重庆大学 工程力学l11

11弯曲变形§11-1工程中的弯曲变形问题一、为何要研究弯曲变形仅保证构件不会发生破坏，但如果构件的变形太大也不能正常工作。1、构件的变形限制在允许的范围内。２、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。汽车板簧应有较大的弯曲变形,才能更好的起到缓和减振的作用；案例1：安装在工程机械驾驶室上方的ROPS/FOPS要求其在碰撞的过程中有较大的变形吸收落物或碰撞能量，保证驾驶员的人身安全案例2：案例3：当今时代汽车工业飞速发展，道路越来越拥挤，一旦发生碰撞，你认为车身的变形是大好还是小好？案例4：蹦床要有大变形，才能积蓄能量，将人体弹射到一定高度。3、研究弯曲变形还广泛应用于超静定问题分析、稳定性分析以及振动分析等方面。除了解决构件的刚度外，二、弯曲变形的物理量扭转：

FF拉伸弯曲变形的物理量如何？1、挠曲线2、挠度ω向上为正3、转角逆时针为正截面形心在力的方向的位移截面绕中性轴转过的角度弯曲变形的物理量挠度ω弯曲变形的物理量转角+§11-2梁的挠曲线近似微分方程2、挠曲线方程：1、建立坐标系Xoy平面就是梁的纵向对称面；在平面弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为xoy面内的一条平面曲线；该曲线方程为：3、挠度、转角物理意义①：挠度的物理意义：挠曲线在该点处的纵坐标；②：转角的物理意义过挠曲线上点作挠曲线的切线该切线与水平线的夹角为挠曲线在该点处的切线斜率；挠曲线方程在该点处的一阶导数；转角的正方向：从x轴正向向切线旋转，逆时针转动为正。4、挠曲线微分方程中性层处曲率:

对于曲线y=f(x)在任一点处曲率

（瑞士科学家Jacobi.贝努利得到）正好为xoy平面内的一条曲线，平面弯曲的挠曲线所以曲线y=f(x)：从数学上讲是一条普通的平面曲线，从力学上讲就是梁发生弯曲变形的挠曲线。挠曲线微分方程由于没有采用曲率的简化式，且弹性模量E无定量结果，挠曲线微分方程故挠曲线微分方程没有得到广泛应用。该挠曲线微分方程是适用于弯曲变形的任何情况。非线性的，5、挠曲线近似微分方程在小变形的条件下，挠曲线是一条光滑平坦的曲线，，较小，转角故得挠曲线近似微分方程：符号规定：MM挠曲线近似微分方程挠曲线为凹曲线挠曲线为凸曲线弯矩M与二阶导数符号一致。适用范围：xωxωMM线弹性、小变形;y轴向上，x轴向右；挠曲线的近似微分方程积分一次：转角方程积分二次：挠曲线方程C、D为积分常数，由梁的约束条件决定。§11-3用积分法求弯曲变形悬臂梁：xy梁的边界条件L简支梁：xωL梁的边界条件连续性条件：CPABaLxy边界条件光滑连续性条件连续性光滑性连续性条件：ABLaCMxy特别强调在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。连续不光滑例1：写出梁的边界条件、连续性条件：xykCPABaL边界条件光滑连续性条件例2：写出梁的边界条件、连续性条件：hEACPABaL边界条件光滑连续性条件讨论：挠曲线分段（1）凡弯矩方程分段处，应作为分段点；（2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；（3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间的相互作用力，故应作为分段点；ABLaCM（4）凡分段点处应列出连续条件；根据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确定的挠度和转角；ABLaCM讨论：挠曲线分段在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。边界条件连续性条件例1悬臂梁受力如图所示。求和。xyx取参考坐标系1、列写弯矩方程2、代入挠曲线近似微分方程中积分一次：积分二次：转角方程挠曲线方程AqBL3、确定常数C、D.边界条件：AqBLAqBL4、计算A截面的挠度和转角A截面处CFABaLxy例2一简支梁受力如图所示。试求和。1、求支座反力2、分段列出梁的弯矩方程bBC段AC段xx3、代入各自的挠曲线近似微分方程中4、各自积分5、确定积分常数边界条件：连续条件：FaLxωBC段AC段7、求转角6、挠曲线方程8、求。求得的位置值x。代入得：若则：在简支梁情况下，不管F作用在何处（支承除外），可用中间挠度代替，其误差不大，不超过3%。§11-4用叠加法求弯曲变形

