影响。求加工出来的零件的次品率。解：设

表示加工的道工序出现次品，；表示加工出来的产品是次品。于是有，相互独立。（解法一）

（解法二）全概率公式与贝叶斯公式在计算较复杂的事件的概率时，根据事件在不同原因或不同情景下发生，将它分解成若干互斥事件的和，进而分别计算概率，然后求和。这就是全概率公式所体现的思想，全概率公式是概率论中的一个基本公式，它使一些复杂事件的概率计算问题得以化简。贝叶斯公式则是在已知一事件发生下，重新认识导致该事件发生的原因事件的概率，即有了试验结果后对原因事件认识的调整。一、全概率公式

定理：设为互斥事件完备群，为任意事件，且，则有该公式称为全概率公式。证明因为为互斥事件完备群，必有于是有且有两两互斥，所以有从证明过程不难看出，全概率公式在较弱的条件下也是成立的。全概率公式的推广形式：设为一组两两互斥事件，为任意事件，，，则有例1.26为了掌握一支股票未来一定时期内价格的变化，人们往往会去分析影响股票的基本因素，比如利率的变化。现在假设经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%。人们根据经验估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，求该支股票将上涨的概率。

解：设表示“利率下调”，那么为“利率不变”，表示“股票价格上涨”。

据题设知于是有例1.27设播种用小麦种子中混有一等，二等，三等，四等四个等级的种子，分别各占95.5％，2％，1.5％，1％，用一等，二等，三等，四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.10，0.05，求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。解：设从这批种子中任选一颗是一等，二等，三等，四等种子的事件分别是，则它们构成互斥完备事件群，又设表示任选一颗种子所结的穗含有50粒以上麦粒这一事件，于是，由题设条件有则由全概率公式：（阅读材料）敏感性问题调查方案设计敏感性问题的调查是社会调查中的一类，如一群人中参加赌博的比率，吸毒人的比率，学生中看黄色书籍的比率等调查都属于这类调查，调查的目的是获得感兴趣的比率。下面以了解大学生考试作弊率为例说明应用全概率公式处理这类问题的方法

大学生考试作弊会严重影响学风和大学生身心健康发展，但考试作弊避着教师进行的，属于不光彩行为，要调查考试作弊学生在全体学生中所占比率是一件难事，这里关键是要设计一个调查方案，使被调查者愿意作出真实回答，又能保守个人秘密。经过多年研究与实践，一些心理学家与统计学家设计了一种调查方案，这个方案的核心是如下两个问题。

问题1：你的生日是在7月1日之前吗？

问题2：你在考试时作过弊了吗？

被调查者只需回答其中一个问题至于回答哪一个问题由被调查者事先从一个装有红球和白球的罐中随机抽取一只球，观察颜色一下列方式确定（观察后再放回）。若被调查者抽出白球，则回答问题1；若被调查者抽出红球，则回答问题2。假定罐中只有白球与红球，且红球的比率是已知的。即被调查者无论回答问题1还是问题2，只需在如图所示的答卷上认可的方框内打“√”，然后将答卷放入一只密封的投票箱内。上述抽球与答卷都是在一间无人的房间内进行的，任何外人都不知道调查者抽到什么颜色的球和在什么地方打“√”。答卷是（）否（）图1.11

如果向被调查者讲清楚这个方案的做法，并严格执行，那么就容易被调查者确信他（她）参加这次调查不会泄露个人秘密，从而愿意参加调查。当有较多的人参加调查后，就可以打开投票箱进行统计。

设有张答卷，其中张答“是”，于是回答“是”的比率就是，可用频率去估计，记为。这里答“是”有两种情况：一种是摸到白球后，回答问题1，答“是”，这是一个条件概率，它是“生日是在7月1日之前”的概率，一般认为是0.5，即；另一种是摸到红球后，回答问题2，答“是”，这也是一个条件概率，它不是别的，就是考试作弊同学在全体学生中所占比率，即。

最后利用全概率公式把上述各项概率（或其估计值）联系起来即有，从而解得二、贝叶斯公式（逆概率公式）定理：设为互斥事件完备群，为任意事件，且，则有该公式称为贝叶斯公式。其中成为先验概率，称为后验概率。

由条件概率定义式和全概率公式不难证明此结果。贝叶斯公式是1763年由T.B.Bayes在他的一篇重要文章（该文章是在他死后，由他的朋友发表的）中提出来的。起初该公式并没有得到应有的重视，直到后来P.S.Gauss用它推导出“相继律”才引起了人们的研究兴趣，并依次为出发点形成了统计学上重要统计思想—贝叶斯统计。贝叶斯公式是先验概率与后验概率转化工具。例1.28每箱产品共有10件，在一箱产品中次品件数出现0,1,2件的可能性是均等的。开箱检验时，从中依次抽取两件(不重复)，如果发现有次品，则拒收该箱产品。试计算：

（1）一箱产品通过验收的概率；

（2）已知一箱产品通过验收,则该箱产品中有2个次品的概率。