第02-3章 动能定理

第二章质点动力学chapter２dynamicsofparticle本章内容§2-1牛顿运动定律及其应用§2-2动量定理与动量守恒定律§2-3动能和机械能守恒定律§2-4角动量和角动量守恒定律第三节机械能定律动能及其机械能守恒定律§2-3动能定理和机械能守恒定律KineticenergyandConservationofmechanicalenergy本节内容一、功与动能二、保守力与势能四、碰撞三、机械能守恒定律1.定义：[预备知识]矢量的标积2.矢量的标积的正交分量表示：（1）恒力做功1．功在数学的矢量运算中可表示为：一、功与动能

21XYOrrqrFP作用于P点的力的元功：（力随运动变化，曲线路径）ab思想：将运动轨迹分作均匀的Ｎ小段，使得每一小段位移中力可看作恒力（2）变力做功dFF力沿路径的总功：ab此式的意义是合力的功等于各分量功之代数和。一、在路径任意点处选bXYOZ（3）功的计算二、直角坐标系kdzjdyidxrdvvvv++=vvkFjFiFFzyxvv++=a=dz++F(x)dxF(y)dyF(z)=òòAòòabaxbxaybybzazdzdxdyF(x)F(y)F(z)++dzdxdyF(x)F(y)F(z)++[例1]一物体在外力F=3x+2

（SI）作用下，从x=0

移动到x=4m处，求该力对物体所做的功。解：这是一维变力做功的问题例2：一个质点的运动轨道为一抛物线，作用在质点的力，试求质点从处运动到处力F所作的功.（SI）

解：时时dz++F(x)dxF(y)dyF(z)=òòòA例3:

一个质点m=1.0kg,在力F作用下沿x轴运动,运动方程为.在0到4s的时间间隔内,求合力所作的功.

解:F是合力，

功的大小与参照系有关

功是过程量，与始末位置及路程有关

平均功率

瞬时功率

功率的单位

（瓦特）（4）功的小结若有几个力同时作用在同一质点上，则合力所做的功为各分力做功的代数和。质点系呢？若有几个力同时作用在同一质点上，则合力所做的功为：质点在变力Ｆ作用下，沿曲线从a运动到b，Ｆ对质点所做的功为：

合外力对质点做的功=质点动能的增量质点的动能：2．动能定理（1）质点的动能定理qrFPabd例4：一个合外力作用在m=3kg的物体上，其运动方程为

x=3t-4t2+t3

（SI）求最初4秒内该力对物体所做的功。1m2mm3v1v2v3内力做功外力做功外力做功外力做功+.........AkE系统终态总动能0kE系统初态总动能系统动能的增量，等于作用在系统中各质点的力所做的功的代数和。A内A外（2）质点系的动能定理1m122v1A1外01m122v11内A+02mv21222mv21222外2内AA+SiSm122v0m122viiiiSA外+SiA内A+kE0kEDkEA内A外O质点系的动量定理=>内力的冲量最后相互抵消

质点系的动能定理=>内力的功没有抵消分析：两质点间的内力做功——位移一般不同AA内+A外kE0kEDkE即使质点系

质点系动量定理作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量.因为内力，故回顾：质点系的动量定理—经历的时间一般相同（1）功与动能都是标量3.动能定理的几点说明：(2)此定理揭示了过程量功和状态量动能的关系—功是能量变化的量度。不知道力的函数，可用动能的增量解题。(3)动能定理只适用于惯性系。1.力的空间累积效应——2.力的时间累积效应——(4)动能定理与动量定理比较：解：又因为：

联立两式可得：

例5：如图，摆线长,求摆球落到角时速度的大小？hA3dxvtd2tkm2td力的功xFdxxF100tk2tkm2td100tk22mtd8mk2()J1042.25

107xFmdvdtdvtkmdtdvtkmdt0t0vv2tkm2vdxtd解法提要已知求m启动牵引力从0到10秒，xFtk若不计阻力。v0t00力的功。xF练习一=2吨(=6×103N/s)kX功的概念与特点力（功）与状态（动能）及系统（质点系）的分析注意：第三节机械能定律二、保守力与势能保守力保守力conservativeforce非保守力非保守力non-conservativeforce

保守力做功的大小，只与运动物体的始末位置有关，与路径无关。特点：如重力万有引力弹性力

非保守力做功的大小，不仅与物体的始末位置有关，而且还与物体的运动路径有关。特点：如摩擦力粘滞力流体阻力1．保守力----重力做功bxyOdr沿路径ab)沿路径ab)若物体从a出发经任意闭合路径回到a点，则:重力的功只与质点的始末位置有关。而与路径无关。