一、叠加原理在小变形，是线性的；

材料服从胡克定律的情况下，挠曲线的近似微分方程弯矩与载荷之间的关系对应于几种不同的载荷，是线性的；弯矩可以叠加，近似微分方程的解也可以叠加。计算弯矩时，使用变形前的位置设弯矩

挠曲线分别满足各自的近似微分方程将两个微分方程叠加分别计算出每一载荷单独引起的变形，将所得的变形叠加即为载荷共同作用下引起的变形——叠加原理。总的近似微分方程：证明二、叠加原理的限制条件叠加原理仅适用于线性函数，要求挠度、转角是载荷的线性函数。(1)、弯矩与载荷成线性关系;梁发生小变形，忽略各载荷引起梁的水平位移；梁处于线弹性范围内，满足虎克定律；

(2)、曲率与弯矩成线性关系;(3)、挠曲线二阶导数与成线性关系;即梁处于小变形条件下;几种载荷共同作用下某截面的挠度和转角，三、叠加原理的特征等于每种载荷单独作用下引起的同一截面挠度、转角的向量和。例1

已知：q、l、

EI，求：yC

,B

载荷叠加法（查表法）应用于多个载荷作用的情形yC

,B1、载荷分解qlql2qqlql2q2查表：单独载荷作用下3、变形叠加例2抗弯刚度EI为常量，用叠加法确定C和yC

?L/2L/2qCBAqL/2L/2qCBAqqqqw

第二类叠加法1将梁的挠曲线分成几段;逐段刚化法2首先分别计算各段梁的变形在需求位移处引起的位移（挠度和转角）;3然后计算其总和（代数和或矢量和），即得需求的位移。在分析各段梁的变形在需求位移处引起的位移时，除所研究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。例3

：用叠加法确定yC

?ABalFC1）考虑AB段变形引起的Ｃ截面的挠度(BC段看作刚体)外力向研究的ＡＢ段上简化ABalCFFaF：作用在支座上，不产生变形。Fa：使AB梁产生变形。ABalCFFaFa引起梁的变形形状为ＡＢ段上凸；2）考虑BC段变形引起C截面的挠度aABalFCAB段看作刚体FBCC截面的总挠度讨论积分法求变形有什么优缺点？叠加法求变形有什么优缺点？弯曲变形的刚度条件：[y]——许用挠度，[]——许用转角工程中，[y]常用梁的计算跨度l的若干分之一表示。对于桥式起重机梁：对于一般用途的轴：在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：§11–5梁的刚度计算1、y’’=M(x)/EI在

条件下成立？A：小变形；B：材料服从虎克定律；C：挠曲线在XOY面内；D：同时满足A、B、C；2、等直梁在弯曲变形时，挠曲线曲率在最大

处一定最大。A：挠度B：转角；C：弯矩；3、在简支梁中

，对于减少弯曲变形效果最明显。

A：减小集中力P；

B：增加梁的跨度；

C：采用优质钢；

D：提高截面的惯性矩L/2P4、板条弯成1/4圆，设梁始终处于线弹性范围内：①σ=My/IZ ,②y’’=M(x)/EIZ

哪一个会得到正确的计算结果？A：①正确、②正确；B：①正确、②错误；C：①错误、②正确；D：①错误、②错误；5、使梁变形后与刚性曲面重合，但不产生压应力，应如何施加外载？R6、圆轴采用普通碳钢制成，使用中发现弯曲刚度不够，提高轴的抗弯刚度的有效措施是：

。A：热处理；B：选用优质合金钢；

C；增大直径；D：提高表面光洁度；7、等直梁的最大弯矩处，局部增大直径，

。A：仅提高强度；B：仅提高刚度；C：强度、刚度均有提高；PxabyP8、细长工件，加工完成后会变成什么形状？

9、写出边界条件与连续性条件。xyqEI,LEA,a10、写出边界条件。11、梁上作用有外力偶，M1和M2，A点位于L/3处。使A点成为挠曲线的拐点，那么M1/M2=?M2M1AL/312、图示中二个简支梁的材料、截面形状、承受的载荷均相同。跨度为1：2。则二梁的最大挠度之比

。PLP2L§11–6静不定梁1静定结构或系统无多余约束的几何不变的承载系统;其全部约束反力与内力都可由静力平衡方程求出。PP未知力的数目多于该系统能列出的独立平衡方程的数目；2超静定结构仅仅利用平衡方程不能解出全部未知力。未知力的数目与独立平衡方程数目之差。3超静定次数PP4多余约束静不定结构中，超过维持静力平衡所必须的约束；与多余约束相对应的反力；5多余约束反力①、提高构件的强度和刚度。

6超静定系统的特点：PP②、各部分的内力分配与其各部分的刚度比相关。

③、可以产生装配应力和温度应力。

7超静定问题分类结构外部和内部均存在多余约束，即支反力和内力是超静定的。在结构外部存在多余约束，即支反力是静不定的;仅在结构内部存在多余约束，即内力是静不定的;第一类：外力超静定系统。第二类：内力超静定系统。第三类：混合超静定系统；判断下列结构属于哪类超静定外力超静定内力超静定混合超静定8、基本静定基解除超静定结构的某些约束后得到的静定结构；静定基可根据需要方便选取，同一超静定结构可有不同选择。可取尾顶针处为多余约束，得到静定基；也可以把卡盘处视为多余约束而解除，得到静定基。9相当系统在外载和多余约束作用下的静定基称为相当系统。PPPRM10超静定问题的分析方法以未知位移为基本未知量。2.力法：以未知力为基本未知量。1.位移法：列出用位移表示的力的平衡方程①变形比较法②力法正则方程③三弯矩方程变形比较法原理：比较原结构与其相当系统在多余约束处的变形，相当系统应满足原结构的位移边界条件。变形协调关系。4.利用莫尔积分如何用变形比较法求解超静定问题？1.判定超静定次数2.释放多余约束,构造相当系统3.列写变形协调方程变形协调关系未知力的方程解除多余约束1结构静定化相当系统（以方便为准）超静定结构的求解思想：建立2在未知力处变形协调条件莫尔积分3变形条件关于力的补充方程例1：如图超静定梁，梁的抗弯刚度为EI，跨度为L，受力如图，求B处的支反力。ABq1、确定静不定次数；2、确定多余约束；qAB4、列出变形协调条件。3、去掉多余约束，得到相当系统5、用叠加法或者莫尔积分计算多余约束处的相应位移；RB

5、用能量法计算梁的弯曲变形。莫尔积分法单位力作用下弯矩方程为：梁的弯矩方程：在B处加一单位力1.0qRBx进行莫尔积分

6、回代到协调方程中去，求解。ADBCEF例2、图示悬臂梁AD和BE的抗弯刚度同为CD杆的长

BE=2AD=2米，由钢杆CD连接。试求悬臂梁AD在D点的挠度。横截面面积（1）、判定超静定次数以CD杆的轴力为多余约束力；ADFNBCEFFNFNFNADBCEF一次内力超静定问题。（2）、确定多余约束，得到相当系统。（3）、去掉多余约束代之以反力（4）、设两梁的挠度以向下为正，则变形协调方程为（5）、用能量法求FFNxxADBCEF1.0x单位力作用下的内力方程：积分得到：ADBCEF（6）、回代到协调方程中，得到：求解得到：故：（4）、变形协调方程;（5）、利用能量法求多余约束处的位移或转角;