xm

Oka

xm

Ok1．保守力----弹力做功b

x质点位于x时所受的弹力弹力所做功弹力所做功只与物体的始末位置有关，而与路径无关。

dx1．保守力----万有引力做功万有引力做的功mGM给定，万有引力的功只与两质点间的始末距离有关。rbarMMF引qmrdrdrdcosqrF引2rmGMbrbarar保守力的功只取决于受力质点的始、末位置，而与路径无关。.0drF保亦即沿任意闭合路径，保守力对质点所做的功为零亦即非保守力沿闭合路径作功不为零.0drF保非保守力的功小结AFbadrh重力的功重力的功Agmahbhgm()万有引力的功万有引力的功AmGM(1ar)rbmGM()1((弹性力的功弹性力的功12kxa2bx2A12k()2势能重力的功重力的功万有引力的功万有引力的功弹性力的功弹性力的功Agmahbhgm()AmGM(1ar)rbmGM()1((12kxa2bx2A12k()保守力的功EpaAFbadrhbEp初态势能末态势能Ep系统势能增量的负值重力的功重力势能重力的功引力势能重力的功弹性势能gmbhpEpErmGM1pEx212k若物体间的相互作用力为保守力，保守力由物体间相对位置决定的能量，称为物体系的势能（或位能）。相对位置物体系的（1）已知保守力求势能的方法势能差：EpaAFbadrhbEp初态势能末态势能Epb0若b点势能为零EpaadrhF零势能点则a点势能为势能：Mm任意路径a物体系或质点系F保守力mb零势能点mM相对于处于点位置时系统所具有的势能，a等于将m从a点沿任意路径移到势能零点，保守力所做的功。（2）势能的性质EpaadrhF零势能点则a点势能为Mm任意路径a物体系或质点系F保守力mb零势能点mM相对于处于点位置时系统所具有的势能，a等于将m从a点沿任意路径移到势能零点，保守力所做的功。势能属物体系所共有；势能是相对量，与势能零点选择有关。保守性只有在保守力场中才有；系统性相对性为势能零点重力势能重力势能选地面0bhEpb0dyEpgmah0gmahgmh：离地面高度hEphEpgmhO万有引力势能万有引力势能8为势能零点Epb0选rb2Epr8mGMdrr1mGMrOEprEp1mGMr弹性势能弹性势能为势能零点Epb00选无形变处bxEpkxdxx012kx2EpxOEp12kx2（3）几种常见保守力势能与势能曲线例2：一质量为m的质点沿x轴正向运动，其速度与坐标x的函数关系为v=kx（k为正常数），求：（1）作用于该质点上的力Ｆ；（2）该质点从点出发到处处所经历的时间,以及力Ｆ做的功A；（3）力Ｆ是保守力吗？解:(1)(2)(3)是。因为满足第三节机械能1、机械能某一力学系统的

机械能是该系统的动能

与势能之和Ek+pEE系统的机械能系统的动能系统的势能即在一般情况下，系统的机械能并不保持恒定。系统机械能发生变化的外因：系统外各种形式的力对系统做功，简称A外内因：系统内存在非保守力做功（如摩擦消耗），简称A非保内只有在一定条件下，系统的机械能才能保持恒定。三、机械能守恒定律1m2mm3v1v2v3内力做功外力做功外力做功外力做功+.........AkE系统终态总动能0kE系统初态总动能系统动能的增量，等于作用在系统中各质点的力所做的功的代数和。A内A外回顾：质点系的动能定理1m122v1A1外01m122v11内A+02mv21222mv21222外2内AA+SiSm122v0m122viiiiSA外+SiA内A+kE0kEDkEA内A外各种可能形式的外力对系统做功A外系统内的保守力做功系统内的非保守力做功A保内A非保内+AA外A保内+A非保内A外+A非保内Ek+pE()0Ek+0Ep()EE0末态机械能E初态机械能E02、质点系功能原理动能定理Ek0Ek：势能概念()pE0Ep：

若某一过程中外力和非保守内力都不对系统做功，或这两种力对系统做功的代数和为零，则系统的机械能在该过程中保持不变。机械能守恒定律若A外A非保内+0及0或A外A非保内0Ek+pE0Ek+0Ep则常量即EE00或EDEE0各种可能形式的外力对系统做功A外系统内的保守力做功系统内的非保守力做功A保内A非保内+AA外A保内+A非保内动能定理()Ek0EkpE势能概念0EpA外+A非保内EE0Ek+pE()0Ek+0Ep()末态机械能E初态机械能E03、机械能守恒定律对于地面上的物体，它与地球组成一个系统。如果没有摩擦力，并且只有重力与弹力（均为保守力）作功，此时质点的动能、弹力势能、重力势能的总量将保持不变。

以上就是中学教材关于机械能守恒的表述。

对与一个与自然界无任何联系的系统来说,系统内各种形式的能量是可以相互转换的，但是不论如何转换，能量既不能产生，也不能消灭，这一结论叫做能量守恒定律.1）生产斗争和科学实验的经验总结；2）能量是系统状态的函数；3）系统能量不变,但各种能量形式可以互相转化；4）能量的变化常用功来量度.

亥姆霍兹（1821—1894），德国物理学家和生理学家.于1874年发表了《论力（现称能量）守恒》的演讲，首先系统地以数学方式阐述了自然界各种运动形式之间都遵守能量守恒这条规律.所以说亥姆霍兹是能量守恒定律的创立者之一.4、应用：

例1、已知

求

用质点的动能定理：

解法一：

用功能原理：

解法二：

4、应用：

解法三：

按功的定义：

选自然坐标：切向：法向：解：卫星脱离火箭时（离地r～R）:例2：将卫星发射到高度为