变形比较法计算超静定的步骤（1）、判定超静定次数;（2）、确定多余约束；（3）、去掉多余约束代之以反力，得到相当系统;此时多余约束反力作常量处理;一般情况下，多余约束反力为力的用能量法求线位移；多余约束反力为力偶的求角位移。即：将多余约束处的表示为多余约束反力的函数（6）、回代到协调方程中，求解多余约束反力。一旦多余约束得到，系统称为静定，用能量法求挠度用能量法求转角可进行强度、刚度等方面的计算。＝常量转角＝常量挠度多余约束处qy1、“所有支座反力均可由静力平衡方程确定的结构均为静定结构。”2、“用能量法求解超静定问题时，只需考虑变形几何条件。”讨论弹性体受拉力P作用，当P从零开始到终值缓慢加载时，力P在其作用方向上的相应位移也由零增至终值ΔL；一方面：力要做功；弹性体因变形而具有做功的能力，力的作用点沿力的方向有位移另一方面：表明杆件内储存了应变能11-7

用莫尔定理计算梁的弯曲变形 P如果略去变形过程中的动能及其它能量的损失；功能原理V=W

若外力在由零缓慢加载到终值，变形中的每一瞬间，变形体均处于平衡状态；由能量守恒原理，杆件的变形能V在数值上应等于外力做的功W；对变形体都适用的普遍原理因为变形体产生塑性变形时要消耗一部分能量，留下残余变形。弹性固体变形是可逆的；当外力解除后，弹性体将恢复其原来形状，释放出变形能而做功。但当超出了弹性范围，具有塑性变形的固体，变形能不能全部转变为功，也是当今应用甚广的有限元法求解力学问题的重要基础。能量原理固体力学中运用功与能有关的基本原理；由能量原理发展出来的方法；能量法能量原理是在总体上从功与能的角度考察变形体的受力、应力与变形的原理与方法；是进一步学习固体力学的基础能量法的用处能量法的优点不管中间过程，只算最终状态能量是标量，容易计算用于求位移一、杆件应变能的计算

线弹性条件下，通过外力功求应变能常力P沿其方向线位移l上所作的功

常力作功：变力作功：在线弹性范围内，外力P与位移l

间呈线性关系。荷载由零缓慢加载到终值；变形也由零缓慢变化到终值1、轴向拉伸或压缩LP杆的应变能P由拉压杆件组成的杆系的应变能：受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化)的应变能P2PKBCD12345qLxdx2、圆截面杆的扭转应变能圆截面杆的应变能

m受力复杂的圆截面杆(扭矩沿杆的轴线为变量)

xdxLtAB3、平面弯曲的应变能纯弯曲梁的应变能：m横力弯曲梁(弯矩沿梁的轴线为变量)的应变能Pm=PaACBaa一般实心截面的细长梁:剪切变形能远小于其弯曲变形能，通常忽略不计。圆环形截面:k=2；4、剪切k由截面的几何形状决定:矩形截面:k=1.2；圆截面:k=10/9；一、克拉贝依隆原理二、应变能的普遍表达式广义力P1，P2，…，Pn作用于物体，且设按同一比例系数β从零增长到终值。相应地物体产生变形δ1，δ2，…，δn，对于线性弹性材料，则变形也将按相同比例β增加；P2P1Pnδ1δ2δn外力对物体做功，功以应变能储藏在物体内；如果外力在某一中间值βP1，βP2，…，βPn时各点处的广义位移达到中间值βδ1，βδ

2，…，βδ

n时有一增量dβ

力在位移增量上做总功Piδi(δi

、Pi)βPiβδidβδi力在位移增量上做功β从0到1外力做功物体的应变能为克拉贝依隆原理组合变形时的变形能，，

注意以上计算公式仅适用于线弹性材料、在小变形下的应变能的计算3只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功时，才可应用。2应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在同种应变能计算中不能使用。4应变能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关；在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系。设在梁上作用有外力,求梁轴线上任一点C处的挠度。

在外力作用下，梁的应变能为莫尔积分CF1FnFi一方面：从外力的功看总应变能外载全部卸掉，支座保持不变，在求挠度的点沿挠度方向加一单位力；外载在梁上作的功仍等于在单位力的作用下，梁的应变能为再将原来一组载荷作用于梁上。由于材料服从胡克定律,且变形很小,1.0CF1FnFi1.0fc由于外载的作用，在C点发生的挠度即为所求。所以梁的总应变能：而单位力在外载

产生的过程中一直保持为常量，故单位力在上做功如果载荷与单位力同时加在梁上，梁截面上的弯矩为

梁的总应变能为CF1FnFi1.0δc另一方面：从内力方程看总应变能两种情况都是构件的总应变能：单位载荷引起的弯矩。——莫尔积分法又称单位载荷法。M(x)

：实际载荷引起的弯矩；求转角的莫尔积分在欲求截面处施加一单位力偶拉压变形的莫尔积分扭转变形的莫尔积分如果杆件同时产生拉压、扭转和弯曲变形，要求在某一方向的广义位移

;

可在此方向上加一单位力，以莫尔积分求出该方向的广义位移；注意几点1、施加单位力时所有的外载卸掉，支座保持不动；2、外载作用下的内力方程与单位力作用下的内力方程要求正方向与积分区间的严格一致；3、求位移施加力，求转角施加单位力偶4、结果为正，说明广义位移与单位力同向；5、外载作用下分段，单位载荷作用下也必须分成相应的段数；6、欲求的位移和施加的单位力应理解为广义力和广义位移。7、若为两点间的相对线位移，则单位力是施加在两点上的方向相反的一对单位力，其作用线与两点的连线重合。注意几点8、若为两截面间的相对转角，则单位力是施加在两截面上的方向相反的一对单位力偶；一个力一个力偶一对力一对力偶一个线位移一个角位移相对线位移相对角位移广义力与广义位移的对应关系1、在应用莫尔积分时，第一项表示什麽意思？1.0CABDPA：C点的总位移；B：C点沿CD方向的位移；C：C点铅垂位移；D：CD杆缩短引起B点的铅垂位移；2、受力如左图，施加单位力如右图，利用莫尔积分求得位移为：

。A：A截面的转角；B：B截面的转角；C：A、B两截面的相对转角；D：AB段单位长度扭转角；1.01.0ABA：结构上的最大位移；B：单位力作用点处的总位移；C：单位力作用处的竖直位移；D：单位力作用处沿单位力方向上的位移；3、用莫尔积分ｆ＝求得的位移ｆ是：

。4、应用莫尔积分计算挠度时，结果为正，说明挠度的方向为：

。A：向上；B：向下；C：与单位力方向一致；D：与单位力方向反向；设在某弹性体上作用有外力，在支承约束下，在相应的力方向产生的位移为，(i=1,2,…,n)。可以证明：卡氏定理

注意：只有当弹性系统为线性，即其位移与载荷成线性关系时，才能应用卡氏定理。应用卡氏定理求出为正时，表示该广义位移与其相应的广义力作用的方向一致；若为负值，则表示方向相反。证明：再加增量，则变形能U的增量dU为梁的总变形能为：(a)考虑两种不同的加载次序。(1)先加，此时弹性体的变形能为U：(2)

先加，然后再加，此时弹性体的变形能由三部分组成：梁的总变形能为：(b)(a)

在相应的位移上所作的功

(b)在相应位移上所作的功：(c)原先作用在梁上的对位移所作的功根据弹性体的变形能只决定于外力的最终值，而与加载的次序无关。(a)(b)两式相等：略去二阶微量，化简后得：卡氏定理的特殊形式(1)横力弯曲的梁：对于刚架，若忽略轴力和剪力对于变形的影响，则也可应用上式计算变形。(2)小曲率的平面曲杆式中s—沿曲杆轴线的曲线长度。(3)桁架(4)产生拉(压)、扭转与弯曲的组合变形的圆截面等直杆练习：结构受力如图所示,F=2KN,L=3m,设AB杆的抗弯刚度为EI,CD杆的抗拉刚度为EA,不计剪力的影响.试用卡氏定理求B端的竖直位移。ALFCL/2B2L/3D

在所求位移处沿所求位移的方向上加上一个虚设的集中力或集中力偶；或一对力或一对力偶，此时应变能为：或若所得位移为正，则表示与附加力的方向一致；若为负值，则表示与虚